Список вопросов



Скачать 88.45 Kb.
Дата03.12.2012
Размер88.45 Kb.
ТипДокументы

Список вопросов


к государственному экзамену по математике
Алгебра

Комплексные числа, их основные свойства. Поле комплексных чисел.

Теоремы о разложении многочленов над полями R и С на неприводимые множители. Корни многочлена. Теорема о числе корней (над С).

Наибольший общий делитель многочленов, его вычисление. Критерий взаимной простоты многочленов

Результант двух многочленов. Дискриминант многочлена. Их применения.

Определители, их основные свойства. Определитель произведения квадратных матриц.

Матрицы и алгебраические операции над ними. Миноры матриц. Ранг матрицы и его основные свойства.

Нормальная (жорданова) форма матрицы. Теорема существования базиса, в котором матрица линейного оператора имеет нормальную (жорданову) форму.

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Критерии совместности.

Вычислительные схемы метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Размерность и базис пространства всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Их нахождение.

Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции действительных квадратичных форм.

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Кольца многочленов от одного и нескольких переменных. Деление с остатком, алгоритм Евклида.

Симметрические многочлены и их представление через основные симметрические многочлены.

Линейные (векторные) пространства, линейная зависимость и независимость. Базисы и матрицы перехода. Размерность. Примеры.

Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах. Матрица линейного оператора. Матрица композиции линейных операторов. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.

Линейные подпространства и операции над ними: сумма и пресечение подпространств, дополнительные подпространства. Их размерности.

Понятие группы, примеры. Подгруппа, нормальный делитель, фактор-группа. Гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах и о порядке подгруппы.

Кольцо, подкольцо, идеал, фактор-кольцо, примеры. Теорема о гомоморфизмах колец.
Геометрия

Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и основные свойства.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Понятие кривой и способы задания кривых. Касательная. Длина дуги. Натуральная параметризация кривых.

Кривизна и кручение, формулы Френе. Натуральное уравнение кривой.

Понятие поверхности и способы ее задания. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление: длины кривой на поверхности, угла между такими кривыми, площади куска поверхности.

Вторая квадратичная форма поверхности. Главные, полная и средняя кривизны поверхности. Теорема Гаусса.* Геодезические линии.



Математический анализ



Вещественные числа и их основные свойства. Поле вещественных чисел.

Важнейшие подмножества в R и их мощность. Теорема Кантора о несчетности континуума.

Ограниченные множества. Точные верхняя и нижняя границы множества. Теорема Дедекинда о существовании точных границ.

Предел последовательности. Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности. Предел и операции над последовательностями. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число e .

Фундаментальные последовательности, критерий Коши сходимости последовательности.

Различные формы полноты множества вещественных чисел. Последовательности стягивающихся сегментов, лемма Кантора. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Предельная точка множества в R, лемма Больцано-Вейерштрасса.

Теоремы о производных суммы, произведения, частного, композиции функций и обратной функции.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя*.

Формула Тейлора, различные представления ее остаточного члена.

Определение интеграла Римана для функций одной переменной. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу *

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

Несобственные интегралы, условия их сходимости. Абсолютная и условная сходимости.

Гамма-функция, ее основные свойства и применения. Формула Стирлинга*.

Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости положительных рядов.

Понятия абсолютной и условной сходимости числовых рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости.

Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Основные свойства степенных рядов и их сумм.

Функциональные свойства предела последовательности и суммы ряда: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.

Интегральные представления частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Принцип локализации.

Признаки сходимости ряда Фурье в точке и равномерной сходимости рядов Фурье.

Эвклидовы пространства. Скалярное произведение векторов, неравенства Коши-Буняковского и Минковского. Полнота. Критерий компактности.

Производная (Фреше) отображения из Rn в Rm. Матрица Якоби.

Локальные и глобальные максимумы и минимумы функций. Необходимые и достаточные условия внутреннего локального экстремума функции.

Условный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия.*

Теорема о неявной функции и об условиях дифференцируемости неявной функции. Общая теорема о неявном отображении.*

Интеграл Римана по ограниченному подмножеству пространства Rn. Основные свойства. Критерии существования.* Формула замены переменной.*

Криволинейные интегралы и их основные свойства.

Формула Грина и ее приложения.

Поверхностные интегралы и формула Стокса.

Теория функций комплексного переменного


Некоторые элементарные аналитические функции (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая) и реализуемые ими конформные отображения.

Производная от функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Условия Коши Римана.

Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

Некоторые свойства аналитических функций (бесконечная дифференцируемость, теорема единственности, теорема Лиувилля, принцип максимума модуля).

Принцип сохранения области. Принцип максимума модуля.

Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.

Вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах, ее применения.

Понятие конформного отображения и его связь со свойством аналитичности. Теорема Римана о конформных отображениях.

Теорема о логарифмическом вычете. Принцип аргумента. Теорема Руше.

Аналитическое продолжение аналитических элементов. Изолированные особые точки многозначных аналитических функций; их классификация.

Функциональный анализ


Общее понятие алгебры и s-алгебры множеств. Общее понятие меры. Лебегово продолжение меры *.

Меры Жордана и Лебега в эвклидовых пространствах. Определения, классы измеримых множеств. Свойства мер: монотонность, аддитивность, субаддитивность. Счетная аддитивность и непрерывность меры Лебега.

Измеримые по Лебегу функции. Арифметические операции над измеримыми функциями. Измеримость предела последовательности измеримых функций. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду: теоремы Лебега и Рисса *. Теорема Егорова. *.

Определение интеграла Лебега, его основные свойства *. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла: Лебега, Фату, Леви.

Теорема Фубини * и сведение кратных интегралов к повторным.

Топология, открытые множества. Индуцированная топология, подпространство. Сравнение топологий. Внутренняя точка множества и его внутренность. Предельная и изолированная точка множества. Замкнутые множества. Теорема двойственности открытых и замкнутых множеств. Замыкание множества. Граница множества.

Непрерывные отображения. Критерий непрерывности отображения одного топологического пространства в другое.

Теорема о непрерывном образе компакта. Теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме.

Теорема непрерывном образе связного множества. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Равномерно непрерывные функции на метрическом пространстве, и условие Липшица. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Метрические пространства, примеры метрик. Топология метрического пространства. Полные метрические пространства.

Функциональное пространство C[a,b]. Его полнота, векторная структура, норма. Теорема Арцела-Асколи.* Теорема Вейерштрасса о плотности алгебраических полиномов в пространстве непрерывных функций.

Принцип сжимающих отображений.

Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Применение принципа сжимающих отображений к линейным и нелинейным интегральным уравнениям.

Пространства с внутренним произведением, примеры. Гильбертовы пространства. Неравенство Коши-Шварца, норма в пространстве с внутренним произведением. Ортогональность, теорема Пифагора.

Ряды Фурье по ортонормированной системе, экстремальное свойство сумм Фурье и его следствия. Сходимость рядов Фурье и равенство Парсеваля.

Полнота и замкнутость тригонометрической системы.

Ограниченные линейные операторы в нормированных линейных пространствах, условия ограниченности. Норма оператора и формулы для ее вычисления. Примеры вычисления норм. Ограниченные операторы на плотных линейных многообразиях, расширение оператора по непрерывности. Пространство линейных ограниченных операторов и его полнота.

Сопряженное пространство и его свойства. Сопряженный оператор, примеры сопряженных операторов. Ограниченность и норма сопряженного оператора.

Компактные операторы, связь компактности и непрерывности. Замкнутость класса компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Теория уравнений с компактным оператором. Альтернатива Фредгольма *.

Линейные интегральные уравнения с вырожденными ядрами и их решение.

Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений, теорема о сходимости*.
Теория вероятностей

Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и геометрическое определения вероятности.

Биномиальное, пуассоновское, нормальное распределения. Их основные характеристики.

Локальная теорема Муавра-Лапласа*. Интегральная теорема Муавра-Лапласа*. Теорема Пуассона*.

Случайные величины и их распределения. Функция распределения и ее свойства.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины; их свойства.

Характеристическая функция случайной величины и ее свойства.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел*. Центральная предельная теорема*.

Дифференциальные уравнения

Теорема Коши-Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка и основные теоремы об их решениях.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и их решение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения и основные теоремы об их решениях. Метод вариации произвольных постоянных.

Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоремы Ляпунова.*
Простейшая задача вариационного исчисления, уравнение Эйлера*.
Уравнения математической физики

Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Свойства гармонических функций*. Теоремы единственности решений для краевых задач.

Принцип максимума и теоремы единственности решения первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье.

Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом характеристик (формулы Даламбера).

Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье.

Разностные схемы для уравнений математической физики. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимости. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью *

Похожие:

Список вопросов iconКонтрольный список вопросов Феникс (цру)
«Феникс» — контрольный список вопросов, разработанный Центральным разведывательным управлением, чтобы помочь агентам рассмотреть...
Список вопросов iconСписок вопросов к междисциплинарному Государственному экзамену для магистрантов направления 210300. 68
Список вопросов к междисциплинарному Государственному экзамену для магистрантов направления 210300. 68 «Радиотехника» по программе...
Список вопросов iconОпрос «ученый и сми»
Перед Вами предварительный список вопросов на тему "Взаимодействие учёного и сми". Вопросы сгруппированы хронологически: до во время...
Список вопросов iconГоспода студенты! Перед Вами список вопросов для экзамена по экологии
СО2 в атмосфере Земли на разных широтах в течение трех лет подряд, а вам надо объяснить, какие факторы определяют эту динамику. Некоторые...
Список вопросов iconСписок вопросов по курсу численные методы

Список вопросов iconЛитература 1 курс, 2 семестр Список вопросов. В скобках пояснения самой Ванниковой о том, что именно нужно рассказывать
Список вопросов. В скобках — пояснения самой Ванниковой о том, что именно нужно рассказывать
Список вопросов iconПрограмма экзамена по программированию для потока фит, осваивающего образовательную программу бакалавра по направлению Информатика и вычислительная техника в сокращенные сроки
В программе представлены основные темы, содержание тем, список рекомендуемой литературы, структура экзаменационного билета, список...
Список вопросов iconСписок вопросов к вступительным экаменам по специальности онтология и теория познания 09. 00. 01

Список вопросов iconСписок вопросов
События, операции над событиями. Вероятность, аксиомы вероятности, вероятностное пространство. Примеры
Список вопросов iconСписок вопросов к экзамену по 2-ому модулю (мат анализ) для студентов 1-ого курса спбгу итмо

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org