Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория



Скачать 37.55 Kb.
Дата08.10.2012
Размер37.55 Kb.
ТипУрок
Урок №3

«Вписанные и описанные правильные многоугольники»

ТЕОРИЯ

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности связаны следующими формулами

a n =2R sin 180/n; r=R cos180/n.

где a n - сторона правильного многоугольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности.

Длина окружности находится по формуле: С=2πR.

Длина дуги окружности находится по формуле: L=πRα/180, где α – соответствующий центральный угол в градусах.

Задача №1

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

Решение.

Пусть K,L,M — точки пересечения описанных окружностей треугольников FOA и BOC,  BOC и DOE,  DOE и FOA; 2,2 и 2 — углы при вершинах равнобедренных треугольников BOC,DOE и FOA (рис). Точка K лежит на дуге OB описанной окружности равнобедренного треугольника BOC, поэтому OKB = 90° + . Аналогично OKA = 90° + . Так как  +  +   = 90°, то AKB = 90° + . Внутри правильного треугольника AOB существует единственная точка K, из которой его стороны видны под данными углами. Аналогичные рассуждения для точки L, лежащей внутри треугольника COD, показывают, что  OKB = CLO. Докажем теперь, что  KOL = OKB. В самом деле,  COL = KBO, поэтому  KOB + COL = 180° – OKB = 90° – , а значит,  KOL = 2 + (90° – )  =  90° +   = OKB. Следовательно, KL = OB = R. Аналогично  LM = MK = R.

Зpng" name="graphics1" align=left width=216 height=207 border=0>адача №2.

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что a2 + b2 = c2.

Решение: Пусть точки A1,…,E1 симметричны точкам A,…,E относительно центра окружности S; P,Q и R — точки пересечения прямых BC1 и AB1,  AE1 и BA1,  BA1 и CB1 (рис). Тогда PQ = AB = a и QR = b. Так как PQAB и ABA1 = 90°, то PR2 = PQ2 + QR2 = a2 + b2. Прямая PR проходит через центр окружности S и AB1C = 4 · 18° = 72°, поэтому PR — сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности с центром B1, радиус B1O которой равен радиусу окружности S.

Задача№3

Найдите сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей правильного  n-угольника, вписанного в окружность радиуса R.

Решение:

Обозначим через Sk сумму квадратов расстояний от вершины Ak до всех остальных вершин.

Тогда



Sk = AkA12 + AkA22 + … + AkAn2  = 






 =  AkO2 + 2(


AkO
 

,


OA
 





) + A1O2 + … + AkO2 + 2(


AkO
 

,


OA
 



n 

) + AnO2 = 2nR2,




так как 




n

i = 1 





OA
 



i 

 = 


0
 




. Поэтому 





n

k = 1 

Sk = 2n2R2

. Поскольку квадрат каждой из сторон и диагоналей дважды входит в эту сумму, искомая сумма равна n2R2.
Задача№3. Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырех сторонах пятиугольника.

Решение

Пусть перпендикуляры, восставленные к прямой AB в точках A и B, пересекают стороны DE и CD в точках P и Q. Любая точка отрезка CQ является вершиной прямоугольника, вписанного в пятиугольник ABCDE (стороны этого прямоугольника параллельны AB и AP), причем при перемещении этой точки от Q к C отношение длин сторон прямоугольников изменяется от AP/AB до 0. Так как угол AEP тупой, то AP > AE = AB. Поэтому для некоторой точки отрезка QC отношение длин сторон прямоугольника равно 1.


Похожие:

Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconВписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники
Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис. 54 ). Описанным около круга называется...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconТесты для учеников 12 2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники» 14
Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники» 4
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория icon20. Правильные многогранники и их симметрия
По аналогии с правильными плоскими фигурами многоугольниками в пространстве определяют правильные многогранники: многогранник называется...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconУрок в 9 «Г» классе: Построение правильных многоугольников
Данный урок является первым уроком по теме «Правильные многоугольники», на нём вводятся термины, даётся их определения (многоугольник,...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconЭлементарная математика: теория и практика фио: Козина Мария Александровна Предмет преподавания
Правильные многоугольники. Свойства. Формула для вычисления стороны и площади правильного многоугольник
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconПравильные многоугольники
Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconИнтегрированный урок алгебры и геометрии в 9 классе "Своя игра" по теме: "Прогрессии и правильные многоугольники"
Цель: Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки, полученные при изучении данной темы
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconВписанные и описанные окружности
Повторить определения вписанной и описанной около многоугольника окружности, положение центра окружности, свойства вписанных и описанных...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconИнтегрированный урок геометрии и информатики. Тема урока по учебному плану: Построение правильных многоугольников Форма урока: Комбинированный
Есть в школьной геометрии такие темы, при изучении которых встречаешься с красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные...
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория iconСеминар по теме: «правильные многоугольники»
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org