Лекция Функция комплексного переменного. План лекции



Скачать 86.57 Kb.
Дата03.12.2012
Размер86.57 Kb.
ТипЛекция
Лекция 2. Функция комплексного переменного.
План лекции:

  1. Область в комплексной плоскости.

  2. Функция комплексного переменного.

  3. Предел функции комплексного переменного. Непрерывность.


Содержание лекции:
Вопрос 1. Область в комплексной плоскости.

Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее следующими свойствами:

  1. Свойство открытости - вместе с каждой точкой из множества D в D лежит и достаточно малый круг с центром в этой точке.

  2. Свойств связности - любые две точки области D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.

Любым примером области могут служить окрестности точки на комплексной плоскости. Под ε-окрестностью точки z0 понимают открытый круг радиуса ε с центром в этой точке, то есть совокупность точек z, удовлетворяющих неравенству:

Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером ограниченной области является ε-окрестность точки z0. Примером неограниченной области может служить, напрмер, верхняя полуплоскость.

Граничной точкой области D называют такую точку, которая сама не принадлежит D, но в любой окрестности которой лежат точки этой области.

Совокупность граничных точек области D называется границей этой области.

Например, для ε-окрестности точки z0 : границей области является окружность

Область D с присоединённой к ней границей называют замкнутой областью и обозначают символом . Будем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек.
Область называют односвязной, если граница состоит из одной связной линии.

Область называю многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей - в частности, двухсвязной, 3х-связной и т.д. На рис. приведены примеры 3х-связной и односвязной областей.

Положительным направлением обхода границы считается такое, при котором область остаётся всё время слева.
Пример 1.

Построить область . означает расстояние между точками z и z0

Решение


Геометрическое место точек комплексной плоскости, расстояние которой от точки z0 меньше R - это круг с центром в точке z0 и с радиусом R. Область ограниченная, открытая.
Пример 2.

Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:

а)

Решение


Область замкнутая, ограниченная.
б)

Решение


Неравенство это означает, что расстояние каждой из точек z от точки 1 – i больше1, но меньше 2. Поэтому областью является внутренность кольца, ограниченного двумя окружностями с центром в точке 1 – i и радиусами 1 и 2. Область открытая, ограниченная, двухсвязанная.
в) . Область замкнутая, неограниченная, односвязанная.

г)

Решение


Оно равносильно неравенству или откуда: или

Итак область есть Im(z) > 0(верхняя полуплоскость), открытая, неограниченная, односвязанная.

д)

Решение

Равенство означает геометрическое место точек z комплексной плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек -1 и 1 есть величина постоянная, равная 4. Это эллипс с фокусами в точках -1 и 1, для которого 2а = 4, с = 1,


Область замкнутая, ограниченная, двусвязанная, ограниченная эллипсами.


Вопрос 2. Функция комплексного переменного.
Определение функции комплексного переменного аналогично определению функции действительного переменного:

Говорят, что на множестве g точек плоскости z задана функция w = f (z), если указан закон, по которому каждой точке z из g ставится в соответствие определённая точка или совокупность точек из w.

В первом случае функция w = f (z) называется однозначной, во втором многозначной. Множество g называют множеством определения функции f (z), а совокупность всех значений w которые f (z) принимает на g -- множеством её значений.


Множества g и могут быть самыми различными.

Так как задание комплексного числа равносильно заданию 2-х действительных чисел x и y а числу точно также однозначно соответствует пара действительных чисел u и v, то задание функции комплексного переменного w = f (z) равносильно заданию 2-х функций 2-х действительных переменных: .

Например, если w = z2, то, полагая получим:

и, следовательно,

Если значения переменной z изображать с помощью точек некоторой плоскости (плоскость z), а значения функции w с помощью точек другой плоскости (плоскость w), то функция

w = f (z) устанавливает соответствие между точками плоскости z, в которой эта функция определена, и точками плоскости w.

Другими словами, функция w = f (z) осуществляет отображение точек плоскости z на соответствующие точки плоскости w.

Точки множества называют образами соответствующих точек множества g при отображении w = f (z), а точки множества --- прообразами соответствующих множества .

Пример

Найти отбражение области , осуществляемое функцией

Решение

Точки круга g определены неравенством , но если , то неравенство равносильно неравенству , которое определяет совокупность точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом, равным 4.

Функция однозначна и каждой точке z соответствует единственная точка w.

Поэтому функция осуществляет однозначное отображение круга в круг .
Если в плоскости z кривая с задана уравнением f (x,y) = 0 , то для того, чтобы найти уравнение отображения этой кривой в плоскости w, осуществляемого функцией w = f (z), достаточно исключить x и y из этих уравнений:

u = u (x, y); v = v (x, y); (1)

f (x, y) = 0 (2)

Если кривая с задаётся в параметрическом виде:

x = x (t); y = y (t); (3)

то подставляя x(t) и y(t) вместо x и y в (1), получим уравнение кривой с также в параметрическом виде:

u = u [x(t), y(t)] = 1(t); v = v [x(t), y(t)] = 2(t) (4)

Замечания. Параметрические уравнения линии в плоскости (3) могут быть заменены одним уравнением z = z(t),

где z(t)=x(t)+iy(t) (5)

Например, уравнение (6)

где -- постоянное целое число,

является уравнением окружности с центром в точке z0.

Действительно, полагая в уравнении (6) , получим:



Последнее есть уравнение окружности в параметрической форме радиусом R с центром в точке (x0, y0). Исключая параметр t, получим уравнение в декартовых координатах:



Полагая в формуле (6) z0 = 0, а R = 1, получим z = eit то есть уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Уравнение кривой в плоскости w, на которую с помощью функции w = f (z) отображается кривая z = z(t), имеет вид w = f [z (t)].

Пример

Найти уравнение линий плоскости w, на которые с помощью функции w = z2 отображаются прямые, параллельные координатным осям плоскости z.

Решение

Так как w = z2, то u = x2 – y2; v = 2xy

Рассмотрим семейство прямых, параллельных 0Y: x = c

Чтобы найти образы этого семейства, подставим вместо х его значение:

u = c2 – y2; v = 2cy

Исключив y, получим:

Это уравнение семейства парабол, симметричных относительно оси 0 u, вершины которых находятся на положительной части этой оси и которые обращены вогнутостью в сторону отрицательной части оси 0 u. Мнимая ось x = 0 плоскости z отобразится на линию:

u = - y2

v = 0

Второе из этих равенств показывае, что образ мнимой оси на оси 0u, а из первого следует, что u может принимать лишь отрицательные значения и нуль, следовательно мнимая ось x = 0 плоскости z отображается на отрицательную часть действительной оси плоскости w:



Рассуждая аналогично, получим: семейство прямых y = d’ отобразится в семейство парабол:



плоскости w. Это семейство парабол, симметричных относительно оси 0u с вершинами на отрицательной части 0u и которые обращены вогнутостью в сторону положительной части оси 0u

Действительно, ось y = 0 плоскости z отобразится в положительную часть действительной оси плоскости w:



Пример

Найти образ прямой z = (1 – i) t при отображении функцией w = z5

Решение

Уравнение z = (1 – i) t равносильно системе уравнений:



Оно определяет в плоскости z биссектрису y = -x второго и четвёртого координатных углов. С помощью функции w = z5 эта прямая отображается на линию:



Откуда: u = -4t5; v = 4t5

Исключая t, получим v = -u - уравнение биссектрисы второго и четвёртого координатных углов плоскости w.

Вопрос 3. Предел функции. Непрерывность.

Пусть функция w = f (z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z0 , кроме, может быть, самой точки z0

Число w0 называется пределом функции f (x) при , если каково бы ни было число > 0, найдётся такое число > 0, что для всех значений z , удовлетворяющих неравенству

(1)

имеет место неравенство

(2)

и пишут:

Если z0 или w0 , или оба эти числа бесконечны, то в соответствии с определением окрестности бесконечно удалённой точки неравенство (1) или (2), или оба эти неравенства должны быть заменены другими. Так, например, равенство

,

где w0 конечно, обозначает, что каково бы ни было > 0, к нему можно подобрать столь большое число А > 0, что для всех значений z, для которых | z | > A, функция f (z) будет удовлетворять неравенству:

| f (z) – w0 | <

Введённое определение предела функции ничем не отличается от определения предела функции действительного переменного и, следовательно, все доказываемые в курсе математического анализа теоремы о пределах остаются в силе для функций комплексного переменного.

Функция w = f (z) называется непрерывной в точке z0 , если она определена в точке z0 и некоторой её окрестности, и предел f (z) при существует и равен значению функции в этой точке, то есть



В соответствии с определением предела это значит: функция w = f (z) непрерывна в точке z0 , если для любого положительного числа можно подобрать такое число , что из неравенства | z – z0 | < следует, что

Функция называется непрерывной в области D, если непрерывна в каждой точке этой области.

Для функций, непрерывных в замкнутых областях, остаются справедливыми свойства свойства функций действительного переменного, непрерывных в замкнутых областях. Именно, каждая функция w = f (z), непрерывная в замкнутой области :

  1. Ограничена в области , то есть существует такое постоянное число M > 0, что

для всех z из

  1. Достигает в наибольшего и наименьшего значений, так что для всех z, принадлежаших , имеют место неравенства:



Теперь легко убедиться в справедливости утверждения: Непрерывная кривая отображается с помощью непрерывной функции на непрерывную кривую (или, если f (z) постоянна вдоль заданной кривой, в одну точку).




Похожие:

Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconЛекция Интегрирование функций комплексного переменного
Но определенный интеграл регулярной функции комплексного переменного обладает свойством, присущим не всем криволинейным интегралам...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconОпределение функции комплексного переменного
Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconУчебное пособие по курсу «теория автоматического управления»
...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconПрямое и обратное преобразования лапласа
...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconУчебная программа Дисциплины р1 «Теория функций комплексного переменного»
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconУчебная программа Дисциплины р2 «Теория функций комплексного переменного» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconРабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного
Воспитание достаточно высокой математической культуры; развитие навыков использования понятий и методов теории функций комплексного...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconЛекция Элементарные функции. План лекции
Показательной функцией называется функция вида w = ez. Показательную функцию ez при любом коиплексном показателе z = x + iy определим...
Лекция Функция комплексного переменного. План лекции iconРабочая программа курса «Теория функций комплексного переменного»
«Теория функций комплексного переменного» для специальности 220600 «Организация и технология защиты информации»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org