Решение. По условию: Тогда



Скачать 126.66 Kb.
страница1/4
Дата16.10.2012
Размер126.66 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4

геометрия треугольники

Точка пересечения медиан , , треугольника является центром окружности, вписанной в треугольник . Докажите, что треугольник - равносторонний.

(Московская олимпиада)

Доказательство.

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому диагональ параллелограмма ( и - средние линии ) является биссектрисой его угла . Значит, - ромб. Но тогда , т.е. . Аналогично, .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. При этом отрезки АМ и МN – равны. Докажите, что АN является биссектрисой угла А.

(Устинов)

Доказательство.

Рассмотрим - равнобедренный.

.

Тогда .

С другой стороны .

Имеем



и, следовательно, gif" name="object22" align=absmiddle width=33 height=18> - биссектриса угла .


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В провели биссектрису . Затем в провели биссектрису . Оказалось, что углы равны углам . Найдите углы .

(Устинов)

Ответ. или .

Решение.

По условию:





Тогда:

,

,

.

Углы равны углам .

Рассмотрим три случая:

1)



Тогда .

Поскольку , то , т.е. и углы треугольника равны , и .

2)





Дальше аналогично случаю 1.

3)



.

Тогда , , и, следовательно, углы треугольника равны .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В треугольнике сторона равна 2, . На стороне взята точка так, что . Чему равен ?

Ответ.

Решение.

Пусть - середина , т.е. . Тогда - равносторонний, следовательно, и - равнобедренный. Значит, . И, следовательно, .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В треугольнике на стороне как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны и в точках и соответственно. Известно, что . Докажите, что треугольник - равносторонний. (Устинов)

Доказательство.

Пусть . Тогда и . Поскольку , то и .

, следовательно, .

Имеем, , а значит треугольник - равносторонний.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В треугольнике проведены высоты и . Оказалось, что и . Докажите, что треугольник - равнобедренный. (Устинов)

Доказательство.

Пусть , . Тогда , . По теореме Пифагора: , , . Имеем уравнение:



.

Следовательно, .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СK, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым? (Московские регаты)

Ответ: нет, не может.




Первый способ.

Пусть АВС – данный треугольник, АM и СK – его биссектрисы (см. рис. ). Пусть АОС – острый, то есть, АОС < 90, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника АОС, получим, что ОАС + ОСА > 90. Следовательно, ВАС + BСА > 180, что невозможно, так как это углы треугольника АВС.

Второй способ.

Пусть АBС = , тогда вычислим АОС: ВАС + BСА = 180 – ; ОАС + ОСА = 90 – 0,5; АОС = 90 + 0,5 > 90, то есть, АОС – тупой.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В треугольнике ABC H – точка пересечения высот AA1 и BB1. Найдите ВАС, если известно, что AH = BC. (Московские регаты)

Ответ: 45.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AB1H и BB1C : AH = BC (по условию); HАС = 90 – АСB = В1BС, следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольником получим, что AB1 = BB1, значит  ABB1 – прямоугольный и равнобедренный, то есть, ВАС = АBB1 = 45.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Существует ли треугольник, у которого две биссектрисы его внутренних углов перпендикулярны?

Ответ. Не существует.

Решение. Пусть в биссектрисы и перпендикулярны. Из треугольника : , следовательно, . Противоречие.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

На биссектрисе угла взяты точки и такие, что для некоторой точки на луче выполняется
  1   2   3   4

Похожие:

Решение. По условию: Тогда iconРешение. Используем такую замену: y=uv, тогда, тогда, или. Подберём такую функцию u, чтобы
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию
Решение. По условию: Тогда iconРешение По условию задачи V(HBr) = V(ch 4 ), тогда по закону объёмных отношений газов
Соединение а способно вступать в реакцию полимеризации, взаимодействует с бромной водой, окисляется перманганатом калия в нейтральной...
Решение. По условию: Тогда iconРешение. По условию задачи внешнее воздействие симметрии 
Решение. По условию задачи внешнее воздействие симметрии /mmm приложили к кубу симметрии m3m вдоль направления [100], которое является...
Решение. По условию: Тогда iconРешение. Здесь; по формуле
Доказательство. Поскольку ряд сходится, то по необходимому условию. Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т е
Решение. По условию: Тогда iconЛинейные диофантовы уравнения
Пусть с делится на d=нод(a,b), a=da1, b=d Тогда существует частное решение (x0,y0) и общее решение равно, где k – произвольное целое...
Решение. По условию: Тогда iconРешение : Запишем уравнение реакции, следуя условию задачи. Hcl + koh  kcl + h 2 O
...
Решение. По условию: Тогда iconРешение. Введем новую переменную: t =cos 2 X, t . Тогда данное уравнение принимает вид t 2 (а + 2)t (a + 3) = 0
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos4 X – (a + 2)cos2x – (a + 3) = 0 имеет решение
Решение. По условию: Тогда iconРешение задачи Коши это получение одного частного решения с начальным значением. Все методы решения этой задачи основаны на дискретизации и интерполяции, как и численное дифференцирование, которое они используют
Но для большинства уравнений такое решение невозможно, и в этих случаях применяют численные методы. Отметим, что численные методы...
Решение. По условию: Тогда iconРешение игры Fallout 1 Наиболее полное решение игры Fallout 1 1
Революция свершилась, господа, только не так, не там и не тогда, как, где и когда мы ожидали. Говоря языком масс всем пришел ядерный...
Решение. По условию: Тогда iconРешение. По определению, где Возьмем. Тогда, поскольку на, на. Возьмем. Тогда имеем. Итак, окончательно получаем
Если функции и ограничены и абсолютно интегрируемы на, то интеграл (18) существует, равномерно сходится по на, является абсолютно...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org