7 Периодический в-сплайн



Скачать 52.58 Kb.
Дата04.12.2012
Размер52.58 Kb.
ТипДокументы
7.4. Периодический В-сплайн
Длина вектора параметризации для периодического В-сплайна рассчитывается по той же формуле, что и для открытого. Число существенных интервалов периодического В-сплайна совпадает с числом существенных интервалов открытого В-сплайна.

Главной особенностью периодического В-сплайна является его вектор параметризации. Параметры периодического В-сплайна находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и не зависят от опорных точек, по которым строится кривая. Первый параметр всегда равен нулю. В случае, если интервал между параметрами равен 1, то последний параметр равен числу интервалов вектора параметризации. Результирующая кривая получается в результате параллельного переноса базисных функций (элементарных В-сплайнов).

Такое построение периодического В-сплайна определяет его основное свойство – периодический В- сплайн не проходит через первую и последнюю опорные точки.

Покажем расчет периодического В-сплайна 3-ей степени по четырем опорным точкам.

Длина вектора параметризации m=n+p+2=8. Положение элементарных В-сплайнов на векторе параметризации показано на рис.9.





Рис. 9
Существенный интервал для такого вектора параметризации один и расположен между параметром t=3 и параметром t=4. Математическое выражение для периодического В- сплайна имеет следующий вид:

Элементарные В-сплайны необходимо рассчитать только на существенном интервале. N0,3(t) представляет собой элементарный В-сплайн на своем четвертом собственном интервале параметризации и рассчитывается по параметрам, соответствующим вектору параметризации, показанном на рис.10.



Рис. 10
Элементарные В-сплайны N1,3(t), N2,3(t), N3,3(t) рассчитываются на третьем, втором и первом собственных интервалах соответственно. Параметры для расчета выбираются в соответствии векторами параметризации, показанными на рис.11 а), б) и в) соответственно.


7


а) б) в)

Рис. 11
Таким образом, математические выражения для них имеют следующий вид:



На рис.
12 показан периодический В-сплайн 3- ей степени, построенный по 4-ом опорным точкам.


Рис. 12

7.5. Расчет нормализованного периодического В-сплайна

Как говорилось выше, В-сплайн имеет один существенный интервал параметризации , если число опорных точек на единицу больше, чем число опорных точек, по которым строится кривая.

Действительно, согласно формуле (10) число существенных интервалов int=n-p+1, т.е. в данном частном случае, когда n=p, получим int=n-n+1=1.

В случае, если существенный интервал нормализован, то периодический В-сплайн называется нормализованным.

7.5.1. Расчет нормализованного периодического В-сплайна 2-ой степени
Нормализованный периодический сплайн 2-ой степени строится по трем опорным точкам - P0, P1,P2. Вектор параметризации для периодического нормализованного В-сплайна 2-ой степени имеет следующий вид:

Т={-2,-1,0,1,2,3}, существенный интервал – 0




Рис. 13

В соответствии с формулами для расчета элементарных В-сплайнов на своих собственных интервалах, получим выражения для элементарных В-сплайнов на существенном интервале вектора параметризации.



Выражение для Нормализованного периодического сплайна второй степени имеет следующий вид:


Выражение для нормализованного В-сплайна 2-ой степени часто представляют в матричном виде:



Определим значение периодического В-сплайна 2-ой степени при значении параметра t =0 и параметра t=1, т.е. в начале и в конце кривой:


Выражение для производной первого порядка от функции, определяющей периодический нормализованный В-сплайн приведено ниже.



Рассчитаем значение первой производной в конце и начала кривой:





В соответствии с вышеприведенными формулами можно вывод о том , что периодический нормализованный В-сплайн касается отрезков P0P1 и P1P2

и начинается и заканчивается в середине соответствующих отрезков (рис.14).


P2

P2

P0

P1


Рис. 14
7.5.2. Расчет нормализованного периодического В-сплайна 3-ей степени


Нормализованный периодический сплайн 3-ей степени строится по четырем опорным точкам - P0, P1,P2, P3. Вектор параметризации для периодического нормализованного В-сплайна 2-ой степени имеет следующий вид:

Т={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, существенный интервал – 0



Рис. 15

Воспользовавшись формулами для расчета элементарных В-сплайнов на своих собственных интервалах параметризации, получим выражения для элементарных В-сплайнов N0,3(t), N1,3(t), N2,3(t), N3,3(t) на существенном интервале.




В соответствии с полученными значениями элементарных В-сплайнов 3-ей степени на существенном интервале выражение для В-сплайновой кривой 3-ей степени по 4-ом опорным точкам на основе периодического нормализованного сплайна будет иметь следующий вид:



В матричном виде это выражение можно представить следующим образом:

Определим поведение кривой в начале и в конце существенного интервала, т.е. при t=0 и при t=1.

На основании вышеприведенных формул можно сделать вывод, что кривая третьей степени, построенная на основе нормализованного периодического сплайна по 4-ом опорным точкам, не проходит через первую и последнюю точки, а проходит вблизи этих точек.

Определим значение производной в первой и последней точках рассматриваемой кривой.

Значение первой производной в общем виде определяется в соответствии с следующей формулой.

В соответствии с этой формулой производная в начале и в конце рассматриваемой кривой принимает следующие значения;


Эти выражения говорят о том, что анализируемая кривая касается отрезков, проведенных через точку P0 , P2 и P1, P3 .

На рис.16 показано поведение кривой внутри выпуклой оболочки , образованной точками P0, P1,P2, P3.


Рис. 16

Похожие:

7 Периодический в-сплайн iconСплайн-интерполяция
Определение 2 Сплайн (англ spline рейка, линейка) это определенная в некоторой области g ∈ Rn кусочно-полиномиальная функция из класса...
7 Периодический в-сплайн iconВариант кубический b-сплайн. Математическая модель
В программе реализован простой кубический b-сплайн, принадлежащий классу непрерывности и лежащий в объединении выпуклых оболочек...
7 Периодический в-сплайн iconТема урока «Периодический закон и периодическая система х/э в свете теории строения атома» Тип урока урок закрепления знаний и умений учащихся
Закрепление знаний по теме «Периодический закон и периодическая система химических элементов в свете электронной теории»
7 Периодический в-сплайн iconДоклад «Периодический закон Менделеева в свете синергетической теории информации»
Оганов В. В. Доклад «Периодический закон Менделеева в свете синергетической теории информации» на Всероссийском научном форуме молодежи...
7 Периодический в-сплайн iconВикторина по теме: «Жизнь и научная деятельность Д. И. Менделеева. Периодический закон и периодическая система Д. И. Менделеева» (открытое внеклассное мероприятие в рамках недели естественно-научных дисциплин)
Жизнь и научная деятельность Д. И. Менделеева. Периодический закон и периодическая система
7 Периодический в-сплайн iconПериодический закон открытие Периодическая система химических элементов Закономерности в изменении свойств элементов Современная формулировка периодического закона
Периодический закон и периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева закономерности изменения свойств элементов малых...
7 Периодический в-сплайн icon«Периодический закон и периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева»
Разработка плана-конспекта урока «Периодический закон и периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева»
7 Периодический в-сплайн iconТема урока: «Периодический закон и периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева. Строение атома.»
Периодический закон и периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева
7 Периодический в-сплайн iconКонтрольная работа по вычислительной математике №3 Интерполяция сплайнами
Расчет кубического сплайна. Сплайн S(x) – непрерывная на отрезке функция, которая удовлетворяет следующим условиям
7 Периодический в-сплайн iconЗадание Меховые тапочки
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org