Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение



Скачать 66.21 Kb.
Дата04.12.2012
Размер66.21 Kb.
ТипДокументы
; – объем "слоя" высотой и площадью
основания .

ПРИМЕР 8. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Решение. Проекция поверхности эллипсоида на ось есть отрезок . Для всякого сечение есть эллипс, приведенное уравнение которого имеет вид .

По формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (см. пример 6), имеем

, . Поэтому значение объема тела, ограниченного эллипсоидом с полуосями ,
вычисляется по формуле объема тела с известной площадью "поперечного" сечения:

.

7.7.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода
(по длине дуги)
проводим с предварительным заданием дуги в ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

(см. п. 2.5)

и записью дифференциального элемента длины дуги в виде

.

Правило: криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу с использованием уравнений дуги.

Типовые задачи





  1. Вычисление криволинейных интегралов I рода

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , если gif" name="object21" align=absmiddle width=53 height=92> , , .

Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с
использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где дуга есть отрезок , , .

Решение. Зададим в параметрической форме, для этого найдем уравнение прямой , откуда . Поэтому имеем

.

  1. Длина дуги

а) Длина дуги в декартовых координатах

ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью . Длину одного витка найдем, если вычислим

.

б) Длина плоской дуги в полярных координатах

Пусть , – дуга на плоскости ().
Выведем формулу для вычисления ее длины.

Поскольку параметр , то

. Поэтому

.
ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды

.

Решение. Используя симметрию кривой, получим





.

3) Механические приложения

ПРИМЕР 5. Вычислить массу дуги
при – линейной плотности распределения массы по
дуге .

Решение.

.

ПРИМЕР 6. Найти центр тяжести одной арки циклоиды



считая дугу однородной, т.е. на дуге.

Решение. Циклоида – траектория неподвижной точки окружности, "катящейся" без скольжения по прямой (оси );
в начальный момент времени точка находится в начале координат (см. рисунок).
Поскольку дуга однородная, можно воспользоваться симметрией дуги, тогда

; .

Длина арки циклоиды

.

Вычисляем статистический момент дуги относительно оси :



; .

Итак, центр тяжести одной арки циклоиды находится в точке .

Замечаем, что действительно центр тяжести дуги не обязательно расположен на самой дуге.
ПРИМЕР 7. Вычислить момент инерции относительно плоскости дуги , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению
ординаты и апликаты, а при равно 1.

Решение. Момент инерции , где или на дуге , причем

, т.е. .

Итак, . Поэтому





.
7.7.3. Вычисление двойных интегралов базируется на
понятии повторного интеграла.

Пусть рассматривается на плоской области и она правильная в направлении оси , т.е. всякая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда область удобно спроектировать на ось . Пусть проекция на есть .

Если – уравнение нижней границы, а – уравнение верхней границы, то любому области принадлежат те точки вертикального отрезка, которые удовлетворяют
неравенствам

(*)

Выражение вида называется повторным
интегралом
от функции по области . Он вычисляется
следующим образом:

сначала находится внутренний интеграл ( – переменная интегрирования, – фиксированная), а затем полученную функцию аргумента интегрируем на .

Значение повторного интеграла – число.

ПРИМЕР 1. Вычислить повторный интеграл ,
восстановив область .

Решение. Интеграл вычисляется по : (см. рисунок).





.

Аналогично:

если область правильная в направлении оси , то ее удобно проектировать на ось . Пусть проекция области на ось есть отрезок , уравнение левой границы области , а правой границы – . Тогда для всякого значение точек прямой , принадлежащих области , удовлетворяет неравенствам . Поэтому область можно
задать в виде



(см. рисунок).

Такому заданию области соответствует повторный интеграл . Для его вычисления находится сначала внутренний интеграл, а затем внешний.
Результат – число!
ПРИМЕР 2. Зададим область примера 1, проектируя ее на ось , Вычислить повторный интеграл .

Решение.

.

Замечаем, что значения различных повторных интегралов
функции по области оказались равными.

Доказано (см. [1]) утверждение:

если непрерывна на , ; область является
правильной в направлении осей координат, то значение двойного интеграла совпадает со значением соответствующего повторного интеграла, причем результат не зависит от порядка
интегрирования
, т.е.

.

Замена переменных в двойном интеграле





Пусть на плоскости задана область , заданы функции отображающие область в область на плоскости (см. рисунок), причем точке соответствует точка , частичные прямоугольники в отображаются в криволинейные
четырехугольники в плоскости .

Предположим, что преобразование является непрерывным, дифференцируемым и взаимно обратным. Тогда можно найти функции определяющие обратное преобразование области в область , которые являются также непрерывными и дифференцируемыми, если не обращается в ноль определитель Якоби (якобиан) , причем абсолютная величина якобиана задает коэффициент
искажения преобразования и .

Поэтому при замене переменных с указанными свойствами в двойном интеграле следует применять формулу

.

Например, для перехода к полярным координатам якобиан , и поэтому при переходе к полярным координатам в двойном интеграле имеем

,

здесь – образ области рассматривается в полярных координатах.

Итак, для вычисления двойного интеграла нужно задать
область интегрирования неравенствами и перейти к повторному интегралу.


Типовые примеры
1) Вычисление двойных интегралов

См. ПРИМЕРЫ 1,2.

ПРИМЕР 3. Вычислить двойной интеграл ,
где область ограничена эллипсом .

Решение. Введем так называемые "обобщенные полярные координаты" Тогда уравнение эллипса запишется в виде , якобиан перехода к этим координатам и в двойном интеграле заменим на , т.е.



.
2) Площадь плоской фигуры

ПРИМЕР 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

Решение. Кривая ограничивает плоскую фигуру на плоскости , поэтому площадь фигуры можно вычислить по формуле

.




Похожие:

Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconРешение Объем цилиндрического тела
Получим или – уравнение лемнискаты (см в 1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconКонтрольная работа по математике №3 (б). Используя геометрический смысл определенного интеграла, решить следующие задачи
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой, прямой x=4 и осью Ох
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconВычислить интеграл, где кривой г является а прямолинейный отрезок, соединяющий точку
Пример Вычислить интеграл, где г – окружность с центром в точке a и радиусом R
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconПример вычислить
Решение. Фкп удовлетворяет условиям 1 и 2 утверждения; имеет 4 особые точки; в верхней полуплоскости расположены ее особые точки...
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconОбъем тела с помощью интегралов можно найти объем любого тела. Найдем объем тела вращения. Пусть имеем функцию, которая определена на и предположим, что она непрерывная функция рис. 1 Определение
С помощью интегралов можно найти объем любого тела. Найдем объем тела вращения. Пусть имеем функцию, которая определена на и предположим,...
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconФорма и размеры земли
По форме геоид наиболее близок к эллипсоиду вращения, т е к математической фигуре, образованной вращением эллипса вокруг его малой...
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconКристаллические и аморфные тела
Большинство веществ в умеренном климате Земли находятся в твердом состоянии. Твердые тела сохраняют не только форму, но и объем....
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconКонтрольная работа Пример 1)  Решение определить цену сложности исходной бф по Квайну (С)
Сложность бф по Квайну можно вычислить как сумму числа букв в элементарных конъюнкциях (11), числа отрицаний (5), числа дизъюнкций...
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconОпределение модуля юнга из изгиба
Под действием внешних сил форма и объем любого тела из­меняются, т е происходит деформация этого тела
Пример вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом. Решение iconФизика твердого тела § 49. Элементы кристаллографии основные формулы Молярный объем кристалла
М — молярная масса вещества;  — плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org