Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов



Скачать 126.66 Kb.
Дата05.12.2012
Размер126.66 Kb.
ТипДокументы
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов

Kozyrev Sergey Borisovich,

Sekovanov Valery Sergeevich,

Skryabin Victor Sergeevich.


Фрактальная геометрия – молодое быстроразвивающееся математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и бурным развитием компьютерной графики, художественного компьютерного творчества. Идеи фрактальной геометрии в настоящее время применяются в физике, металловедении, медицине, психологии, экономике, лингвистике и других областях. Достаточно подробный обзор приложений фрактальной геометрии приведен в [3].

Современная математика сделала огромный шаг в своем развитии. Однако ее идеи медленно проникают в вузовский и школьный курсы математики. Например, знакомство студентов с фракталами и тесно связанными с ними хаотическими отображениями не предусматривается стандартами вузовского образования. Однако начинают появляться глубоко аргументированные идеи, связанные с устранением этого недостатка. Как указывает Н.Х. Розов [2], в настоящее время понятия фрактал, хаос, бифуркация становятся общеобразовательными понятиями, имеющими общекультурное значение.

В данной работе рассматриваются новые методические идеи, связанные с творчески направленным преподаванием элементов современной математики в вузе. Здесь рассматриваются математические компьютерные и эстетические аспекты обучения элементам фрактальной геометрии.

Следуя Б. Мандельброту, будем считать фракталом такое множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Для самопоподобных множеств размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью самоподобия, которая вычисляется значительно проще.

Возьмем множество и уменьшим его в N раз (N – натуральное число). То есть каждой точке исходного множества поставим в соответствие точку . Полученное множество будет уменьшенной копией своего оригинала.

Определение 1. Если исходное множество можно составить с помощью M копий, допуская их пересечение лишь в граничных точках, то будем считать его самоподобным. А размерность самоподобия будем вычислять по формуле: =.

Класс самоподобных множеств очень узок.
Поэтому часто рассматривается еще размерность Минковского, которая совпадает с размерностью самоподобия и размерностью Хаусдорфа-Безиковича для самоподобных множеств и значительно проще вычисляется, чем размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Определение 2. Размерностью компактного множества G по Минковскому называется предел (если, конечно, он существует):

. Где – наименьшее число шаров радиуса , покрывающих множество G.

Дадим описание построения первого фрактала (Рис. 1): на плоскости возьмем некоторый отрезок I, расположенный вертикально (см. рис. 1, a). Разделим его на три равных отрезка втрое меньшей длины I1, I2 и I3, ведя отсчет от нижнего конца I. В точке стыка отрезков I2 и I3 присоединим к ним еще два отрезка такой же длины так, чтобы они образовали с I3 углы в 60° (см. рис. 1, b). Получившийся «трезубец» состоит из 5 равных отрезков. Далее проделаем аналогичные действия с каждым из этих отрезков, ведя в них отсчет от точек деления отрезка I, а также от его начального (нижнего) конца. В результате этих действий – второй итерации – получится фигура, изображенная на рис. 1, c) и состоящая из 25 равных отрезков. Применяя к каждому из них те же действия (третью итерацию), получим следующую фигуру (см. рис. 1, d). Проделав бесконечное число таких итераций, а затем, добавив к получившейся фигуре ее предельные точки, мы получим фрактальное множество (см. рис. 1, e). Очевидно, что это множество самоподобно и его размерность самоподобия ds = log3(5) 1,465.

Построим данный фрактал с помощью L-систем.

Опишем аксиому, порождающее правило, начальный угол и угол поворота в Таблице 1.

Вход

Аксиома (axiom):

‘[F]’

Порождающее правило (newF):

‘FF[+F][-F]F’

Начальный угол (α):

π/2

Угол поворота (θ):

π/3

Таблица 1.

Рассмотрим первую итерацию данного фрактала, управляющим словом для него будет: ‘[FF[+F][-F]F]’.

Будем считывать каждый символ и наблюдать пошаговое построение.

Символ

[

F

F

[

+

F

]

[

-

F

]

F

]

Номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Запишем построение блока первой итерации данного фрактала в виде Таблицы 2.

Состояние

Действие

Стек

Рисунок

начальное

находится в A(x0,y0)

пустой



1-ый симв.

записать в стек

(x0,y0,α)



2-ой симв.

переход в B(x1,y1)

(x0,y0,α)



3-ий симв.

переход в C(x2,y2)

(x0,y0,α)



4-ый симв.

записать в стек

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



5-ый симв.

поворот

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



6-ой симв.

переход в D(x3,y3)

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



7-ой симв.

считать из стека и удалить, переход в считанные координаты (вернулись в С(x2,y2))

(x0,y0,α)



8-ой симв.

записать в стек

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



9-ый симв.

поворот

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



10-ый симв.

переход в E(x4,y4)

(x0,y0,α),

(x2,y2,α)



11-ый симв.

считать из стека и удалить, переход в считанные координаты (вернулись в С(x2,y2))

(x0,y0,α)



12-ый симв.

переход в F(x5, y5)

(x0,y0,α)



13-ый симв.

считать из стека и удалить, переход в считанные координаты (вернулись в A(x0,y0))

пустой



Таблица 2.

В качестве результата получаем графическое представление нескольких итераций фрактала Рис. 1.



Рис. 1.

Алгоритм построения фрактала опишем в виде блок-схемы (Рис.2).



Рис. 2.

В рассмотренном случае фрактал строился путем бесконечного добавления к его начальной части все более и более мелких деталей с последующим добавлением к нему всех его предельных точек. Фракталы можно строить и другими способами. Приведем один из них. Берется начальная основа, от которой последовательно отбрасываются все более мелкие детали. То, что останется после бесконечного количества отбрасываний, и будет являть собой фрактал. Этот способ построения подобен резцу скульптора, отсекающему лишнее, тогда как предыдущий способ больше ассоциируется с карандашом художника. Опишем алгоритм построения второго фрактала.

Пусть на плоскости задан прямоугольник , причем и . Будем называть вершины и главными. Разделим отрезок на 6 равных частей точками и , а отрезок разделим пополам точкой . Операцией отсечения φ будем называть операцию, которая, будучи примененной к прямоугольнику , заменяет его на множество прямоугольников , , , , и , то есть (см. Рис. 3)). Все прямоугольники Pi имеют одинаковые размеры; они в 6 раз уже и в 2 раза ниже исходного прямоугольника . При этом проекции объединения всех Pi на оси координат совпадают с проекциями . Подчеркнем, что порядок задания координат c и d важен. От того, указан ли отрезок или же отрезок , зависит результат операции φ и какие вершины прямоугольника названы главными.



Рис. 3. Операция φ; точками выделены главные вершины

Далее, пусть задано множество прямоугольников . Положим – это множество также является множеством прямоугольников, как и само . Чтобы рассматривать множество прямоугольников как точечное множество, будем заключать его в квадратные скобки, то есть . Так как для любого имеет место вложение , то справедливо и . Наконец, положим , где .

Приступим теперь к построению плоского фрактала, взяв за основу единичный квадрат . Применяя к нему последовательно операцию отсечения, получим последовательность множеств прямоугольников . Из свойств вытекает, что множество Bn состоит из 6n прямоугольников, у каждого из которых длина проекции на ось абсцисс равна 6n, а длина проекции на ось ординат равна 2n. Обозначим теперь . Имеем , то есть, Fn образуют систему вложенных множеств. Положим теперь . Позже мы покажем, что F – фрактал.

Установим фрактальные свойства множества .

Предложение 1. – замкнуто, связно и содержит точки (0,0) и (1,1). Следует из того, что все Fn обладают теми же свойствами.

Предложение 2. Для любого пересечение прямой с множеством одноточечно. Таким образом, множество представляет собой график некоторой непрерывной функции .

Из построения видно, что Fn представляет собой непрерывную цепочку прямоугольников с длинами проекций на ось абсцисс, равными , но при этом проекция всего Fn на ось абсцисс совпадает со всем отрезком [0,1]. Следовательно, любая вертикальная линия пересекается самое большее с двумя прямоугольниками (соседними) множества . То есть, диаметр Поэтому последовательность замкнутых вложенных множеств стягивается в точку. С другой стороны, .

Предложение 3. Если прямоугольник для некоторого k , то его вершины и принадлежат F.

Из определения операции φ видно, что главные вершины и являются также главными вершинами некоторых прямоугольников из , а, следовательно, принадлежат всем множествам .

Следствие 1. Если выполняется условие предложения 3, то функция g пробегает на отрезке [a,b] все значения от c до d. Прямо следует из предложения 3 и связности F.

Следствие 2. Если выполняется условие предложения 3, то функция g пробегает все значения от c до d на каждом из отрезков , , . Это вытекает из следствия 1, примененного ко всем шести прямоугольникам .

Предложение 4. Если выполняется условие предложения 3, то график функции g на отрезке при его горизонтальном переносе вправо на величину совместится с графиком g на отрезке .

Если прямоугольники перенести вправо на величину , то они совместятся с прямоугольниками . При этом совместятся соответствующим образом их главные вершины. Следовательно, для всех натуральных множества совместятся с . Поэтому множества и при таком переносе тоже совместятся.

Предложение 5. Для любого пересечение горизонтальной прямой с множеством непусто, замкнуто и не содержит изолированных точек.

Непустота и замкнутость пересечения очевидны. Рассмотрим произвольную точку при некотором k. Эта точка принадлежит некоторому прямоугольнику , . Из следствия 2 вытекает, что существует точка такая, что и . В силу неравенства и произвольности k пересечение не содержит изолированных точек.

Какова фрактальная размерность множества F? Если F уменьшить в 6 раз по оси OX и уменьшить в 2 раза по оси OY, то из 6 получившихся уменьшенных экземпляров можно снова составить F. Однако, коэффициенты уменьшения по координатным осям различны. Поэтому F не самоподобно. Такие множества, как F, называются самоаффинными. Тем не менее, для F размерность самоподобия не определена. Нам еще потребуется

Предложение 6. Пусть и пересечение непусто. Тогда . Следует непосредственно из предложения 4, если принять во внимание, что длина проекции P на ось абсцисс в точности равна .

Предложение 7. Размерность Минковского

Прежде всего отметим, что если покрытия -шарами, присутствующие в определении Минковского, заменить на покрытия квадратами со сторонами, параллельными осям координат и длинами сторон, равными 2, то значение размерности Минковского от этого не изменится ([1, следствие 5.1.2]). Поэтому далее будем под обозначением понимать минимальное количество квадратов с длинами сторон 2, необходимых для покрытия G.

Пусть и . Прямоугольник P имеет размеры , то есть . Принимая во внимание следствие 1, можно написать . Далее, существуют пары прямоугольников , которые имеют общую вертикальную сторону. Из предложения 6 вытекает, что все горизонтальные сечения множества имеют диаметр не менее чем , поэтому . Следовательно, , а .

Таким образом, F имеет дробную фрактальную размерность, то есть является фракталом. Построить изображение F (точнее, предфрактала ) удобно с помощью рекурсивной процедуры. Приведем текст процедуры Draw_Fn на языке Паскаль, которая для заданного прямоугольника и числа n изображает множество .

Procedure Draw_Fn(a,b,c,d:real;n:byte);

begin

if n=0 then Bar(round(a),round(c),round(b),round(d))

else begin

Draw_Fn(a,a+(b-a)/6, c,(c+d)/2, n-1);

Draw_Fn(a+(b-a)/6,a+(b-a)/3, (c+d)/2,d, n-1);

Draw_Fn(a+(b-a)/3,(a+b)/2, d,(c+d)/2, n-1);

Draw_Fn((a+b)/2,b-(b-a)/3, (c+d)/2,c, n-1);

Draw_Fn(b-(b-a)/3,b-(b-a)/6, c,(c+d)/2, n-1);

Draw_Fn(b-(b-a)/6,b, (c+d)/2,d, n-1);

end;

end;

Например, команда вызова процедуры из программы

Draw_Fn(0,432, 432,0, 3);

рисует множество F3 (первые 4 параметра задают размеры изображения единичного квадрата в пикселях).

Литература

  1. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Москва: Техносфера, 2006.

  2. Розов Н.Х. Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном курсе математики // Труды третьих Колмогоровских чтений. Ярославль. Из-во ЯГПУ, 2005. с. 51 – 64.

  3. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. Кострома 2005. КГУ им. Н.А. Некрасова. 2005.

Похожие:

Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconВыпускная работа по «Основам информационных технологий»
Использование информационных технологий при изучении насаждения осадничества в полесском воеводстве в межвоенный перио
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconРоссийская федерация
Кафедра математических методов, статистики и информационных технологий в экономике
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconИзучения студентами вузов численных методов решения задач механики сплошных сред и исследования других математических моделей
Наиболее широко при построении математических моделей механики конструкций используются
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconРешение практических задач и заданий на семинаре
Кафедра математических методов, статистики и информационных технологий в экономике
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconВыпускная работа по " Основам информационных технологий" " Использование ит в исследовании творчества М. Турнье"
Магистранта Завадской Анны Иосифовны филологического факультета специальности «Литература народов стран Зарубежья» 23
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconРоль информационных технологий при подготовке специалиста О. О. Деева
Важную роль здесь играет активное внедрение современных информационных технологий, позволяющих расширить использование технических...
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconВыпускная работа по «Основам информационных технологий»
Реферат «Применение ит при исследовании белорусской сатиры 20-х годов»
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconОпыт применения информационных технологий при построении сводных карт магнитного поля в гдп-200
...
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconВыпускная работа по «Основам информационных технологий»
Использование информационных технологий в современных прагмалингвистических исследованиях
Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов iconВыпускная работа по «Основам информационных технологий»
Реферат на тему «Применение современных информационных технологий при автоматизированном анализе информационных ресурсов сети Интернет»...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org