Линейное (векторное) пространство над полем P



страница1/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
  1. Линейные пространства

  2. Линейное (векторное) пространство над полем P


Пусть дано поле P. непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены внутренний закон композиции , называемый сложением, и внешний закон композиции , называемый умножением на число из поля P, удовлетворяющие следующим аксиомам:

Для любых и :

1)

2)

3) существует элемент такой, что

4) для любого элемента существует элемент такой, что

5)

6)

7)

8)

Линейное пространство над полем R называется вещественным линейным пространством, а над полем С – комплексным.

  1. Вектор


Элементы линейного пространства называются векторами
  1. Противоположный вектор


Вектор a называется противоположным к вектору a
  1. Нулевой вектор


Вектор называют нулевым вектором пространства.
  1. Разность векторов


Разностью векторов линейного пространства V называется вектор такой, что
  1. Линейная комбинация векторов


Пусть - векторы линейного пространства V, и - действительные числа. Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят что он выражается через векторы .
  1. (не)тривиальная линейная комбинация


Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной, если хотя бы один коэффициент не равен нулю. Тривиальная комбинация любой системы равна нулевому вектору.
  1. Линейно независимая система векторов


Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.

Линейно независимая система – когда только тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.
  1. База системы векторов


Линейно независимая подсистема системы векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы, называется базой системы векторов.
  1. Ранг системы векторов


Число векторов в базе называется рангом системы векторов
  1. Базис линейного пространства


Система векторов линейного пространства V порождает пространство V, если вектор является линейной комбинацией векторов .
Упорядоченная система векторов называется базисом линейного пространства V, если она порождает V и линейно независима.

Система векторов называется базисом в пространстве V, если эта система линейно независима и каждый вектор линейного пространства линейно выражается через .
  1. Координаты вектора в базисе


Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе
  1. Размерность линейного пространства


Число векторов базиса линейного пространства V называется размерностью пространства V и обозначается .
  1. Бесконечномерное пространство


Линейное пространство называется бесконечномерным, если в пространстве существует любое, сколь угодно большое, число линейно независимых векторов.
  1. Арифметическое n-мерное пространство


Арифметическое пространство - линейное пространство над полем . Как и в случае с , здесь с операциями: если и , , то , .
  1. Матрица перехода от одного базиса к другому


Пусть и - два базиса n-мерного линейного пространства V. Векторы базиса f, как векторы пространства, можно разложить по базису e, пусть:









Из коэффициентов можно составить матрицу

,

которая называется матрицей перехода от базиса e к базису f и обозначается . Иными словами, матрица перехода от одного базиса к другому состоит из координат векторов нового базиса относительно старого, записанных по столбцам.

  1. Изоморфизм линейных пространств


Два линейных пространства и над общим полем P называются изоморфными, если существует биективное отображение : , которое сохраняет законы композиции, т.е. если для всех векторов и каждого числа :

1)

2)

Обозначение:

Само отображение называется изоморфизмом линейных пространств.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org