Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр



Скачать 124.31 Kb.
страница1/3
Дата16.10.2012
Размер124.31 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
ВОПРОСЫ, УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4-ый семестр

Преподаватель: Е.П. Бокмельдер
Ряды Фурье.


  1. Ортонормированные системы непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая система, ее ортогональность на отрезке длины Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.

  2. Тригонометрический ряд Фурье. Простейшие результаты о сходимости в точке. Ядра Дирихле и Фейера. Теорема Фейера и ее следствия.

  3. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Наилучшее приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье (теорема о наилучшем среднеквадратичном приближении. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье.

  4. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем, равенство Парсеваля. Ряды Фурье по синусам и по косинусам на интервале

  5. Теорема о локализации и признак Дини. Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Условия почленного дифференцирования ряда Фурье. Оценка коэффициентов Фурье. Ряд Фурье в интервале произвольной длины.

  6. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. 2-ая теорема Вейерштрасса. Интеграл Фурье и его свойства.

  7. Преобразование Фурье, понятие об обратном преобразовании Фурье. Аналог признака Дини (без доказательства). Синус и косинус- преобразования Фурье.


УПРАЖНЕНИЯ


  1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале , считая ее периодической с периодом . Записать для нее равенство Парсеваля.

  2. Разложить в ряд Фурье функцию Записать равенство Парсеваля.

  3. Найти преобразование Фурье функции

  4. Представить интегралом Фурье функцию

  5. Представить интегралом Фурье функцию , продолжая ее четным образом на интервал

  6. Найти преобразование Фурье функции .


Контрольная работа по рядам и интегралам Фурье.


  1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале Записать равенство Парсеваля.

  2. Разложить в ряд Фурье функцию . Записать равенство Парсеваля.

  3. При каком значении параметра функции ортогональны на отрезке

  4. Найти преобразование Фурье функции



Интегралы, зависящие от параметра


  1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

  2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость, критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.

  3. Предельный переход под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра, непрерывность по параметру. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай отрезка и полупрямой).

  4. Дифференцирование интегралов по параметру.

  5. Интегралы Эйлера. -функция и ее свойства. -функция и ее свойства. Связь с -функцией.

  6. Вычисление интегралов с помощью интегралов Эйлера.



УПРАЖНЕНИЯ


  1. С помощью дифференцирования по параметру найти

  2. Пользуясь формулой с помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл

  3. С помощью дифференцирования по параметру вычислить , с учетом того, что .

  4. Исследовать на непрерывную дифференцируемость функцию и возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла, если .

  5. Найти производную функции .

  6. Доказать, что интеграл сходится равномерно при для любой последовательности последовательность сходится равномерно на при .



Контрольная работа по теме «Интегралы, зависящие от параметра»


  1. Исследовать на непрерывность функцию

  2. Найти если

  3. Исследовать на равномерную сходимость при

  4. Исследовать на равномерную сходимость если ,

  5. Выразить через интеграл Эйлера .

  6. Вычислить интеграл Эйлера


Г-функция и В-функция (справочный материал)
-функция:




- функция:




Примеры
1. ( Замена в : ).
2. ( Замена: ).
3.
4. ( Замена ).
5. ( Замена ).
6. ( Замена ).
7. ( Замена ).
8.
9.
10. ( Замена ).

11. ( Продифференцировать по функцию

).

12.

13. . (Универсальная подстановка).
14. ( Представить и, поменяв порядок интегрирования, получим Сделав замену приведем к виду примера 4.
15. Найдем площадь фигуры, ограниченной кривой



Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы


  1. Интеграл Римана на n-мерном параллелепипеде.

  2. Критерий Лебега интегрируемости по Риману (формулировка). Критерий Дарбу.

  3. Мера Жордана. Критерий измеримости по Жордану.

  4. Точки разрыва характеристической функции множества. Интеграл по произвольному множеству.

  5. Свойства кратного интеграла Римана.

  6. Теорема Фубини. Геометрическая интерпретация для функции двух переменных.

  7. Следствия из теоремы Фубини.

  8. Замена переменных в кратном интеграле (подробная формулировка).

  9. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  10. Понятие гладкой и ориентированной поверхности в трехмерном пространстве. Поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края.

  11. Формулы площади гладкой поверхности, заданной явно, неявно и параметрически.

  12. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  13. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского и ее физический смысл.

  14. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее физический смысл.

  15. Потенциальные и соленоидальные поля и их свойства.

  16. Запись характеристик скалярных и векторных полей с помощью вектора набла.


ЗАДАЧИ
Контрольная работа по теме: «Двойные интегралы»

  1. Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

  2. Вычислить , где

  3. Вычислить , где .

  4. Вычислить , где ограничено линиями

  5. Вычислить , где

  6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

  1   2   3

Похожие:

Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconВопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр
Точки разрыва характеристической функции множества. Интеграл по произвольному множеству
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconЭкзаменационные вопросы по курсу "Прикладные вопросы математического анализа"
Экзаменационные вопросы по курсу "Прикладные вопросы математического анализа" (веч спец отд ф-та вмиК, 2005 2006 уч год)
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconВопросы и упражнения по курсу математического анализа Прикладная математика. Бакалавриат
Функции и отображения, образы и прообразы, их свойства. Существование обратной функции
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconА. Г. Мордкович, В. И. Глизбург (Москва) Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10-11 класс (профильный уровень) в статье содержатся по два варианта контрольных работ по курсу «Алгебра и начала математического анализа 10-11

Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconРаботы студентов по курсу «методика математического развития детей дошкольного возраста» игры и игровые упражнения для развития
Упражнения, направленные на развитие умения выделять геометрические фигуры на рисунке, чертеже, в окружающей обстановке
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconВопросы к экзамену по курсу Синоптическая метеорология. 1 семестр
Синоптический метод в метеорологии. Основные принципы синоптического анализа, пути совершенствования методов краткосрочного прогноза...
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconВопросы к зачету I семестр Практическая фонетика Основы техники речи
Речевой аппарат человека. Постановка фонационного дыхания. Подготовительные упражнения. Дыхательные упражнения. Тренировка органов...
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconВопросы к экзамену по курсу "Введение в акустику"
Звуковые волны. Различные типы задач акустики (задачи о свободных волнах; задачи с начальными условиями; краевые задачи; задачи о...
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconМетодические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700,...
Вопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр iconПрограмма дисциплины дпп. В. 02 Избранные главы математического анализа (050201. 65. Математика) Томск 2008
Основной целью спецкурса является углубление знаний, полученных при изучении классического курса математического анализа
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org