Лекция №9 Выпуклые множества



Скачать 121.23 Kb.
страница1/3
Дата16.10.2012
Размер121.23 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3
Лекция № 9
Выпуклые множества. В линейных пространствах можно ввести понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но имеет чисто аналитическую (алгебраическую!) формулировку.

Определение 1. Пусть – некоторое линейное действительное пространство, и – две его точки. Назовем замкнутым отрезком в , соединяющим точки и , совокупность всех элементов вида

, где , .

Отрезок без концевых точек и называется открытым отрезком.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и соединяющий их отрезок.

Определение 2. Назовем ядром произвольного множества совокупность таких его точек , что для каждого найдется такое число , что при .

Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.

Пример 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве – выпуклые множества, но не выпуклые тела.

Пример 2. В пространстве непрерывных на отрезке gif" name="object21" align=absmiddle width=46 height=18> функций рассмотрим множество функций, удовлетворяющих условию

.

Это множество, очевидно, выпукло.

Пример 3. Единичный шар в , т.е. совокупность точек

,

есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек

.

Пример 4. Основной параллелепипед в – выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле,

.

Положим . Пусть , т.е. . Тогда , т.е. , откуда следует, что ядро множества пусто.

Утверждение 1. Если – выпуклое множество, то его ядро тоже выпукло.

Доказательство. Действительно, пусть и , где , . Тогда для данного найдутся такие и , что при и точки и принадлежат множеству . Следовательно ему принадлежит и точка при , т.е. . Утверждение доказано.

Установим следующее важное свойство выпуклых множеств.

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть и все – выпуклые множества. Пусть и две произвольные точки из . Тогда для каждого , и поскольку каждое выпукло, то отрезок, соединяющий точки и , принадлежит каждому , а следовательно и . Теорема доказана.

Для произвольного множества в линейном пространстве существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих . По крайней мере одно выпуклое множество, содержащее , существует – это всё .

Минимальное выпуклое множество, содержащее , называется выпуклой оболочкой множества .

Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть



– точки некоторого линейного пространства. Будем говорить, что эти точки находятся в общем положении, если векторы

(*)

линейно независимы. Это равносильно тому, что из

и следует, что .

Действительно,





Поскольку , то имеем: . В силу линейной независимости системы векторов (*) получаем, что . Но тогда и .

Задача 1. Докажите, что если система векторов (*) линейно независима, то при любом , , линейно независима система векторов

.

Выпуклая оболочка точек , находящихся в общем положении, называется – мерным симплексом, а сами эти точки называются вершинами симплекса.

Нульмерный симплекс – это одна точка, одномерный – это отрезок, двумерный – треугольник, трехмерный – тетраэдр.

Если точки находятся в общем положении, то любые из них, , также находятся в общем положении и, следовательно порождают некоторый -мерный симплекс, называемый -мерной гранью -мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами имеет четыре грани двумерные, определяемые соответственно тройкам вершин , , , , шесть одномерных граней и четыре нульмерных.

Теорема 2. Симплекс с вершинами есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде

, , . (1)

Доказательство. Проверим, что совокупность точек вида (1) есть выпуклое множество. Действительно, если

, , ,

то для , , имеем:

, , и

.

С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее точки , должно содержать и точки вида (1). Это легко доказать по индукции. Теорема доказана.

Выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано понятие выпуклого функционала.

Определение 3. Неотрицательный функционал , определенный на действительном линейном пространстве , называется выпуклым, если

(1) для всех ,

(2) для всех и всех .

Мы не предполагаем, что при всех величина конечна, т.е. допускается случай, когда для некоторых .

Приведем примеры выпуклых функционалов.

Пример 5. Длина вектора в – мерном евклидовом пространстве есть выпуклый функционал.

Пример 6. Пусть – пространство ограниченных функций на некотором множестве , и – фиксированная точка в . Тогда



есть выпуклый функционал.

Пример 7. Пусть – пространство ограниченных числовых последовательностей . Функционал



выпуклый.

Теорема Хана-Банаха. Пусть – действительное линейное пространство и – некоторое его подпространство. Пусть на подпространстве задан некоторый линейный функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если

для всех .

Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основной в этом круге вопросов является

Теорема 3 (Хан, Банах). Пусть – конечный выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве , и пусть – линейное подпространство в . Если – линейный функционал, подчиненный на функционалу , т.е. если на

, (2)

то может быть продолжен до линейного функционала на , подчиненного на всем подпространстве .

Доказательство. Покажем, что если , то функционал можно продолжить с на некоторое большее пространство с сохранением условия (2). Действительно, пусть – произвольный элемент из , не принадлежащий , и пусть – подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид

, где .

Если – искомое продолжение функционала на , то



или, если положить ,

.

Теперь выберем так, чтобы сохранить на условие подчинения (2), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных выполнялось неравенство

.

При оно равносильно условию

, или , (3)

а при – условию

, или . (4)

Покажем, что всегда существует число , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и – произвольные элементы из . Тогда



т.е. . Отсюда получаем неравенство

. (5)

Положим

, .

Из неравенства (5) в силу произвольности и из следует, что . Выбрав так, чтобы , определим функционал на подпространстве формулой

.

Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (2) на , т.е. искомое продолжение на построено.

Итак, мы показали, что если функционал определен на некотором подпространстве и удовлетворяет на условию (2), то можно продолжить с сохранением этого условия на некоторое большее подпространство .

Если в можно выбрать счетную систему элементов , порождающую всё , то функционал на строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств

, , . . .

Здесь через обозначено минимальное линейное подпространство в , содержащее и . Тогда каждый элемент войдет в некоторое и, следовательно, функционал будет продолжен на всё .

В общем случае (т.е. когда счетного множества, порождающего , не существует), доказательство заканчивается применением леммы Цорна (трансфинитная индукция).

Приведем комплексный вариант теоремы Хана-Банаха.

Неотрицательный функционал на комплексном линейном пространстве , называется выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел

(1) ,

(2) .

Теорема С. Пусть – конечный выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , а – линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве и удовлетворяющий на нем условию

, .

Тогда существует линейный функционал , определенный на всём и удовлетворяющий условиям

, ,

, .

  1   2   3

Похожие:

Лекция №9 Выпуклые множества iconПрограмма семестрового курса «Выпуклый анализ»
Выпуклые множества в банаховом пространстве. Выпуклая оболочка множества, выпуклые комбинации точек этого множества, их связь. Теорема...
Лекция №9 Выпуклые множества iconПрограмма дисциплины Выпуклый анализ в конечномерных евклидовых
Выпуклые множества, выпуклые конусы, аффинные множества. Сумма выпуклых множеств. Замыкание выпуклого множества. Представление выпуклых...
Лекция №9 Выпуклые множества icon6 семестр Понятие о задачах оптимизации
Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Проекция точки на множество и ее свойства. Теоремы отделимости. Конус. Теорема Фаркаша....
Лекция №9 Выпуклые множества iconПрограмма по курсу: Основы выпуклого анализа и линейного программирования по направлению
Выпуклые множества, функции и их связь. Выпуклая оболочка множества. Теорема Каратеодори
Лекция №9 Выпуклые множества iconЛекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2 Лекция №2. Свойства скалярных и векторных поле
Лекция №5. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представлени
Лекция №9 Выпуклые множества icon2 Многогранные выпуклые множества
Определение Пусть – произвольные точки из. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма вида
Лекция №9 Выпуклые множества icon2 Выпуклые множества и конусы
...
Лекция №9 Выпуклые множества iconПрограмма экзамена по исследованию операций и теории игр (4 курс, 2007 год)
Выпуклые множества в n мерном пространстве и базисные решения системы линейных уравнений
Лекция №9 Выпуклые множества iconМножества и операции со множествами. Понятие множества и мультимножества
Цель таких описаний отразить важнейшие (атрибутные) свойства множества, а именно: разли­чимость всех частей множества, неупорядоченность...
Лекция №9 Выпуклые множества iconЛекция 1 Значение символов. Используемые в математике буквы греческого алфавита, их названия и написание
Понятие множества. Элементы множества. Обозначения множеств. Знак принадлежности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org