Квадратичные формы



Скачать 162.74 Kb.
Дата05.12.2012
Размер162.74 Kb.
ТипДокументы


Государственный Университет

Высшая Школа Экономики

в Санкт-Петербурге

Анисимова Н.П.
Методический материал по теме:

Квадратичные формы


Санкт-Петербург

2009

Методический материал по теме: Квадратичные формы.

§1. Определение квадратичной формы.
Рассмотрим следующие функции:

Обозначим А1 1=(а1 1) – матрица коэффициентов

  1. f(x1) = a11x1²

  2. f(x1x2) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x2² = a11x1² + 2a12x1x2 + a22x2²

(если а1221)
Матрица коэффициентов:




А2x2= а11 а12 симметричная матрица

а21 а22 относительно главной диагонали
Заметим, что А2x2 = Ат2x2



  1. f(x1,x2,x3) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a13x1x3 + a31x3x1 + a23x2x3 + a32x3x2 + a22x2² + a33x3² = a11x1² + a22x2² + a33x3² + 2(a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3)

Если а1221, а1331, а2332.
Матрица коэффициентов:

А3x3 = а11 а12 а13 Матрица, симметричная

а21 а22 а23 относительно главной диагонали

а31 а32 а33

А3x3 = Ат3x3

Например,

  1. f(x1,x2) = 2x1² + 3x1x2 – 4x2²

gif" align=left hspace=12>


A2x2 = 2 1,5

1,5 -4



2) A3x3 = -1 0,5 -0,6

0,5 4 0,3

-0,6 0,3 -8
f(x1,x2,x3) = -x1² + 4x2² – 8x3² +2*0,5 x1x2 – 2*0,6x1x3 + 2*0,3x2x3


В рассмотренных примерах мы имеем дело с функцией, которая в общем виде зависит от «n» переменных и задается определенной формулой, которой соответствует матрица коэффициентов.

Определение.

Квадратичной формой от «n» переменных называется функция вида:

n n

f(x1,x2,x3,…,xn) = Σ Σ aij xi xj

j=1 i=1
Матрица коэффициентов – это симметричная матрица.




Anxn = a11 a12 … a1j … a1n

a21 a22 … a2j … a2n aij = aji

-------------------------- (i≠5)

ai1 ai2 … aij … ain

--------------------------

an1 an2 … anj … ann

Anxn = Aтnxn

Если det A≠0, то квадратичная форма невырожденная.

Если ввести матрицу:




X1

= X2

X3 ,то квадратичную форму можно записать в матричной форме:
(2) f(x1,x2,x3)=XT1xn×Anxn×Xnx1
§2 Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Опр.1 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) положительно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)› 0 (кроме x1=x2…=xn=0)

Опр.2 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) отрицательно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)‹ 0 (кроме x1=x2…=xn=0)

Опр.3 Квадратичная форма называется квазиположительной, если f(x1,x2,…xn)≥0, но неверно f (x1,x2,…xn)› 0

Опр.4 Квадратичная форма f (x1,x2,…xn) квазиотрицательна, если f≤0, но неверно f‹0
Замечание

Если говорят, что квадратичная форма неотрицательна, то это возможно одно из двух: или S положительная или квазиположительная, т.е. f≥0

Если говорят, что квадратичная форма неположительна, то это возможно: нулевая, отрицательная или квазиотрицательная

Если форма не удовлетворяет условиям перечисленным выше, то это знакопеременная форма.
Рассмотрим примеры

  1. f(x)=ax2 (x≠0)

Если а›0, то f›0 (положительно определенная)

Если a‹0, то f‹0 (отрицательно определенная)

  1. f(x1,x2)=x12-6x1x2+9x22

f(x1,x2)=(x1-3x2)2 f≥0 (неотрицательна)

  1. f(x1,x2,x3)=-9x12-x22-3x32 f‹0 (x1,x2,x3≠0)

  2. f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-4x3)2-9 f‹0


x1,x2,x3 отрицательно определена
В общем случае трудно установить знак квадратичной формы.

Критерий Сильвестра
f(x1, x2, …, x4) = a11x1² + a21x1x2 + a21x2x1 + … + a1nx1xn + an1xnx1 + a22x2² + … + annxn² – квадратичная форма.
Матрица квадратичной формы:
a11 a12 … a1n

Anxn = a21 a22 … a2n

. . . . . . .

an1 an2 … ann

a11 a12 a13

1 = an, ∆2 = a11 a12 , ∆3 = a21 a22 a23 , …, ∆n = detA

a21 a22 a31 a32 a33
∆1, ∆2, …, ∆n – угловые миноры матрицы А
Критерий Сильвестра заключается в следующем:
1) Квадратичная форма положительна определена <=> ∆1>0, ∆2>0, …, ∆n>0

(все угловые миноры строго положительны)

2) Квадратичная форма отрицательно определена <=> ∆1<0, ∆2>0, ∆3<0, …, (-1)ⁿ∆n>0

(чередования знаков: -, +, -, +, …)

3) Квадратичная форма квазиположительна <=> миноры k-го порядка

∆(i1, i2, …, ik) ≥ 0 [i1 < i2 < … < ik, k = (1,n)]

4) Квадратичная форма квазиотрицательна <=> (-1)ⁿ∆(i1, i2, …, ik) > 0

(∆(i1, i2, …, ik) – миноры k-го порядка)

5) В остальных случаях квадратичная форма будет знакопеременной.
Пример 1
Определить знак квадратичной формы:

f = -x1² - 5x2² - 6x3² + 4x1x2 – 2x1x3
Составим матрицу квадратичной формы:




-1 2 -1

A = 2 -5 0

-1 0 -6


-1 2 -1

1 = -1 = -1; ∆2 = -1 2 =1; ∆3 = 2 -5 0 = -30 + 5 + 24 = -1

2 -5 -1 0 -6
∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 <0
По критерию Сильвестра f < 0 (отрицательно определена)

Пример 2
При каком значении параметра µ следующая квадратичная форма будет положительно определена.
F = 5x1² + x2² + μx3² + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3

F>0, μ=?
Матрица квадратичной формы:

5 2 -1

A3x3 = 2 1 -1

-1 -1 μ
Критерий Сильвестра:

∆1=5

2= 5 2 = 5-4=1

2 1

∆1>0, ∆2>0




5 2 -1 -1 5 2 -1 3 2 -1

∆3= 2 1 -1 > 0 -3 -1 0 > 0 -2 -1 0 > 0

-1 -1 μ -1 -1 μ 0 -1 μ

־¹
(раскладываем по третьей строке)
-1 · (-1) 5 · 3 -1 + μ (-1) 6 · 3 2 > 0

-2 0 -2 -1
-2 + μ > 0
Ответ: при μ > 2, F > 0

§3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
С помощью линейных преобразований квадратичную форму

F = F (x1, x2, …, xn) можно привести к каноническому виду

F = b1y1² + b2y2² + … + bnyn2
Полезная информация:




a11 a22 … a1n x1

Пусть дана матрица Anxn = a21 a22 … a2n Xnx1 = x2

………. …

an1 an2 … ann xn

Рассмотрим произведение:

Anxn · X nx1 = Y nx1




y1

Y = y2



yn
Предположим, что yi = λ · xi, i = (1,n), λЄR, λ ≠ 0
Тогда имеем равенство:

(*) A · X = λ · X
В этом случае вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А.

Коэффициент пропорциональности λ называется характеристическим числом матрицы A или собственным значением.

Как найти характеристическое числа и собственные вектора?


- это однородная система линейных уравнений


Система  по теореме Крамера имеет ненулевые решения 



Таким образом, для нахождения характеристических чисел необходимо и достаточно решать характеристическое уравнения.



Пусть характеристическое число

Для нахождения собственного вектора, соответствующего числу подставлляем  в систему 

Т.к. ранг матрицы  

То система имеет бесконечно много решений.

Можно доказать, что если  характеристические числа матрицы квадратичной формы f, то каноническая форма имеет вид:

f =+…+

Рассмотрим решение задачи (аналогичной той, которая есть в домашней контрольной работе)

Задача

Определить вид кривой.

Построить линию



Решение

Обозначим 

Это квадратичная формула от двух переменных

 ,  ; 
 (матричная запись f в системе координат)

Будем искать другую систему координат , в которой f имеет каноническую форму.

ШАГ 1: Составляем характеристическое уравнение








Характеристические числа


Шаг 2. Находим собственные векторы для каждого числа.


Пусть λ1 = 20




.




-16x + 12y = 0

.

12x – 9y = 0
[Т.к. r(A)=1, то достаточно оставить одно уравнение.]
12x – 9y = 0 => x=3/4y, yR
Собственный вектор в общем виде:




Пусть y=4 b1 =




В дальнейшем нам понадобится орт b1.

||b1|| = = 5 b1 = e1 =






Пусть λ2 = –5


9x + 12y = 0




12x + 16y = 0

Т.к. r(A)=1 => 9x + 12y=0 => x= –4/3y, yR



Собственный вектор в общем виде:
Пусть y=3 b2 =



||b2|| = 5

Орт этого вектора b2 = e2 =

Заметим, что e1, e2 образуют ортонормированный базис.

Контроль! ||e1|| = ||e2|| = 1 (e1 e2)

e1 e2 = 0 3/5 (–4/5) + (4/5) (3/5) = 0
Шаг 3. Составляем ортонормированную матрицу Q = (e1, e2).






Q =
e1 e2


Шаг 4. Переход к новой системе координат.




T

= Q



=
x1 = 3/5x + 4/5y
x2 = –4/5x + 3/5y

Шаг 5. В новой системе координат.
S(x1, y1) = λ1x12 + λ2y1 2
S(x1, y1) = 20x12 + 5y12

Каноническая форма.

Шаг 6
В новой системе координат X1OY1 уравнение нишей линии имеет вид

20x12 + 5y1 2= - 20 | : 20

сопряженная гипербола

a=1

b=2



Алгебраические поверхности второго порядка.

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид :

Ax2+By2+Cz2+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0

(A2+B2+C2≠0)

Если поверхность невырожденная (т.е. уравнение не задает Ø), то преобразование декартовой прямоугольной системы координат, это уравнение может быть приведено к одному из указанных видов, называемых каноническими и определяющими тип поверхности.

  1. Эллипсоид 

  2. Гиперболоид

    1. Однополостный 

    2. Двухполостный 

  3. Параболоид

    1. Двухполостной параболоид 

    2. Гиперболический параболоид  (p>0, q>0)



    1. Эллиптический параболоид  (p>0, q>0)

  1. Конус второго порядка 



  1. Цилиндр второго порядка

    1. Эллиптический 

    2. Гиперболический 

    3. Параболический  , p>0

Эллипсоид




Сечения плоскостями

y=0 

x=0 

z=0 



Сфера






Однополостный гиперболоид

Сечение плоскостями
y=0 

x=0 
z=0 

Двухполостный гиперболоид



Сечения плоскостями:

z=0  (нет)

о.д.з.  => 

|
z
z| = c при z=±c → вершины ( 0,0,с ); ( 0,0,-с )

|z| > c

|
a

c

x
z| = c  → эллипс


-a

y
-c

z
=0  сопряженная гипербола



x=0 

Гиперболический параболоид

 (p>0, q>0)


Сечения на плоскости

z=0  

при z > 0 


z = 1  гипербола

z = -1  сопряженная гипербола
x=0  

y=0  
Эллиптический параболоид


z


(P>0, q>0)
Сечения:

X=0 

z





x


Y=0 
Z=0 (0,0,0) – вершина
z≥0 z=z0  - эллипс



Конус второго порядка

z=c  (эллипс)
z=-c 
x=0 
y=0 
Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр


Параболический цилиндр ,


Пара пересекающихся плоскостей






Пара параллельных плоскостей


Цилиндрические поверхности
Пусть (l) некоторая кривая, лежащая на поверхности S.
Зададим некоторою прямую U (Будем называть «Ось»)




Чтобы получилась цилиндрическая поверхность будем проводить множество прямых q ll u так, чтобы они пересекали нашу кривую (l) В дальнейшем будем называть кривую направляющей, а прямую q – образующей цилиндрическую поверхность. Чтобы узнать, является ли данная поверхность цилиндрической в системе координат (х О у) посмотрите внимательно на уравнение, которым задаём данную поверхность. Если в уравнении отсутствует какая-либо координата, то это уравнение задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной ‘отсутствующей’ координатной оси, т.е. такими

уравнениями могут быть: 1) F (x,y) = 0 (q ll Oz)

2) F (x,z) = 0 (q ll Oy)

3) F (y,z) = 0 (q ll Ox)
Рассмотрим примеры:

1) y = x2 В плоскости z = 0 (xOy)

Строим параболу и проводим

множество прямых q ll Oz





2) x2 + y2 = 4

В плоскости у = 0 ( хОz) строим окружность с центром (0,0) и R = 2 и проводим множество прямых ll Оу

Конические поверхности
Пусть точка О нам известна. Будем называть ее вершиной конической поверхности l – произвольная кривая линия на поверхности S.

Если проводить множество прямых q, проходящих через вершину О и пересекающих данную кривую l, то мы получим коническую поверхность. Кривую l называем направляющей, а прямую q – образующей.


В декартовой системе координат уравнение конической поверхности имеет вид:

F (x, y, z) = 0, но функция F обладает свойствами ‘однородность’ степени ‘k’.

F (tx, ty, tz) = tk F( x,y,z), t € R, k =1,2,3…

Например: 2х3-4y3+z3=0

конус третьего порядка О (0, 0, 0 )

All rights reserved ©


Похожие:

Квадратичные формы icon01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена
Пространства и формы: размерность и базис, двойственное пространство, билинейные и квадратичные формы
Квадратичные формы iconКвадратичные формы 2
Число отрицательных квадратов называется отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и отрицательным индексами инерции...
Квадратичные формы iconКвадратичные вычеты. Пусть р- простое, а < р, р Определение 1
Пример Пусть р = 7, тогда 1, 2, 4 – квадратичные вычеты, а 3, 5, 6 – не квадратичные вычеты
Квадратичные формы iconКвадратичные формы и их применения
Определение. Квадратичной формой переменных,принимающих числовые значения, называется числовая функция вида
Квадратичные формы iconЗадачи к зачету и проверочным работам (§5)
Вычислить первые квадратичные формы и углы между координатными линиями следующих поверхностей
Квадратичные формы iconЛинейные операторы и квадратичные формы
Определение Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором,...
Квадратичные формы iconКвадратичные формы
Квадратичной формой f от п переменных х1,х2,…, хп называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из этих переменных,...
Квадратичные формы iconСуммы гаусса и их приложения
Двучленные сравнения по простому модулю. Степенные вычеты. Квадратичные вычеты, символ Лежандра
Квадратичные формы iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Определение билинейной формы; примеры. Представление билинейной формы в базисе, ее матрица, их соответствие. (Косо)симметричные билинейные...
Квадратичные формы iconКвадратичные сортировки
Некоторые из этих отношений могут быть очевидны и использоваться очень часто, например: «число a больше числа B», «строка a длиннее...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org