Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые



Скачать 108.11 Kb.
Дата03.12.2012
Размер108.11 Kb.
ТипРеферат


Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Замечательные кривые

Математика

Даценко Екатерина Александровна, 16 лет

Научный руководитель:

Дударь Галина Аркадьевна


им. М.В.Ломоносова»
МБОУ «Брянский городской лицей №2

Брянск 2012 год

Содержание

Введение………………………………………………………….……….……3

Глава 1

1.1 Окружность………………………………………………….…..…………4

1.2 Эллипс………………………………………………………..…………….5

1.3 Лемниската…….……….……………………..…...……………..……… .8

1.4 Кардиоида……..…………………………………..…………....…….……11

Заключение..………………..……………………………………………..…..12

Используемая литература.………….…..……………………………………13

Введение

В разговорном языке слово «кривой», «кривая», «кривое» употребляется как прилагательное, обозначает то, что отклоняется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, кривой дороге, кривом зеркале, о кривой душе. Математики обычно употребляют слово «кривая» в смысле существительного; они подразумевают под этим словом кривую линию. Что же такое кривая линия, какие кривые существуют? На эти вопросы я хотела ответить в своей работе. Для этого я стала решать задачи.

При подготовке к экзамену по геометрии в 9 классе я решала задачи на нахождение геометрического места точек. Часто это была прямая или ее часть. Неожиданным оказался ответ следующей задачи.

Задача.

Найдите геометрическое место точек плоскости, симметричных данной точке А относительно произвольной прямой, проходящей через данную точку В.

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих данным условиям, оказалась окружность. Интересно, есть ли другие кривые, которые можно задать как геометрическое множество точек? Если такие кривые есть, и их можно построить, то какими уравнениями будут задаваться их графики?

Проблема: можно ли самостоятельно изучить тему «Кривые на плоскости».

Цель работы – изучить свойства, графики некоторых кривых на плоскости.

Задачи: 1. Изучить теорию по данному вопросу.

2. Изложить полученную информацию в виде дополнительных глав к учебнику.

3.Применить знание на практике для решения задач.

Этот материал полезен ученикам 9-11 классов при подготовке к сдаче экзаменов.

Предмет исследования: кривые на плоскости.

1. Окружность

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Задача 1

Найдите геометрическое место точек плоскости, симметричных данной точке А относительно произвольной прямой, проходящей через данную точку В.

Решение:

О
А(А')
чевидно, что сама точка А принадлежит искомому геометрическому месту. Действительно, если прямая, проходящая через точку В, выбрана так, что она проходит и через точку А, то симметричная точке А относительно этой прямой точка А' совпадает с точкой А.

П
М

В

Рис. 1
усть точка М - точка, симметричная точке А относительно произвольной прямой, проходящей через точку В. Тогда очевидно, что ВА=ВМ. Это означает, что точка М принадлежит искомому геометрическому месту точек, является условием принадлежности её указанной окружности.

Покажем теперь, что любая точка окружности с центром в точке В и радиусом ВА принадлежит искомому геометрическому месту. Пусть М- произвольная точка такой окружности. Проведем к хорде МА серединный перпендикуляр, который, очевидно, проходит через центр окружности, точку В. Тогда точки М и А оказываются симметричными относительно этой прямой и доказывает высказанное утверждение. Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, симметричных данной точке А относительно произвольной прямой, проходящей через другую данную точку В, является окружность с центром в точке В и радиусом ВА.

Задача 2

Каким соотношением между координатами точек, образующих окружность с центром в точке О и радиусом R, записывает это геометрическое место?

Решение

Введем систему координат так, что точка О получит координаты (x0,y0). Пусть М (x,y) – произвольная точка окружности. Тогда ОМ равно R. Имеем:

d2=OM2=(x - x0)2+( y - y0)2.

Поскольку в рассматриваемом случае d=R при любых x и y, то координаты точек окружности должны удовлетворять соотношению

(x - x0)2+( y - y0)2= R2 ,

которое и представляет собой координатную запись данного геометрического места точек. Это соотношение называется «уравнением окружности» с центром в точке О(x0,y0) и радиусом R.

2. Эллипс

Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

Каноническое уравнение эллипса описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что 0 < b ≤ a. В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.
Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

Задача 3

Найдите эксцентриситет эллипса x2 / 8 + y2 / 6 = 1

Решение.

По формуле нахождения эксцентриситета эллипса

ε = √(64 - 36) / 8

ε = √28 / 8 = 2√7 / 8 = √7 / 4 ≈ 0,66 ≈ 2/3

Ответ: 2/3.
Задача 4
На плоскости даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2f. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до точек F1 и F2 равно одному и тому же числу 2a(a>f). (рис.2)

Решение

В
Рис. 2
ведем систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через точки F1 и F2, причем начало координат находилось бы в середине отрезка F1F2. Имеем: F1 (-f, 0), F2 (f, 0).

Пусть М (x, y) – произвольная точка, принадлежащая геометрическому месту. Тогда

МF12 = (х+f)2+y2,

МF22 = (х-f)2+y2,

И свойство точек, принадлежащих геометрическому месту, записывается в виде уравнения

+= 2a.

Преобразуем это уравнение:

= 2a -

a – xf = a

x2(a2-f2)+a2y2=a2(a2 - f2).

Разделив обе части уравнения на его правую часть, имеем:



И, наконец, обозначив разность через b2, получим:



Кривая с таким уравнением называется эллипсом, а числа a и b – его полуосями. Если поочередно полагать в уравнении x=0 и y=0, то можно видеть, что точки A и В имеют координаты (а,0) и (0,b) соответственно, т.е. длины отрезков АО и ВО равны a и b, соответственно.

Точки F1 и F2 называются «фокусами» эллипса, точка О – «центром» эллипса, а точки А и В – «вершинами» эллипса. Оси ОХ и ОY служат осями симметрии эллипса.

Если f=0, т.е. точки F1 и F2 совпадают, то длины полуосей эллипса равны между собой (a=b=R), и уравнение эллипса переходит в уравнение окружности с центром в начале координат:

, x2 + y2=R2.

Э
Рис. 3
ллипс - кривая овальной формы похожая на сплющенный круг.

Пусть точка М движется в плоскости так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F1 и F2 на этой плоскости остается неизменной. Концы нити привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 3), то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг), которая называется эллипсом.

Если хотите получить полный эллипс, нужно перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Нетрудно догадаться, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F1 и F2 остаётся неизменной во все

время движения. Можете проверить, что эта сумма равна длине нити.

П
Рис.4
роколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает “очаг”, “огонь”; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.

Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света (“огонь”) в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден “огонь” - изображение первого (рис. 4).
3. Лемниската Бернулли

Рассмотрим кривую, описываемую точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение p расстояний этой точки до двух определенных точек F1 и F2 той же плоскости. Эта кривая называется лемнискатой. Лемниската по-гречески значит “ленточная”.

Задача 5

Написать уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат (O – середина отрезка F1F2) и в полярной системе координат (O – полюс).

Решение:

Пусть точка O – начало координат; ось OX направлена по F1F2. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат:



Если O – полюс, OX – полярная ось, то уравнение в полярной системе:



Угол изменяется в промежутках и .

Рис.5
Если длина отрезка F1F2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F1F2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно – . Потребуем, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз ; тогда точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид “лежащей восьмерки” (рис. 5).

Продолжив отрезок F1 F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, получим две точки А1 и А2.

Выразим расстояние между А1А2=х через известное расстояние с:

(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2/4 - с2/4.

Е
Рис.6
сли величину неизменного произведения р взять не равной , то лемниската изменит свой вид. И при р меньше , лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис.6).

З
Рис.7
адавая различные условия для р и можно получать лемнискаты различного вида (рис. 7).
Рассмотрим теперь на плоскости любое количество точек. F1 , F2 , ..., Fп. Точка М будет двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Таким образом, получим кривую, форма которой зависти от того, как расположены точки

F1, F2, ...,Fп друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.

Лемнискаты с двумя фокусами были рассмотрены нами выше. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, получим лемнискаты самых удивительных очертаний. Начертить карандашом из некоторой точки А, не отрываясь от бумаги, так, чтобы изображение в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала самое себя.

Т
Рис.8
аким путем могут получиться разнообразные кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 8).

Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов F1 ,F2 , ..., Fп и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний

МF1 МF2 … МFп = p что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. То есть возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии и богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики. [4]

5. Кардиоида

Задача 6

На плоскости дан луч ОХ с вершиной в точке О. Найти геометрическое место точек М, для которых расстояние от точки О равно а(1-соsφ), где а – длина данного отрезка, а φ – величина угла между лучами ОХ и ОМ. [3]

Ответ: кардиоида.

Кардиоида - плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) в 1741 г.

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков. Так же можно сказать, что кардиоида-это плоская кривая, описываемая точкой М окружности, которая извне касается неподвижной окружности того же радиуса и катится по ней без скольжения. Является алгебраической кривой второго порядка.

Уравнение кардиоиды:

.

Заключение

В данной работе я рассмотрела некоторые замечательные кривые, изучила их способы построения, особенности формы и задачи, связанные с этими кривыми.

В главе I были представлены материалы о некоторых кривых.

В пункте 1 была рассмотрена окружность, решена задача на геометрическое место точек плоскости, симметричных данной точке относительно произвольной прямой, получено уравнение окружности.

Во 2 пункте был рассмотрен эллипс, решена задача на геометрическое место точек, задающих эллипс, получено его уравнение.

В пункте 3 была изучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности формы, свойства нормали и построение касательной.

В пункте 4 была описана кардиоида, записано ее уравнение.

Собранный мной материал может быть использован как дополнительные главы к учебнику математики.

Используемая литература:

1.Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: 10-11 классы-М.: Просвещение1996.

2.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике – Государственное издательство физико-математической литературы 1963.

3.Лурье М.В. Геометрия. Техника решения задач. - М.: Издательский отдел УНЦ ДО,ФИЗМАТЛИТ,2002.

4.Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – Государственное издательство технико- теоретической литературы, 1951.

5.Погорелов А.В. Геометрия. 10-11 классы – М.: Просвещение, 2010.

6.myurok.narod.ru


Похожие:

Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconIx городская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» От абака до компьютера
Цель работы: сбор дополнительного материала для использования на уроках математики и информатики о древних способах умножения и о...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconViii малая, открытая, учебно-исследовательская конференция учащихся «первые шаги в науку»
Малая, открытая, учебно-исследовательская конференция учащихся «первые шаги в науку»
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconРайонная научно-исследовательская конференция школьников «Первые шаги в науку»
...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconДоклада // Из книги «Международная научно-практическая конференция «Авестийская астрология»
Стенограмма доклада // Из книги «Международная научно-практическая конференция «Авестийская астрология» (25–26 октября 2003 г., г....
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconIx международная научно-практическая конференция «Экономические науки в России и за рубежом»
Международная научно-практическая конференция «Экономические науки в России и за рубежом» для аспирантов, соискателей, научных работников,...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconНаучно-практическая конференции школьников «первые шаги в науку»
Нас заинтересовал этот вопрос, поэтому мы выбрали данную тему. Мы поставили перед собой цель: исследовать принципы строительства...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconТретья международная научно-практическая конференция «Торсионные поля и информационные взаимодействия» 15-16 сентября в Москве прошла Третья международная научно-практическая конференция «Торсионные поля и информационные взаимодействия»
Ссии, Украины, Армении, сша, Германии, Греции, Аргентины, Австралии. Иностранные докладчики, как и в прошлые годы – это выходцы из...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconРайонная научно-исследовательская конференция школьников «Первые шаги в науку»
Наверное, нет такой семьи, где бы к столу не подавались разнообразные и вкусные блюда, приготовленные из картофеля. Картофель кормит...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconIi международная научно-практическая конференция «Государственно-правовая политика в Северо-Западном регионе»
Мариинском дворце (Санкт-Петербург, Исаакиевская пл., д. 6, Большой зал) откроет свою работу II международная научно-практическая...
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Замечательные кривые iconРайонная научно-исследовательская конференция школьников «Первые шаги в науку»
Но соединить все эти требования в конкретной паре обуви очень непросто. Далеко не последнюю роль в решении этой задачи играет подошва....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org