Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи



Скачать 24.09 Kb.
Дата04.12.2012
Размер24.09 Kb.
ТипАнализ

Задание.


Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна.

Анализ задачи


Для интерполяции функций при заданных значениях в некоторых точках отрезка используют несколько методов. В том числе и метод интерполяции Эрмитовыми сплайнами. Данный тип сплайна отличается от остальных тем, что дает непрерывные производные вплоть до заданного прядка. Для кубического Эрмитова сплайна получается функция с непрерывной первой и второй производными.

Для интегрирования сначала требуется построить сам интерполяционный сплайн, а затем вычислить первообразную и связать ее в узловых точках отрезка.

Приведем некоторые теоретические сведения построения этого типа сплайна.

Пусть дано множество точек . Каждой точке из этого множества соответствует свое значение интерполируемой функции, то есть, задано также множество .

Функцию на каждом отрезке будем интерполировать с использованием кубического полинома, то есть полинома третьей степени, записанного в следующем виде.



Коэффициенты многочлена определяют исходя из условий интерполяции, то есть прохождения полинома через узловые точки.



, где

Однако число этих уравнений вдвое меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому для определенности задачи нужны дополнительные условия. Для их получения вычислим первую и вторую производные.





Потребуем также непрерывности этих производных, то есть гладкости функции во всех точках, включая узлы. Приравнивая во внутреннем узле правые и левые пределы производных получим





Недостающие два узла получают из условий нулевой кривизны графика. Также можно задать другие варианты краевых условий, например, значения производных на краях отрезка интерполяции.

Полученные уравнения образуют систему линейных уравнений, решив которую можно определить gif" name="object13" align=absmiddle width=27 height=19> коэффициентов, однако существует способ сокращения размеров матрицы, а вместе с тем и затрат численного программирования. Из всех уравнений выразим вторую производную, то есть . Составив систему из полученных равенств и решив ее мы определим , после чего можно по формулам определить другие коэффициенты.







В общем виде СЛАУ выглядит следующим образом:


По полученному полиному можно составить первообразную

, где параметр нужно находить из непрерывности первообразной.

Описание программы


В данной программе реализован описанный метод построения Эрмитового сплайна. Решение полученной СЛАУ происходит с помощью адаптированного метода LU- разложения. Просчет текущих коэффициентов происходит один раз при введении новой точки. Точки вводятся с использованием мыши. Щелчок левой клавишей приводит к занесению точки в массив и расчету коэффициентов сплайна. При рисовании используются уже подготовленные данные.

Синим цветом отображается интерполированная функция, а зеленым искомая первообразная. Считается, что в самой левой точке отрезка первообразная выходит из 0. также первообразная масштабируется с коэффициентом 100, что позволяет довольно сильно изменять интерполируемую функцию.

Красные точки – это введенные с помощью мыши точки. Для ориентирования на экране также отображаются оси.

Похожие:

Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconКонтрольная работа по вычислительной математике №3 Интерполяция сплайнами
Расчет кубического сплайна. Сплайн S(x) – непрерывная на отрезке функция, которая удовлетворяет следующим условиям
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconЧисленное интегрирование. Физические задачи, приводящие к интегрированию
Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. Поскольку аналитическое интегрирование не всегда...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconРешение краевых задач с помощью s сплайна
Мы рассмотрим, каким образом могут быть применены сплайны 3-й степени класса при решении уравнения Пуассона на круге и в других областях....
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconЛабораторная работа №1 интерполяция функций с помощью сплайна 1
Ознакомление студентов с задачей интерполяции функций, с методом прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconКапелюхин И. А. бакалавр
...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи icon7 Периодический в-сплайн
Длина вектора параметризации для периодического в-сплайна рассчитывается по той же формуле, что и для открытого. Число существенных...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Среднеквадратическая непрерывность случайного процесса. Интегрирование случайных процессов. Среднеквадратические интегралы с переменными...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи icon1. Открытый в-сплайн
Рассмотрим вектор параметризации для открытого в-сплайна. Длина его рассчитывается обычным образом, т е равна m+p Вектор параметризации...
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи iconРешение кубического уравнения в общем виде. От общего кубического уравнения к упрощённому
Заменой уравнение 1 приведётся к виду, таким образом уравнение (1) при велось к виду (2)
Задание. Интегрирование с помощью кубического Эрмитова сплайна. Анализ задачи icon3 Модель данных. 4 TypeA 4 TypeB 4 IntegerAttribute 4 StringAttribute 4 AttachedBlob 5 Задание 1: Анализ текстового файла. 6 Примеры файлов 6 Задание 2: Связь с базой данных. 7 Задание 3: Web-программирование
Тестовое задание состоит из множества частей, каждая из которых может быть реализована независимо
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org