Объемы и площади поверхностей тел вращения



Скачать 25.34 Kb.
Дата04.12.2012
Размер25.34 Kb.
ТипДокументы
Объемы и площади поверхностей тел вращения.
1.Применение интеграла для вычисления объёма.




Стереометрическая фигура, полученная вращением некоторой плоской фигуры вокруг одного из её элементов, называется фигурой вращения. Вместо традиционной формулы, применяемой для вычисления объёмов многогранников можно применить формулу:

b

V = ∙ 2(x)dx, где y = (x) – функция,

a

график которой ограничивает сверху площадь вращения.




Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон; конус – вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов; усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг высоты. Сфера может быть получена вращением полуокружности и шар – вращением полукруга вокруг диаметра; шаровой сегмент – вращением кругового сегмента вокруг высоты; шаровой сектор – вращением кругового сектора вокруг радиуса; шаровой слой – вращением части круга, ограниченного двумя параллельными хордами.



R R R

Пример вычислений: Vшара = 2∙ 2(x)dx =2 ∙ (R2 – x2)dx = 2∙( R2 x – x3/3) =

0 0 0

2∙(R3 - R3/3) = 2∙⅔ ∙ R3 = 4/3 ∙ R3

2. Применение интеграла для вычисления площади поверхности тел вращения.

b

Общая формула: Sп = 2∙ (x)∙ 1 + (1(x ))2 dx, где y = (x) – функция, график которой

a

ограничивает сверху площадь вращения, 1(x ) = у1 – производная функции.

gif" align=left hspace=12> R

Пример вычислений: S сферы =2 ∙ 2∙  R2 – x2 ∙ 1 + (-2x/2 R2 – x2 )2 dx

0

R R

S сферы = 4∙  R2 – x2 ∙  1 + x2/ (R2 – x2) dx = 4∙ R dx = 4∙R2

0 0
Формулами можно пользоваться для вывода формул вычисления объёмов и площадей поверхностей стереометрических фигур, изучаемых в школьном курсе геометрии. Для отработки навыков применения интеграла можно решать подобные задачи:

вычислить объём стереометрической фигуры, полученной при вращении линии, заданной уравнением у2 – х2 = 1 на отрезке х1; 5

Решение:

5 5

V = 2∙ ( 1 + х2)dx = 2( х + х3/3) =

1 1

2 ( 5 + 125/3 – 1 – 1/3) = 2 (4 + 124/3) = 2 ∙451/3 = 902/3




Похожие:

Объемы и площади поверхностей тел вращения iconОбъемы тел вращения
Наглядность: модели тел вращения, таблицы, дидактические карты с прикладными задачами, фотоматериалы
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconОбъемы и площади поверхностей тел
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconИсследование поверхностей вращения в трехмерном евклидовом пространстве
Для формирования четкого представления о поверхностях вращения необходимо систематизировать способы получения поверхностей вращения,...
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconУрок Математика-Информатика «Тела вращения, площади их поверхностей. Решение и оформление задач с помощью эт»
«Тела вращения, площади их поверхностей. Решение и оформление задач с помощью эт»
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconУрок геометрии в 9 классе по теме «Тела и поверхности вращения»
Приводятся формулы, по которым вычисляются их объёмы и площади поверхностей. При этом опираются в основном на наглядные представления....
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconМодели тел вращения. Модели геометрически правильных тел вращения (шар, тор)
Для развертки таких поверхностей используют способы приближенной развертки, так как эти формы не поддаются буквальному их воспроизведению...
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconУрок по теме «объемы многогранников и тел вращения» Цели и задачи
Тип урока: урок контроля и оценки знаний учащихся с
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconМногогранники. Площади поверхностей и объемы многогранников. Призма
Призма назывется правильной если она прямая и ее основания – правильные многогранники
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconУрок-игра «Русское лото» Тема урока: «Решение задач на вычисление поверхностей тел вращения»
Учитель разбивает класс на 5 команд. Каждая команда получает карточку, в которой указаны номера
Объемы и площади поверхностей тел вращения iconЛитература Многогранные углы Альбом для черчения, чертёжные принадлежности, плотная бумага, ножницы, клей
Игошин В. И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org