1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3



Скачать 168.04 Kb.
Дата03.12.2012
Размер168.04 Kb.
ТипДокументы

1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 3

1.1. Целые числа и метод математической индукции+ 3

Множества N, Nо, Z.+ 3

Метод математической индукции. Примеры применения. 3

Операция факториал. 3

Биномиальные коэффициенты 4

Бином Ньютона 4

1.2. Рациональные и иррациональные числа 4

Определение рациональных чисел. Контрпример. 4

Представление рационального числа десятичной дробью 4

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную 4

Определение иррационального числа 4

1.3. Действительные числа 5

Определение действительного числа и обозначение множества действительных чисел 5

Числовая прямая, теорема о соответствии точек прямой множеству действительных чисел 5

Расширенная числовая прямая, арифметические действия с числами ±? 5

1.4. Счетные и несчетные множества 5

Понятие мощности множества. Определение счетного множества. Определение несчетного множества 5

Теоремы об объединении счетных и несчетных множеств. 5

Счетность рациональных чисел. 5

Несчетность иррациональных чисел. 5

1.5. Ограниченные и неограниченные множества 5

Определение ограниченного множества (ограниченность сверху и снизу) 5

Понятие inf и sup. Определение и характеристическое свойство 5

Теорема о существовании inf и sup 5

2. ФУНКЦИИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6

2.1. Основные определения. 6

Определение функции 6

График функции. 6

Основные способы задания функции (графически, явно, параметрически, неявно) 6

2.2. Простейшие свойства функций 6

Ограниченность. 6

Монотонность. Точки максимума и минимума. 6

Выпуклость. Точки перегиба. Аналитическая запись условия выпуклости (две формы) 6

Неравенство Иенсена 7

Обратные функции. Симметричность графиков. 7

2.3. Элементарные функции.+ 7

Определение степени положительного числа. 7

Степенная функция. График. Основное свойство. 7

Показательная функция. График. Основное свойство. 7

Логарифмическая функция. График. Основное свойство. 7

Гиперболические и обратные гиперболические функции. 7

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. 7

2.4. Функциональные уравнения, задающие элементарные функции 7

Постановка вопроса 7

Уравнение f(x+y)=f(x)+f(y) 7

Уравнение f(x+y)=f(x)*f(y) 7

Уравнение f(x*y)=f(x)+f(y) 7

Уравнение f(x*y)=f(x) *f(y) 8

Замечание об уравнении, определяющем тригонометрические и гиперболические функции 8

3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 8

3.1. Определение предела последовательности 8

Последовательность, как частный случай функции.
8

Понятие окрестности числа и бесконечности. 8

Определение предела числовой последовательности. Математическая форма записи. 8

Определение сходящейся последовательности. 8

Подпоследовательность. Частичный предел 8

Теорема Больцано-Вейерштрасса 8

Понятие верхнего и нижнего предела. 8

Теорема о существовании верхнего (нижнего) предела. 9

Характеристические свойства верхнего (нижнего) предела. 9

3.2. Бесконечно малые последовательности 9

Определение бесконечно малой 9

Основная лемма о бесконечно малой 9

Теорема о сумме бесконечно малых 9

Теорема о умножении на бесконечно малую 9

Теорема об ограниченности бесконечно малой. Следствие 9

3.3. Бесконечно большие последовательности 9

Определение бесконечно большой 9

Связь бесконечно большой последовательности с бесконечно малой 9

Связь с ограниченностью 9

Теорема о сумме с бесконечно большой 9

Теорема о умножении на бесконечно большую 9

3.4. Теоремы о пределе последовательности. 10

Единственность предела 10

Переход к пределу в неравенствах 10

Теорема о двух милиционерах 10

Теорема о пределе суммы (разности) 10

Теорема о пределе произведения 10

Теорема о пределе частного 10

3.5. Свойства сходящихся последовательностей 10

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности 10

Критерий Коши сходимости последовательности. 10

Предел подпоследовательности сходящейся последовательности. 10

Существование предела монотонной последовательности 10

Число е (определение и доказательство корректности определения) 11

Постоянная Эйлера (определение и доказательство корректности определения) 11

Итерационная формула Герона 11

4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 11

4.1. Определение предела функции 11

Первое определение предела функции 11

Второе определение предела функции 11

Равносильность определений 11

Односторонние пределы 12

Теорема об односторонних пределах монотонной функции 12

Математическая запись определения предела функции 12

4.2. Непрерывность и разрывы функции 12

Определение непрерывной функции. Односторонняя непрерывность. 12

Непрерывность функций sin x, cos x, ax, ln x. 12

Определение равномерно-непрерывной функции 12

Точки разрыва и их классификация. 12

Теорема о точках разрыва монотонной функции. 12

4.3. Теоремы о пределе функции. 12

Перенос теорем о пределе последовательности на функции. 12

Первый замечательный предел. Следствие 12

Второй замечательный предел 13

Третий замечательный предел 13

Четвертый замечательный предел 13

4.4. Методы вычисления пределов 13

Предел непрерывной функции 13

Нахождение предела дробно-рациональной функции при x> ? 13

Нахождение предела дробно-рациональной функции при x> a 13

Нахождение пределов выражений с радикалами 13

Применение первого замечательного предела 13

Применение второго замечательного предела 13

4.5. О-символика 13

Определения 13

Некоторые свойства 14

Применение к вычислению пределов 14

4.6. Теоремы о непрерывной функции 14

Непрерывность арифметических операций 14

Непрерывность композиции функций. 14

Ограниченность непрерывной функции (первая теорема Вейерштрасса) 14

Теорема Кантора 14

Теорема о промежуточном значении. 14

Теорема о наибольшем и наименьшем значении (вторая теорема Вейерштрасса) 14

Существование и непрерывность обратной функции 15

1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

1.1. Целые числа и метод математической индукции+


---

Множества N, Nо, Z.+


---

Метод математической индукции. Примеры применения.


Примеры:

1)

2)

Операция факториал.


0!=1

n!(n+1)=(n+1)!

Биномиальные коэффициенты




Св-ва:


Бином Ньютона




Док-во: мат индукция.

1)при n=1 подставляем, верно

При n+1 выносим (a+b), остальное заменяем, разделяем на 2 суммы, затем вводим k*=k+1 и т.д.

1.2. Рациональные и иррациональные числа

Определение рациональных чисел. Контрпример.


В виде дроби можно представить p/q, где p-целое, q – натуральное. Контрпример – корень из 2

Представление рационального числа десятичной дробью


Рац. число можно представить десятичной конечной или периодичной дробью. Либо остаток 0 когда-то, либо он не получится, тогда остается конечное число остатков возможных от 1 до q-1, значит обязательно через сколько-то шагов остаток повторится.

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную


Любую период. дробь можно представить в виде обыкновенной.

Док-во:


Определение иррационального числа


Число, которые могут быть представлены в виде бесконечной непериодичной десятичной дроби

1.3. Действительные числа

Определение действительного числа и обозначение множества действительных чисел


--- R

Числовая прямая, теорема о соответствии точек прямой множеству действительных чисел


Берем OE. Сколько раз OE целиком помещается в отрезке …Затем 0.1 в оставшемся и т.д.

Расширенная числовая прямая, арифметические действия с числами ±?


Готово

1.4. Счетные и несчетные множества

Понятие мощности множества. Определение счетного множества. Определение несчетного множества


Мощность множества – кол-во его элементов. Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел(его элементы можно поставить друг с другом во взаимно однозначное соответсвие) Несчетное, следовательно. нельзя.

Теоремы об объединении счетных и несчетных множеств.


---

Счетность рациональных чисел.


Выписываем такой табличкой рац. числа и спиралькой считаем.

Несчетность иррациональных чисел.


Берем все числа (0,1)
Выписываем, затем выписываем 0,b1b2b3, такое, что b1 отличается от с11, b2 от c22 и т.п.

1.5. Ограниченные и неограниченные множества

Определение ограниченного множества (ограниченность сверху и снизу)


см. программу-минимум

Понятие inf и sup. Определение и характеристическое свойство


sup – наименьшее их чисел, ограничивающее множество сверху



inf – наименьшее их чисел, ограничивающее множество снизу


Теорема о существовании inf и sup


Каждое ограниченное множество имеет точку верхней и нижней грани.

Док-во:

Случай 1. Если в множестве есть положительные числа.

Выбираем самую большую целую часть, не с такой целой частью выкидываем, затем самую большую цифру после запятой, и т.д.

2. ФУНКЦИИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Основные определения.

Определение функции


(см. программу минимум)

График функции.


Множество точек на коорд. прямой с координатами (x,f(x)).

Основные способы задания функции (графически, явно, параметрически, неявно)


+

2.2. Простейшие свойства функций

Ограниченность.


Функция наз. ограниченной если ограничено множество её значений. Огр. сверху или снизу – аналогично.

Монотонность. Точки максимума и минимума.


Монотонная – возрастающая, не возрастающая, убывающая, неубывающая

x0 – локальный максимум, если для некоторой окрестности этой точки f(x)0). Минимум – аналогично. Минимум и максимум – экстремумы.

Выпуклость. Точки перегиба. Аналитическая запись условия выпуклости (две формы)


(см. программу минимум)

Точка перегиба – точка, в которой функция меняет выпуклость.

Теорема1. Выпукла вниз на [x1,x2] тогда и только тогда.



Док-во: обозначаем ТО, что справа в ф за х, выражаем альфу.

Смотрим сторону правую неравенства, и внезапно оказывается, что это уравнение прямой

Теорема2. Выпукла вниз на [x1,x2], если для любого x принадлежащего иксодин иксдва



Док-во. Выражаем по лемме1, альфу находим снова, затем переходим к х,домножаем на иксодин+иксдва

Неравенство Иенсена


Если функция выпукла вниз на [а,b], то

Док-во. Индукция. При n+1 обозначаем сумму альф за бэтту, сумму альф на х за бэттаигрек, тогда получаем.

Обратные функции. Симметричность графиков.

2.3. Элементарные функции.+

Определение степени положительного числа.

Степенная функция. График. Основное свойство.

Показательная функция. График. Основное свойство.

Логарифмическая функция. График. Основное свойство.

Гиперболические и обратные гиперболические функции.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

2.4. Функциональные уравнения, задающие элементарные функции

Постановка вопроса


Существуют ли другие функции, обладающие таким свойством. Договоримся, что нас не интересуют f(x)=const и которые по-разному задаются для рациональных и иррациональных чисел

Уравнение f(x+y)=f(x)+f(y)


1.Рассматриваем y=x

F(2x)=2f(x)

Затем целую часть, затем дробную, затем рациональные, затем y=-x, затем f(r*1)

Уравнение f(x+y)=f(x)*f(y)


1)берем х0 такое что эфотиксноль не равно 0.

2)берем игрек равный икснулевое минус икс. Получаем эфотиск не равно 0 при любых х.

берем икс=игрек=икспополам. Получаем ф(х)больше нуля.

3)обозначаем фи =лнф(х)

Получаем фи от х удоволетворяет первому уравнению, значит лн(ф(х))=сх, а фх=е^сх

Уравнение f(x*y)=f(x)+f(y)


Подставляем х=0.

Получаем ф(у)=0 значит х не в ОДЗ.

Обозначаем альфа – лн икс и от этого действуем.

Уравнение f(x*y)=f(x) *f(y)


заменяем х=е в степени альфа, фи от альфа – эф(е в степени альфа)

Замечание об уравнении, определяющем тригонометрические и гиперболические функции


f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1. Определение предела последовательности

Последовательность, как частный случай функции.


Есть

Понятие окрестности числа и бесконечности.


Есть

Определение предела числовой последовательности. Математическая форма записи.


Есть

Определение сходящейся последовательности.


Есть

Подпоследовательность. Частичный предел


посмледовательность, построенная из части элементов исходной последовательности, взятых в том же порядке.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .

Теорема Больцано-Вейерштрасса


Из любой ограниченной последовательности можно выделитьб сходящуюся подпоследовательность

Док-во – рисуночком. ё.

Понятие верхнего и нижнего предела.


Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных пределов последовательности.

Теорема о существовании верхнего (нижнего) предела.


?

Характеристические свойства верхнего (нижнего) предела.


?

3.2. Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой


Называется бесконечно малой, если её предел = 0.

Основная лемма о бесконечно малой


Утверждение равносильно тому, что xn-a – бесконечно малая.
Док-во из определения

Теорема о сумме бесконечно малых


Бесконечно малая она. ИЗ определения док-во.

Теорема о умножении на бесконечно малую


Ограниченная * бесконечно малую = бесконечно малая.

Из определения док-во

Теорема об ограниченности бесконечно малой. Следствие


Берем эпсилон равный 1. Тех точек, что оказалось за окрестностью – конечное число. Берем максимальный из них по модулю или единицу, получаем границу.

3.3. Бесконечно большие последовательности

Определение бесконечно большой


Если её предел бесконечность

Связь бесконечно большой последовательности с бесконечно малой


Если альфа н бесконечно большая, но единица на альфа н – бесконечно малая(по определению доказываем-с)

Связь с ограниченностью


Если бесконечно большая, то она по смыслу определения не ограничена

Теорема о сумме с бесконечно большой


Сумма бесконечно больших – бесконечно большая

Док-во – по определению

Теорема о умножении на бесконечно большую


Произведение бесконечно больших – бесконечно большая.

Док-во. По определению.

3.4. Теоремы о пределе последовательности.

Единственность предела


Если у последовательности есть предел, то он единственен. Док-во – от противного. Пусть 2 предела а, и b. Тогда берем эпсилон = 1/3b-a по модулю. Записываем по определению про первый предел. Получаем, что во второй может попасть толкьо конечное число, а это противоречие

Переход к пределу в неравенствах


См. минимум

Док-во. От противного. С картинкй и эпсилон одной третей b - а

Теорема о двух милиционерах


Док-во по определению + переход к пределу.

Теорема о пределе суммы (разности)


По лемме о бесконечно малой доказывается

Теорема о пределе произведения


По ней же

Теорема о пределе частного


По ней же

3.5. Свойства сходящихся последовательностей

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности


Если последовательность сходится, то она ограничена

Док-во. Из леммы о бесконечно малой и того, что бесконечно малая ограничена.

Критерий Коши сходимости последовательности.




Док-во. 1)Пусть лимит равен а, тогда по определению.

2)Пусть критерий выполняется, тогда (запись критерия) Берем m=n0. Раскрываем, получаем xn ограничена, из неё по Б-В выделяем сх-ся последовательность. Обозначаем её лимит а. А затем делаем

Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.


Предел подпоследовательности сходящейся последовательности равен пределу последовательности

Существование предела монотонной последовательности


Любая монотонная органиченная последовательность имеет конечный предел и монотонная и неограниченная – бесконечный. Док-во: Пусть xn-монотонная и ограниченная. Пусть она возрастает.

Тогда св-во супремумов берем и доказываем.

Число е (определение и доказательство корректности определения)




Док-во. 1)Показываем, что xn возрастает, деля xn+1 на xn. Также пользуемся (один плюс икс в степени эн больше или равно один плюс эникс)

2)Показываем, что убывает. Для этого рассматриваем yn делить на yn+1

3)Показываем ограниченность, xnn<=y1=4


Постоянная Эйлера (определение и доказательство корректности определения)




Существует лимит ЭТОГО, и он равен С, которая 0.577…

Док-во. 1)Показываем, что гаммаn возрастает, вычитая из гаммаn+1 гаммаn. Также пользуемся тем, что один плюс один делить на н в степени н+1 больше е.

2)показываемю. что ограничена снизу. Пользуемся тем, что один плюс один делить на эн в степени эн меньше е.

Итерационная формула Герона




Док-во. Доказываем, что xn ограничена снзу, причем xn больше или равно корню из а. Для этого вычитаем из xn+1 корень из а.

2)Показываем. что убывает, вычитая из xn xn+1

4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

4.1. Определение предела функции

Первое определение предела функции


По Гейне

Второе определение предела функции


По Коши

Равносильность определений


1)Предполагаем, что а – предел по Коши. Берем произвольную последовательность. сходящуюся к x0, затем применяем к ней

2)Предполагаем, что а – предел по Гейне. Предполагаем, что это не предел по Коши, то есть находится x, что эфотикс не попадает в окрестность. Берем дэльту равную один на эн. Для каждого из таких дэльтэн найдутся иксэнные, не попадающие в окресность, а бэфотиксэнные не попадающие в уаэ, значит противоречие, ибо эфотиксэн получается не предел.

Односторонние пределы


То же самое, что обычные предел, но для левого любой икс принаделжит (иксноль – дельта, иксноль)

Теорема об односторонних пределах монотонной функции


Если f монотонна на [a,b], то в каждой точке (a,b) у нее есть и правый предел.

Док-во. Для определенности, не убываюшая и a0, тогда всё получится.

Математическая запись определения предела функции


см. рукопись на минимуме

4.2. Непрерывность и разрывы функции

Определение непрерывной функции. Односторонняя непрерывность.


См. минимум. Односторонняя аналогично.

Непрерывность функций sin x, cos x, ax, ln x.


Sсектора больше S треугольника, значит x

Определение равномерно-непрерывной функции


Функция равномерно непрерывна, если непрерывна в каждой точке.

Точки разрыва и их классификация.


есть

Теорема о точках разрыва монотонной функции.


Каждая монотонная функция может иметь не более чем счетное число разрывов толкьо 1ого рода.

Док-во. Предполагаем, что x0 – точка разрыва. Для определенности берем ф возрастает, тогда ф(икс0-дельта)меньше или равно ф(икс) меньше или равно ф(икс0+дельта)

Переходим к пределам.

1) Если пределы =. то они равны ф(х). значит х0 – не устранимая точка разрыва. Пределы не могут быть бесконечностью по определению, значит предел первого рода.

2)Доказываем что счетны – находим интервалы ф(х0-дельта),ф(х0+дельта), чтоб интервалы не пересекались. на каждом выбираем 1 рац. число, потому множество интервалов не более чем счетно.

4.3. Теоремы о пределе функции.

Перенос теорем о пределе последовательности на функции.


По Гейне, нет?

Первый замечательный предел. Следствие




В док-ве используется, что



и теорема о 2х милиционерах.

Второй замечательный предел




Док-во: Из доказанного про е.

Предполагаем, что {xn } – произвольная положительная последовательность, стремящаяся к 0.Обозначаем mn – целая часть 1/xn. Далее по свойствам целой части. Далее ко всем +1 и возводим в mn и по 2м.

Далее то же самое для отр. чисел, тогда . Там по доказанному.

Третий замечательный предел




Тут легко всё доказывается.

Четвертый замечательный предел




Док-во

Замена ax-1=y

Дальше легко.

4.4. Методы вычисления пределов

Предел непрерывной функции

Нахождение предела дробно-рациональной функции при x> ?

Нахождение предела дробно-рациональной функции при x> a

Нахождение пределов выражений с радикалами

Применение первого замечательного предела

Применение второго замечательного предела

4.5. О-символика

Определения







Некоторые свойства



Применение к вычислению пределов

4.6. Теоремы о непрерывной функции

Непрерывность арифметических операций


Если f(x) и g(x) непрерывны в x0, то f+-g, f*g непрерывны в этой точке. а также если в окрестности x0 g не равно 0, то и f/g непрерывно в x0

Непрерывность композиции функций.


Если f непрерывна в x0, а g непрерывна в точке y0=f(x0), то g(f(x)) непрерывна в этой точке.

Док-во. Берем xn стремящееся к x0. А потом из непрерывности.

Ограниченность непрерывной функции (первая теорема Вейерштрасса)


см. минимум.

Если f непрерывно на [a,b], то она ограничена на [a,b]. Док-во – предположим противное.

Теорема Кантора


Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на нем.

Док-во. Предполагаем противное, что существует x',x'' такие, что |x'-x"|<дельта, а |f(x')-f(x")|>эпсилон. Берем последовательность дельтаn равную 1/n, смтроим xn' и xn", такие. что их разность больше ½, а разность ф от них больше эпсилон. хн получилось ограничено, значит можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Дплее как получается

Теорема о промежуточном значении.


Если f непр на [a,b], f(a)=a, f(b)=B, тогда

Док-во. Предполагаем, что для определенности A
Обозначаем икссчертойнаверху – все точки оттуда, в которых фиотикс<0. Множество таких точек ограничено, значит существует супремум икссчертойнаверху, который обозначаем иксноль.

1) фиотикс0 меньше 0. Берем эпсилон равный –1/2фиотиксноль. ИЗ определения непрерывности(предела функции) получаем, что все точки лежат ниже чем надо, получаем противоречие верхней грани.

2)фиотикс0 больше 0. Берем эпсилон равный 1/2фиотиксноль. И то же самое.

Получаем везде противоречия и в итоге эфотикс0 равно С.

Теорема о наибольшем и наименьшем значении (вторая теорема Вейерштрасса)


Если f непр на [a,b], то она достигает своего max и min

Док-во: Обозначаем M-supf(x)

Предполагаем противное. Рассмартиваем фнкцию фиотикс = 1/(M-f(x)). Она непрерывна, значит по 1 теореме веерштрасса она ограничена, значит существует B которого она меньше или равна. Это противоречит тому, что М – это суп.

Существование и непрерывность обратной функции


Если f строго возрастает(убывает) и непрерывна, то у неё есть обратная, которая также строго возрастает(убывает) и непрерывна..

Док-во: Пусть для определенности возрастает. Тогда по определению возрастания и по определения непрерывности.

Похожие:

1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconЭкзаменационные вопросы и задачи Натуральные и целые числа. Принцип математической индукции. Пример
Иррациональные отрезки. Действительные числа и операции над ними. Порядок. Существование корней
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconМетод математической индукции
В первом же семестре вуза на лекциях и практических занятиях студенты встречаются с доказательствами методом математической индукции....
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconСеминар Метод полной математической индукции. (напоминание)
Этот метод применяется для доказательства таких утверждений, в формулировке которых участвует числовой параметр t, принимающий значений...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconЭлективный курс по математике «Метод математической индукции при решении задач»
Программа элективного курса «Метод математической индукции при решении задач» направлена на подготовку учащихся к предметной олимпиаде,...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 icon§ Гипотеза и её доказательство
После этого останется только проверить эту гипотезу методом математической индукции. А метод математической индукции позволяет в...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconОткрытые задачи на метод математической индукции
Здесь собраны задачи, в которых нет готовых утверждений. Сначала надо эти утверждения получить (угадать с помощью численного эксперимента...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconКраткое содержание проекта Проект рассчитан на учащихся 9 класса и предусматривает углубление и расширение знаний по математике в частности по теме «Метод математической индукции»
В проекте рассматривается традиционный круг задач на применение метода математической индукции в элементарной математике: доказательство...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconМетод математической индукции
Охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3 iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org