Парадокс Карри



Скачать 289.31 Kb.
страница3/5
Дата16.10.2012
Размер289.31 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5

3. Значение, решения и открытые вопросы.




3.1. Значение.



Каково значение парадокса Карри? Ответ зависит от подхода к парадоксу. Любая достаточно полная теория языка должна давать представление о парадоксах (о, например, парадоксах лжеца, Рассела и др.) и предлагать возможные способы взаимодействия с ними. В классическом случае это сводится к махинациям с Т-схемой (наивной абстракцией) или к отрицанию существования конкретных (парадоксальных) утверждений. На парадокс Карри классические подходы реагируют схожим образом – запретом существования утверждениям Карри или возней с неограниченной Т-схемой (наивной абстракцией). Различные сочетания этих двух возможностей можно найти в хорошо известных теория: в теории исправления Гупты-Белнапа (Gupta-Belnap revision theory, 1993), в теории семейной иерархии Тарского (Tarski's familiar hierarchical theory), также известной как расселовская теория типов (or Russellian type theory), в симмоновской теории особенностей (Simmons's singularity theory, 1993), в теории индексирования Бурже (Burge's indexical theory, 1979), в семантике фиксированной точки Крипке (Kripke's fixed point semantics, 1975), в гайфмановой указательной семантике (Gaifman's pointer semantics, 1988), Barwise-Etchemendy situation-cum-Aczel-set-theory (1984), в контекстной семантике Гланзберга (Glanzberg's contextual semantics, 2001), так же действовал и Парсонс (Parsons, 1974) и другие. (NB: Указанные теории отличаются друг от друга, но, тем не менее, каждая из них отвечает одному из двух указанных выше подходов: они или преобразуют наивную Т-схему или отрицают существование так называемых усиленных утверждений лжеца.)
Ценность парадокса Карри проявляется не в классических теориях, а в некоторых неклассических. В частности, парадокс Карри в прямом смысле слова испытание на прочность тех неклассических теорий, которые пытаются следовать одной из указанных схем – истинности, множеств, семантических свойств – в её неограниченном варианте (одновременно позволяя утверждениям Карри возникнуть в языке).

Два таких неклассических подхода, сразу бросающиеся в глаза (по крайней мере при работе с парадоксом Карри), - подходы паранепротиворечивыйV и параполныйVI. Первый, отказываясь от «взрывов» (т.е. от правила вывода из предложения и его отрицания прозвольного предложения), допускает (отрицание-) противоречивые, и при этом не тривиальные теории. Во втором отказываются от правила исключенного третьего, то есть от истинности дизъюнкции предложения и его отрицания3.
В интересующих нас теориях (каждая из которых расширяется до классической логики) так называемая «материальная импликация»( ‘material conditional’) («крюк» или «подкова») представляет из себя не самое адекватное высказывание – в нём под импликацию замаскирована дизъюнкция, точнее, ¬AB.
В интересующей параполной теории импликация не удовлетворяет условию «Тождества» (верность «Если А, то А», в ипликационном смысле «если»). В паранепротиворечивой теории ипликация не «отделяет» (не удовлетворяет «modus ponens»). Поэтому задача интересующих нас неклассических теорий – поиск условного высказывания, обходящего импликацию.
Чтобы получше сгруппировать вопросы (но по-прежнему оставляя некоторую степень свободы), назовем условное высказывание подходящим, если оно удовлетворяет следующему минимальному набору свойств


  1. Тожедество: AA верна.

  2. Правило Modus Ponens: Переход от A и AB к B верен.

  3. Порождающие Карри сокращения разрешены.


Есть и другие требования, которые можно было выдвинуть (к примеру, подстановочность равных, недопустимость омега-противоречиовсти в арифметике и другие), но указаные требования составляют необходимый минимум для искомого условного высказывания4.
Парадокс Карри учит нас тому, что в независимости от заслуг перед простыми утверждениями в духе парадокса Лжеца, не каждая известная паранепротиворечивая и параполная теория подойдёт, если наша задача состоит в том, чтобы сохранить в рамках теории один или несколько указанных (неограниченных) принципов. Во избежание тривиальности, ни одна логическая операция в языке не должна удовлетворять сокращению или поглащению и одновременно поддерживать одну из схем - Истинности, НА или НСС (по крайней мере, в случае, если логика относительно нормальна). Среди прочего, это ограничение позволяет выделить нескольких кандидатов (иногда подходящих) на место искомого условного высказывания, такие, например, известные, условные высказывания из релевантной логикиVI, в том числе, случаи E и R.
В двух следующих частях мы приводим наброски двух основных (в некотором роде связанных между собой) подходов к нужному условному высказыванию. Для подробностей и пояснения тонких моментов (которых не мало!) мы советуем обратиться к указанным работам.

3.2. Простое решение с помощью ненормальных миров.



Целый класс подходов к поиску нужного условного высказывания задействует ненормальные миры (впервые представленные Крипке(Kripke) для построения моделей модальной логики, в которой не выполняется правило необходимости). Чрезвычайно простой подход, входящий в рамки обоих – паранепротиворечивого и параполного - подходов к парадоксу, был предложен Грехемом Пристом (Graham Priest, 1992) и в несколько иной форме - Рутли и Лопариком (Routley, Loparic,1973). Общее представление можно проследить через его семантику, она представлена ниже5.
Отставляя отрицание в сторону (для задач Карри), мы рассмотрим пропозициональный язык со следующими операциями: конъюнкция(&), дизъюнкция(∨) и импликация (→). (Для целей разрешения парадокса Карри, отрицание отставлено в сторону. Тем не менее, предложенная семантика допускает отрицание в некоторых подходах, так же как и квантификаторы.) Интерпретацией этого языка служит четверка (W,N,[ ], f), где W - непустое множество миров (помеченных точек), N – непустое подмножество W, [ ] – функция из множетсва пропозиционных параметров в множество всех подмножеств W; для удобства мы будем рассматривать образ функции [ ] как включенные суждения (множества миров, в которых некоторый набор различных утверждений верен), и так наываемые значения [ ] – суждениями. Пусть NN множество так называемых ненормальных миров, а именно NN = WN. В свою очередь, f – функция на множестве пар (упорядоченных) суждений в множество NN. Теперь [ ] может быть продолжена на все предложения (AB, …) с помощью следующих операций:
[A&B] = [A]∩[B]

[AB] = [A]∪[B]
Значение следствия – это объединение двух множеств: N - класс нормальных миров, в которых следствие истинно, и NN - класс ненормальных миров, в кторых следствие истинно. Добавляя обычные условия истинности S5, мы определяем N и NN :
N = W, if [A]⊂[B]; иначе, N = ∅.

NN = f([A],[B]).
Собирая всё вместе, мы можем определить валидность обычным способом, а именно, как сохранение истинности во всех нормальных мирах во всех интерпретациях.
Валидность можно определить и как сохранение истинности во всех мирах (во всех интерпретациях), но, когда это приведёт к «подходящему условному высказыванию» в существующем смысле, условное высказывание будет даже слабее, чем слабое (очень слабое, но однако подходящее) условное высказывание, полученное из определения валидности с сохранением истины только в нормальных мирах.
Прист (Priest, 1992) приводит безупречную и полную теорию доказательств для этой семантики, её разбор мы оставляем читателю.

3.3 Другое решение.



В достаточно новой работе Филд (Field, 2008) защищает неклассическую (параполную, но не паранепротиворечивую) теорию истинности, которая включает в себя уже упомянутый подход к искомому условному высказыванию, правда, в более изощренной форме. В частности, Филд приводит расширенный вариант известного (Крипкинского (Kripkean)) подхода к истинности, в котором расширенный язык содержит нужное условное высказывание (примитив)6.

3.3.1. Взгляд из окрестностей «ненормального».


Для текущих нужд я привожу очерк (необходимую нам его часть) того, что Филд назвал «общей семантикой» его условного высказывания. (Чтобы привести его целиком, необходимо ввести понятия, сильно выходящие за рамки этой статьи.) Также Филд приводит изящную семантику, использующую разновидность конструкций Крипке (Kripke, 1975) и Брэди (Brady, 1989), тем не менее, «мировой» подход достаточен для настоящих целей.
Для того, чтобы привести расширение сильной клинивой логики (см. многозначную логику), Филд предлагает следующую структуру, оставляя синтаксис таким, как в подходе «ненормальных миров» выше. (Без сомнения, оба подхода могут быть расширены на случаи предикатов и квантификаторов, но расширения на уровне суждений достаточно для демонстрации основной идеи.) Пусть W бесконечное множество миров с @ в качестве (единственного) «действительного» элемента. В свою очередь, отношение «схожести» (‘similarity’) на W введено таким образом, что каждый w ∈ W имеет множество «похожих миров» (так называемая «окрестность» w). Отдельным пунктом, Филд предлагает каждому w ∈ W приписать направленное семейство (быть может, пустое) Fw, которое состоит из непустых подмножеств W, а направленность означает
(w ∈ W)(X,Y ∈ Fw)(∃Z ∈ FwZ ⊆ XY
Такая направленность семейства Fw допускает «несравнимость», то есть отношение схожести не обязано быть линейным.

Чтобы избежать парадокс Карри, необходимо внести ещё несколько поправок. (Чтобы заполучить все возможности филдовского условного высказывания, требуются бо́льшие изменения – они представлены в работе Филда (2008).) Определим следующие свойства для каждого w ∈ W:


  1. Нормальность: w нормален, только если w ∈ X для всех X ∈ Fw.

  2. Ненормальность: w ненормален, только если он не нормален.

  3. Одиночество: w одинок, только если {w} ∈ Fw.

  4. Счастье: w счастлив, только если он не одинок.


Конструкция Филда требует, чтобы @ был одновременно нормальным и счастливым в любой интерпретации, иначе миры могут быть ненормальными и одинокими. (То, что @ должен быть счастлив, - это не только теплота филдовского сердца. В случае его одиночества некоторые валидности возникают из-за сокращения.)

В этой установке, предложениям в частях, свободных от условных высказываниях, приписываются обычным способом значения Клини (а именно, 1, 0.5, 0) в «мирах». В частности, конъюнкция и дизъюнкция становятся минимумом и максимумом, соответственно, а отрицание становится разностью единицы и значения отрицания (negatum) – всё релятивизированно к миру. Данные «миры», конечно, не играют основной роли в каком-либо из объёмных операциях. Нет нужды смотреть на другие миры, чтобы вычислить значения таких предложений. Миры начинают играть роль, когда рассматриваются условные высказывания. Пусть |A|w  значение  A в w, тогда


  1. |AB|w = 1 если |A|y ≤ |B|y для некоторого X ∈ Fw и любого y ∈ X

  2. |AB|w = 0 если |A|y > |B|y для некоторого X ∈ Fw и любого y ∈ X

  3. |AB|w = 0.5 иначе.


С такими значениями условных высказываний, отношение валидности (или семантического заключения) определено только для «действительных точек» любой из интерпретаций. Назовём A действительно проверяемой в интерпретации, только если A принимает значение 1 в @ в этой интерпретации. В этом случае аргумент из множества S предложений, выводящие A назовём валидным если, и только если, любая интерпретация, действительно проверяющая S, действительно проверяет A. (Множество S предложений действительно проверяемо только, если все его члены действительно проверямы.)

Два примечательных свойства условного высказывания



Одно примечательное свойства подхода Филда состоит в том, что вкупе с другими ограничениями (опущенным здесь), условное высказывание «сводится» к следствию в контексте, в котором выполняется закон исключенного третьего (см. работу Филда (2008) для подробностей). Это свойство отсутствует в подходе нормальных миров, описанном выше.
Другое примечательное свойство (в более широкой конструкции Филда) – это то, что условное высказывание порождает естественный оператор «определённости», а точнее, целую бесконечную иерархию всё более сильных операторов «определенности». Для параполных задач Филда (в которых некоторые предложения, типа предложений Карри, «не определенно истинны») это значительное достижение. Детали, тем не менее, мы оставляем в работе Филда.

Открытые вопросы и задачи



В рамках любого из двух вышеупомянутых подходов, простого ненормального и филдовского, надо отказаться от существования предложений Карри (что сложно сделать в случае естественного языка) для сохранения какого-либо из «наивных» принципов (истинности, множеств, свойств). Тем не менее, существуют несколько философских вопросов, требующие рассмотрения. Некоторые из них обрисованы ниже.
Один философский вопрос, затрагивающий оба подхода, состоит в изучении самой природы ненормальных миров. Что они из себя представляют? (Конечно, они сильно отличаются для каждого из подходов, но представляют интерес оба случая.) Если подойти к формальной семантике с чисто инструменталисткой точки зрения, как это призывает сделать Филд (2008), то возможно, этот вопрос окажется не таким критическим. Однако, если смотреть на формальную конструкцию с позиции «реалиста», как иногда советует Прист, то вопрос становится достаточно острым.
Предположением Приста (1992) относительно простых ненормальных структур (или других – более изощренных) состояло в том, что ненормальные миры – это просто миры (правда, невозможные), в которых действуют иные законы логики. Но есть ли независимая от парадокса Карри причина признавать эти миры? К счастью, скорее всего, да. Одна из причин связана с общими (для естественных языков) обоснованиями, содержащие противо-логичные предложения, включая такие, как, например, «Если интуиционистская логика корректна, то исключение двойным отрицанием некорректно». С помощью ненормальных миров построение таких предложений и обоснований, их содержащих, становится довольно простым7.
Существуют и другие философские (и логические) задачи, остающиеся открытыми. Одна из наиболее важных современных работ, обсуждающая эти задачи, принадлежит руке Рестола (Restall, 2007). Рестол утверждает, что такие подходы, как описанные выше, должны отказаться или от транзитивности следствия, или от бесконечноместной дизъюнкции, или от дистрибутивной решётчатой логики (т.е. от дистрибутивности бесконечноместной дизъюнкции над конечной конъюнкцией), иначе, как показывает Рестол, парадокс Карри возникает немедленно и, следовательно, вместе с ним – и тривиальность. Важность заключений Рестола заключается не только в построенных формальных ограничениях на неклассические подходы к парадоксу Карри, их важность заключается в философской неизящности, порожденной этими ограничениями. К примеру, один (формальный) вывод Рестола состоит в том, что некоторые из суждений, созданные естественным путем (т.е. в знакомой семантике мира), не будут иметь дизъюнкции в (заданном) неклассическом подходе. Философская сторона – и важная открытая задача – этого состоит в отсутствии очевидного объяснения, почему для этих классов суждений нет дизъюнкции. (Не стоит объяснять, что замечения о том, что наличие такого рода дизъюнкции привело бы к тривиальности через парадокс Карри, не достаточно.) В своей работе Филд (2008) отликается на точку зрения Рестола.
Указанные вопросы и открытые задачи относятся к различным неклассическим подходам к парадоксам, в отношении парадокса Карри они встают особенно остро. Не стоит забывать, однако, что такого рода задачи могут оставаться критическими и для тех, кто в основном занят классическими подходами к парадоксу. В конце концов, интерес может состоять не в принятии или в вере в неклассические заключения, а в использовании этих заключений для построения различных наивных нетривиальных теорий: наивной теории истинности, наивной теории множеств, теории семантических свойств, наивной теории семиозиса и др. Нет необходимости принимать или верить в эти теории, чтобы заинтересоваться аккуратным построением их моделей. Заинтересованным же в этом и адресованы вышеупомянутые задачи, возникшие из парадокса Карри. (См. Слони (Slaney, 1989) и классические работы Меира, Данна и Рутли (Meyer, Dunn, and Routley 1979), а также Рестола (Restall 2000) для более глубокого рассмотрения вопроса.)




1   2   3   4   5

Похожие:

Парадокс Карри iconЕщё один "парадокс" в существующей трактовке сто
Сто, "парадокс". И назовём его "парадокс с излучением". Причем, «притянуть сюда за уши» ото никак не удастся. Оба парадокса легко...
Парадокс Карри iconПарадокс об актёре
Дени Дидро. Парадокс об актёре. // С. С., т. V. Театр и драматургия. Вст ст и прим. Д. И. Гачева, пер. Р. И. Линцер, ред. Э. Л. Гуревич,...
Парадокс Карри iconСоциолингвистика
Герман Карри. Однако это не означает, что и наука о социальной обусловленности языка зародилась в начале 1950-х годов. Корни социолингвистики...
Парадокс Карри icon«Парадокс» (автор Якимова Г. А., учитель русского языка и литературы гимназии №1583)
Занятие 1 на тему: «Парадокс» (автор – Якимова Г. А., учитель русского языка и литературы гимназии №1583)
Парадокс Карри iconЗаметки об определении и природе математики1
«степени отдаленности» теории от приложений. Карри последовательно показывает, что формализм лучше всего подходит в качестве концепции...
Парадокс Карри iconКашмирская кухня Кухня Уттаракханда
Травы — это свежие листья или цветы, например, листья карри, кориандра и мяты, а также шафран — сушёные рыльца крокуса (crocus sativus)....
Парадокс Карри iconПарадокс Эллсберга
В другой закрытой непрозрачной урне У2 находится тоже 10 красных и черных шаров
Парадокс Карри iconПарадокс Эренфеста и радиальное электрическое поле в плазме токамака
Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и утс, 14 – 18 февраля 2011 г
Парадокс Карри iconПарадокс поддержки малого бизнеса: предварительные итоги кризиса
А. виленский, доктор экономических наук, профессор, главный научный сотрудник иэ ран
Парадокс Карри iconКонспект вступления
Аллахвердов В. М. Сознание как парадокс (Экспериментальная психологика, т. 1) – спб, «Издательство днк», 2000. – 528 с. (Новые идеи...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org