Лекции по алгебре учебное пособие



страница1/4
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Д.Н.Булгаков, Т.Е.Денисова, А.М.Попов, А.Н.Щурова
  • ОБЗОРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ



  1. Учебное пособие



  1. Москва


2003

Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям

«Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика».


Подготовлено на кафедре математического анализа Российского университета дружбы народов.
Авторы выражают признательность Ассоциации друзей РУДН и Фонду поддержки факультета физико-математических и естественных наук, благодаря финансовой поддержке которых создано это пособие.

СОДЕРЖАНИЕ.


Лекция 1. Линейные пространства: базис и размерность ..…………………………. 3

Лекция 2. Ранг матрицы ……………………………………………………..…….….. 9

Лекция 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора … 13

Лекция 4. НФЖ матрицы линейного оператора …………………………………… 16

Лекция 5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и

Евклидовых пространствах ………………………………………………… 21

Лекция 6. Билинейные и квадратичные формы ……………………………………. 25

Лекция 7. Классификация эрмитовых и симметричных квадратичных форм

по знаку …………………………………………………………………….. 29

Лекция 8. Введение в теорию групп …………………………………………………. 32

  • ЛЕКЦИЯ 1. Линейные пространства: базис и размерность.



Определение 1. Линейное пространство над полем P – это алгебраическая система, состоящая из непустого множества L с двумя алгебраическими операциями:

Сложение: Умножение на элементы поля P:



Эти операции должны удовлетворять условиям:


  1. - абелева группа с нулем (нулевой вектор), т.е.:

  2. «+» - ассоциативно





  3. «+» – коммутативно.




  1. Условия на « »:

  2. где 1 – единица в P.

  3. (обобщение ассоциативности)

  4. (обобщение

  5. дистрибутивности)


Элементы линейного пространства L называются векторами.
Из 1 – 8 следуют обычные правила операций с векторами.
Примеры линейных пространств: , многочлены степени над P, многочлены любых степеней над P,

Линейная зависимость и независимость векторов.


Определение 2. называется линейной комбинацией.

Определение 3.
Система векторов называется линейно независимой,

если из (0 –нуль в P).

Система называется линейно зависимой, если , не все равные нулю, такие, что

Лемма 1. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов .
Доказательство очевидно (но надо знать!).
Лемма 2. Если каждый вектор системы линейно выражается (равен линейной комбинации) через систему , а каждый вектор системы линейно выражается через систему , то каждый вектор системы линейно выражается через систему .
Определение 4. Бесконечная система векторов линейно независима любая ее конечная подсистема линейно независима. Бесконечная система векторов линейно зависима в ней существует линейно зависимая подсистема.
Система образующих линейного пространства.
Определение 5. Подмножество M линейного пространства L называется системой образующих, если
Лемма 3. Если в системе образующих M линейно выражается через

, то также является системой образующих.
Доказательство. Любой линейно выражается через M, любой вектор из M линейно выражается через линейно выражается через

- система образующих векторов линейного пространства L.
Базис линейного пространства.
Определение 6. Базисом L называется любая линейно независимая система образующих L.

Определение 7. (Эквивалентное def) Базис L – любая max по линейно независимая система векторов в L.
Доказательство эквивалентности def 6-7.

Если А - базис по def 6, то для x = комбинация из А линейно зависима A – max по линейно независимая система в L.

Если А – базис по def 7, то - линейно зависимая система в ней существует конечная линейно зависимая подсистема (x – обязательно войдет в нее – иначе А будет линейно зависимой – противоречие) не все = 0 :

Заметим, что (иначе - линейно зависимы А – линейно зависима) - система образующих L и линейно независима
А – базис по def 6.
Теорема о существовании базиса. В любом линейном пространстве существует базис.
Доказательство основывается на лемме Цорна. (Этот вариант желателен, т.к. он входит в вопросы по функциональному анализу).
Лемма Цорна. Пусть частично упорядоченное множество удовлетворяет условию: если В - его произвольное линейно упорядоченное подмножество, то т.е. В ограничено сверху. Тогда любой элемент подчинен некоторому максимальному элементу (def max эл-та : если для некоторого , то ).
Пусть - множество всех линейно независимых систем векторов из L. - линейно независимая система Ш. Определим на А частичный порядок Покажем, что удовлетворяет условиям леммы Цорна.

Пусть и B – линейно упорядочено по Покажем, что

Действительно, определим Покажем, что т.е. A – линейно независимая система.

От противного: если А – линейно зависимая система, то такие, что

- линейно зависимая система. Но .

B – линейно упорядочено среди наибольшее по и, следовательно, по множество Получили, что линейно независимая система содержит линейно зависимую подсистему - противоречие.

Следовательно, и - выполнены условия леммы Цорна. По лемме Цорна в А существуют max по линейно независимые системы – базисы L.
Замечание. Одновременно доказано, что любая линейно независимая система содержится в некоторой max по линейно независимой системе - некотором базисе L.
Вместо этой теоремы можно доказывать:
Теорема. Из любой конечной системы образующих (если она существует) линейного пространства L можно выбрать базис L.

Доказательство. Последовательно исключаем из векторы, которые линейно выражаются через предыдущие:

Исключаем если , получим ; пусть ;

Исключаем , если линейно выражается через , получим

- система образующих по лемме 3;

Исключаем , если линейно выражается через и и т.д.

За m шагов получим систему образующих (лемма 3) Покажем, что она линейно независима, т.е. является базисом L. От противного: пусть линейно зависима не все = 0 : Пусть Тогда - линейно выражается через предыдущие векторы – противоречие с процессом построения Следовательно,

- линейно независимая система образующих - базис L.
Основные свойства базиса линейного пространства L.
1. Любой вектор равен линейной комбинации базисных векторов.

Следует из опр. 6: базис – линейно независимая система образующих.
2. По свойству 1 называются координатами x в этом базисе.

Координаты вектора в базисе определены однозначно.

Доказательство. Если то


Определение 8. Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем конечный базис.
Теорема о равномощности базисов конечномерного линейного пространства.

Любые два базиса конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.
Доказательство. L – конечномерно базис

(1)

Пусть

(2)



  1. другой базис L (возможно бесконечный). Покажем, что число векторов в базисе (2) .



1-ый шаг.

(3)
- линейно зависимы не все = 0:



т.к. входит в базис (2). - иначе - линейно зависимы. Поэтому

линейно выражается через остальные векторы системы (3). Исключаем из (3), получим

(4)


  1. - система образующих (по лемме 3).


2-ой шаг.

(5)


  1. линейно зависимая система образующих, т.к. линейно выражается через систему образующих (4). - линейно независимы один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы (5). Исключим его из (5), получим систему образующих


(6)
3-ий шаг.
Присоединим к (6) и т.д.
Если (2) содержит более n векторов, то за n шагов получим систему образующих
(7)
(7) линейно независима как подсистема базиса (2) (7) – базис L. Если - получим противоречие: должен линейно выражаться через базис (7) L, но система

как подсистема базиса не может быть линейно зависимой. Следовательно, (2) – конечная система и

Поменяем местами (1) и (2) и повторим доказательство. Получим
Доказанная теорема позволяет ввести

Определение 9. Для конечномерного L число векторов в любом базисе L.

полностью характеризует линейное пространство над P :
Теорема. Любые два линейных пространства над P одной размерности изоморфны между собой.

ЛЕКЦИЯ 2. Ранг матрицы.
Напоминание о линейной оболочке системы векторов

линейного пространства L над P.

по подпространство в L, которое содержит .

Доказывается, что - множество всевозможных линейных комбинаций из векторов - система образующих для

число линейно независимых векторов в системе

Базис - любая max по числу векторов линейно независимая подсистема в системе

- прямоугольная матрица с элементами из поля P.

-ая строка - пространство строк длины n над P.

- j –ый столбец - пространство столбцов высоты m над P.

- пространство строк матрицы А.

- пространство столбцов матрицы А.

Цель: доказать, что , или

max число линейно независимых строк в горизонтальный ранг А.

max число линейно независимых столбцов в вертикальный ранг А.

Инструмент для доказательства – элементарные преобразования (ЭП) со строками А.
Определение. Матрица получена из матрицы А одним ЭП строк, если:
ЭП1: при (перестановка строк s и t).

ЭП2: при

ЭП обратимы (внутри каждого типа).

Лемма об элементарных преобразованиях матрицы (можно без доказательства).

Если матрица получена из матрицы А конечным числом ЭП, то





Достаточно доказать 1. – 2. для случая , когда получена из А одним ЭП.







2. Рассмотрим систему уравнений ЭП приводит ее к эквивалентной системе, поэтому Отсюда любой max линейно независимой системе столбцов матрицы А соответствует max линейно независимая система столбцов матрицы с теми же номерами. Поэтому
Теорема о ранге матрицы. Для любой матрицы А max число линейно независимых строк = max число линейно независимых столбцов - ранг А.

Доказательство. Если А – нулевая матрица, то - теорема верна.

Пусть А – не нулевая. Тогда конечным числом ЭП (как в методе Гаусса) она приводится к ступенчатому виду









По лемме поэтому достаточно показать, что

Ненулевые строки линейно независимы

Столбцы с номерами i,k,l,,p,s линейно независимы, а любой другой столбец равен их линейной комбинации, коэффициенты которой однозначно определяются как решение системы линейных уравнений

произвольный столбец у которой матрица системы имеет треугольный вид.

Число этих базисных столбцов равно r, так как каждая ненулевая строка в начинается с ненулевого элемента, определяющего базисный столбец. Поэтому
Доказанная теорема позволяет дать
Определение. Ранг матрицы А - это max число ее линейно независимых строк или столбцов.
Следствие из теоремы. rgA = число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы А.

Теорема Кронекера Капелли. Система линейных уравнений совместна
Доказательство.

Если система совместна, то столбец В линейно выражается через столбцы

Пусть Тогда В линейно выражается через столбцы А (иначе rgA =

= rgA+1) - решение системы.
  1   2   3   4

Похожие:

Лекции по алгебре учебное пособие iconЛекции по общей алгебре: Учебное пособие. 2-е изд

Лекции по алгебре учебное пособие iconСборник задач по алгебре. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии
Сборник задач составлен в соответствии с программой по алгебре подготовки студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология,...
Лекции по алгебре учебное пособие iconПетрушко И. М. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум: Учебное пособие. 2-е изд
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих высшую математику, и может быть использовано как при очной, так и при дистанционной...
Лекции по алгебре учебное пособие iconЛекции по русскому фольклору: Учебное пособие. М.: Дрофа, 2004. 336 с
Костюхин Е. А. Лекции по русскому фольклору: Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2004. – 336 с
Лекции по алгебре учебное пособие iconЛекции по алгебре: группы, кольца, поля : пособие для студентов / В. В. Беняш-Кривец, О. В. Мельников. Минск : Изд-во бгу, 2009. 115 с
Беняш-Кривец, В. В. Лекции по алгебре: группы, кольца, поля : пособие для студентов / В. В. Беняш-Кривец, О. В. Мельников. Минск...
Лекции по алгебре учебное пособие iconУчебное пособие для учащихся 5 класса
Учебное пособие предназначено для учащихся 5 классов основной школы. Оно охватывает историю Сибири с эпохи камня до наших дней. Учебное...
Лекции по алгебре учебное пособие iconУчебное пособие москва 2002 удк 536 ш 25 Рецензент д ф. м н. профессор В. М. Кузнецов (рхту им. Д. И. Менделеева) Шарц А. А. Основы термодинамики: учебное пособие. М.: Мгту «станкин»
Учебное пособие предназначено для студентов второго курса и содержит краткое изложение основного материала подраздела «Термодинамика»...
Лекции по алгебре учебное пособие iconЛекции по фармакологии для врачей и провизоров: учебное пособие. М.: Иф «Физико-математическая литература»

Лекции по алгебре учебное пособие iconУчебное пособие Год издания: 2001
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности журналистика. Структурно пособие учитывает учебные программы...
Лекции по алгебре учебное пособие iconУчебное пособие Новосибирск 2001 удк 681. 3 Ббк 32. 973-01 в 751 Воробьева А. П., Соппа М. С. Система программирования Турбо паскаль 0: Учебное пособие. Новосибирск: нгасу, 2001. 118 с
Данное учебное пособие написано в рамках изучения курса информатики студентами экономической специальности. В первой части пособия...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org