13. Приложения определенного интеграла



Скачать 91.56 Kb.
Дата04.12.2012
Размер91.56 Kb.
ТипДокументы
13. Приложения определенного интеграла.

13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.


В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

  1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром

радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности (), (), ().

  1. Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .

Г
иперболическая спираль
. На рисунке изображены спирали и gif" name="object21" align=absmiddle width=53 height=38>. Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .

  1. К
    ардиоида
    . Три таких кривых изображены на рисунке справа.

Декартово уравнение кардиоиды: ;

Параметрические уравнения кардиоиды:



Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .

  1. Лемниската Бернулли .

Подкоренное выражение неотрицательно при и . Декартово уравнение лемнискаты .

Л
емниската - геометрическое место точек таких, что , где и - фокусы лемнискаты.

На рисунке изображена лемниската с .

  1. Четырёхлепестковая роза . Декартово уравнение .

Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат.

  1. Р
    азвёртка (эвольвента) окружности




Каждая точка этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент конец нити находится в точке .

  1. Циклоида Эта кривая - траектория точки окружности радиуса , которая без скольжения катится по оси . В начальный момент точка находится в точка .

8
. Астроида
Декартово уравнение . Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка - вершина прямоугольника, построенного на отрезке как диагонали. На рисунке приведена астроида с .
13.2. Площадь плоской области.


13.2.1. Декартовы координаты
. В пункте 11.1.4. мы сформулировали Геометрический смысл определённого интеграла: если на отрезке , то равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой , снизу - кривой , слева и справа - отрезками прямых и , то её площадь равна . Пример: Найти площадь области , ограниченной кривыми при условии, что (дальше мы будем писать так: ).

При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых, уравнение имеет два корня: и ;

Подходящий корень - . Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой , крайняя левая точка - , поэтому Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части .


13.2.2. Область задана в полярных координатах. Если область - сектор, ограниченный лучами , и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток лучами на частей; . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , тогда равно площади сектора круга, ограниченного лучами , и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область , её площадь .

При разница между и - площадью области - будет тоже стремиться к нулю, т.е. .

Примеры: 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Решение: точки лемнискаты расположены в секторах и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе и учетверим её:




2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности .

Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности , поэтому

3. Найти площадь, лежащую внутри окружности вне лемнискаты .

Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия , Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. При изменении от до полярный радиус меняется от до ; при изменении от до полярный радиус меняется от 0 до ; поэтому

13.2.3. Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию (см. 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде ; то переход в интеграле к переменной приводит к формуле .

Пример: найти площадь, ограниченную астроидой ().

Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка получается при , точка - при , поэтому

13.3. Вычисление длин кривых.


13.3.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая . Разобьём эту кривую точками на частей и впишем в кривую ломаную , соединяющую эти точки. Длина этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

. Устремим теперь количество точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных , не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой .

13.3.2. Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая - график функции , имеющей непрерывную производную , . Тогда точка имеет координаты , звено имеет длину . Функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением , , определяется формулой .

Пример: Найти длину отрезка параболы от точки до точки .

Решение: , поэтому

.

13.3.3. Кривая задана параметрически . Заменим в переменную на переменную . Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .

Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

Решение: кривая задаётся уравнениями

.

13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим , поэтому

.

Пример: найти длину кардиоиды .

Решение: , поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение:

О
днако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

13.4. Объёмы тел вращения.

13.4.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело расположено в пространстве между плоскостями и , и для известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями на слоёв (), на каждом из отрезков возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями и приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму , поэтому .


13.4.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём получается в результате вращения кривой , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси .


Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .


Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение:

.
13.5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)


(- длина окружности кольца, - его ширина).

Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси .

Решение: .





Похожие:

13. Приложения определенного интеграла iconЛекция 10 Приложения определенного интеграла План
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит...
13. Приложения определенного интеграла iconОсновные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
13. Приложения определенного интеграла iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
13. Приложения определенного интеграла iconКонтрольная работа №2 I. Интегралы. Приложения определенного интеграла
Найти площадь
13. Приложения определенного интеграла iconСвойства определенного интеграла
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла
13. Приложения определенного интеграла iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
13. Приложения определенного интеграла iconКурсовой проект студента 3 курса 3 группы "Допустить к защите"
Создание web-приложения для вычисления определенного интеграла по квадратурным формулам трапеций и парабол
13. Приложения определенного интеграла iconЛекция 18. Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих...
13. Приложения определенного интеграла iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
13. Приложения определенного интеграла iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org