Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка



Скачать 109.7 Kb.
Дата16.10.2012
Размер109.7 Kb.
ТипРеферат

Содержание:


  1. Введение;

  2. Обобщенная теорема Фалеса;

          1. Формулировка;

          2. Доказательство;

  1. Теорема о пропорциональных отрезках;

  2. Теорема Чевы;

          1. Формулировка;

          2. Доказательство;

  1. Теорема Менелая;

          1. Формулировка;

          2. Доказательство;

  1. Задачи и их решения;

  2. Заключение;

  3. Список использованных источников и литературы.


Введение.

Все незначительное нужно,

Чтобы значительному быть…

И. Северянин
Данный реферат посвящен применению метода параллельных прямых к доказательству теорем и решению задач. Почему мы обращаемся к этому методу? В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной. Именно данная задача и дала импульс к началу работы по изучению и освоению метода параллельных прямых при решении задач на нахождение отношения длин отрезков.

Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности.

В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы.

Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А1В1, А2В2, А3В3,…, АnBn) на отрезки А1А2, А2А3, …, An-1An, а прямая b- на отрезки В1В2, В2В3, …, Вn-1Вn.
Доказать:






Доказательство:

Докажем, например, что



Рассмотрим два случая:

1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому

А1А2= В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что



2 случай (рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому




1+



Или по свойству пропорций



С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2= В1В2, С2С3= В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2на В1В2 и С2С3на В2В3, приходим к равенству




что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.



На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О(рис. 124б).
Доказать:





Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD(рис. 124а), параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса



Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то  Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:



Аналогично доказывается, что .
Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда


Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ, ВС и АС отмечены точки С1, А1 и В1.
Доказать:


2.отрезки А А1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
Доказательство:
1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике1 имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем


Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А А1и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте



Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O.

Что и требовалось доказать.
Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1, В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ, ВС и АС отмечены точки С1, А1 и В1.
Доказать:


2. точки А1,С1 и В1 лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А1,С1 и В1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщенной теоремы Фалеса имеем:


Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем


т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А1,С1 и В1 лежат на одной прямой. Пусть прямая А1С1пересекает продолжение стороны АС в точке В2, тогда по доказанному в первом пункте



Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В1 и В2 делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В1 и В2 совпадают, и, значит, точки А1,С1 и В1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1,С1 и В1 лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Что и требовалось доказать.

Решение задач.


Предлагается рассмотреть ряд задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Как было отмечено выше, для определения места расположения нужных в задаче точек существует несколько методов. В своей работе мы остановились на методе параллельных прямых. Теоретической основой данного метода является обобщенная теорема Фалеса, которая позволяет с помощью параллельных прямых переносить известные отношения пропорции с одной стороны угла на вторую его сторону, таким образом, нужно только удобным для решения задачи способом провести эти параллельные прямые.
Рассмотрим конкретные задачи:
Задача №1 В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ:МС=3:2. Точка Р делит отрезок АМ в отношении 2:1. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В1. В каком отношении точка В1 делит сторону АС?

Решение: Нужно найти отношение АВ11С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В1.

Метод параллельных заключается в следующем:

  1. рассечь искомый отрезок параллельными прямыми. Одна ВВ1 уже есть, а вторую МN проведем через точку М, параллельно ВВ1.

  2. Перенести известное отношение с одной стороны угла на другую его сторону, т.е. рассмотреть углы стороны, которых и рассекаются этими прямыми.

Стороны угла С рассекаются прямыми ВВ1 и МN и по обобщенной теореме Фалеса заключаем В1N=3р, NC=2р. Стороны угла МАС пересекают прямые РВ1 и МN и делят его стороны в отношении 2:1, следовательно АВ11N=2:1 и значит АВ1=2n, В1N=n. Так как В1N=3р, и В1N=n, то 3р= n.

Перейдем к интересующему нас отношению АВ11С= АВ1:( В1N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5.

Ответ: АВ11С = 6:5.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ1 пересекает две стороны треугольника в точках В1 и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство:   , следовательно 
Задача №2 В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

Решение: Нужно найти отношение АК к КВ.

1) Проведем прямую NN1 параллельную прямой СК и прямую NN2 параллельную прямой ВМ.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN1:N1K=1:1 или ВN1= N1K=y.

3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN2:N2M=1:1 или CN2= N2M=3:2=1,5.

4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m.

5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN1=1:1,5 или АK=n KN1=1,5n.

6) KN1=y=1,5n. 

Ответ: АК:КВ=1:3.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3.

Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
Решение: Нужно найти 1) АК:КD=? 2) ВК:КЕ=?

1) Проведем прямую DD1 параллельную прямой BE.

2) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD1:D1E=5:2 или CD1= 5z , D1E=2z.

3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD1+ D1E, значит 2у=5z+2z=7z, z=

4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем 

5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ1 и рассуждая аналогичным образом получим 
Ответ: АК:КD=7:4; ВК:КЕ=6:5.
Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику ВЕС. Тогда прямая DA пересекает две стороны треугольника в точках D и K, а продолжение третьей в точке A. Значит применимо равенство:   , следовательно ВК:КЕ=6:5. Рассуждая аналогично относительно треугольника ADC, получим  , АК:КD=7:4.
Задача №4 В ∆ ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2 : 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD.

1) Проведем прямую DD1 параллельную прямой СE.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD1:D1E=2:1 или ВD1= 2p , D1E=p.

3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD1+ D1E, значит у=2p+p=3p, p =
4) Стороны угла BAD пересекаются прямыми OЕ и DD1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем .

Ответ: АО:ОD=3:1.
Задача №5 На сторонах AB и АC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков.

Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС.




Решение: Пусть М1 точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ11С.

1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ1 и АС и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ11С=3:1 или ММ1= 3z, М1С=z

2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ1+ М1С, значит у=3z+z=4z,

3) .

Ответ: ВМ11С =7:1.
Задача №7 Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем СN=АС; точка К- середина стороны АВ. В каком отношении прямая КN делит сторону ВС.




Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K1, а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство:   , следовательно ВК11С=2:1.


Задача №8


Сайты:

http://festival.1september.ru

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с

Заключение:

Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых.

1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема.

Похожие:

Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconДифференциальная геометрия и топология
Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема "об образе"
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconВопросы к экзамену по геометрии
Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Построение четвертого пропорционального. Средняя линия
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconТеорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема
Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему де­дукции, можно, очевидно, получить новые следствия
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconПрограмма экзамена по курсу "Локализация аттракторов"
Трансверсальность. Формулировка теоремы о трансверсальности Абрахама (теорема 6)
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconОбобщенная теорема коши о среднем значении и ее применения
В докладе обсуждается следующая обобщающая классическую теорему Коши о среднем значении
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconЗакон Кулона. Экспериментальные проверки закона Кулона. Теорема Остроградского-Гаусса. Дифференциальная формулировка закона Кулона

Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах....
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Петровым Н. Н
Системы типа Каратеодори. Определение. Теорема существования решения задачи Коши. Теорема единственности. Теорема о продолжимости...
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconРодился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18-20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса о. Самос почти рядом с Милетом
Фалеса (о. Самос почти рядом с Милетом!), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для...
Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка iconКонспект урока геометрии в 9 классе на тему "Вписанный угол. Теорема о вписанном угле"
Определение понятия вписанного угла содержит два существенных свойства, формулировка теоремы несложная. Доказательство теоремы в...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org