Парадокс Карри



Скачать 289.31 Kb.
страница4/5
Дата16.10.2012
Размер289.31 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5

Примечания



1. Если Tr(x) – заданный предикат истинности, и [A] – соответствующее имя A, то правило Освобождения позволяет переход от Tr([A]) к A для всех предложений A. (Правило Захвата позволяет действовать, соответственно, в противоположном направлении.) В так называемой наивной теории истинности могут существовать не только Освобождение и Захват в форме правил, но также могут существовать соответствующие двусторонние импликации, часто называемые Т-равнозначностями.
2. Можно подумать, что семантические свойства – это то же самое, что множества, и поэтому счесть НСС и НА одним и тем же. Одна из причин этого не делать исходит из парадокса Рассела (Russell's paradox). Есть смысл аксиоматически отделить парадокс Рассела от множеств, чтобы математики могли называть множествами что захотят. Если математики не требуют, чтобы множества (или, там, вещества, классы или чтотамувас) соответствовали каждому небессмысленному предикату, то пусть так оно и будет. С другой стороны, семантика кажется другой, когда не так легко расстаться с принципом вроде НСС. (Примечательно, что Гёдель (Gödel), не сомневаясь, провёл чёткую границу между множествами и семантическими свойствами, считая, что парадокс Рассела применим к последним, но не к первым. См. Предисловие в (Myhill, 1975)).
3. В ином подходе, защищаемый в сравнительно новой работе Аланом Вэиром (Alan Weir, 2005), по сути отказываются от общей транзитивности следования (или валидности). (Его подход отказывается от так называемого правила Отрезания (Cut rule).) Подход Вэира не принадлежит ни к лагерю параполного, ни паранепротиворечивого. (Замечание автора: я надеюсь добавить обсуждение подхода Вэира в будущие редакции этой статьи.)
4. Континиум-значное условное высказывание Лукасевича (Lukasiewicz) подходит в указанном смысле и имеет привлекательное достоинство знакомого оператора значений («истинно-функциональный» в знакомом смысле). Как показал Рестол (Restall, 1992) и в более общем случае П.Хаек и др. (P. Hajek et al., 2000), это условное высказывание порождает омега-противоречивость арифметики Пеано (Peano). Получается, сторонники и паранепротиворечивых и параполных теорий истинности уже посмотрели везде, где только можно.
5. Усиленные такие логики могут быть построены с помощью тринарных отношений, знакомых по работам по релевантным логикам, благодаря Рутли и Мэиру (Routley and Meyer, 1973), Присту и Силвану (Priest and Sylvan, 1992), а также Рестолу (Restall, 1993).
Для («прозрачной») теории истинности, использующую такую логику, смотри Била (Beall, готовится к печати). [NB: Логики, обсуждаемые Рестолом (Restall, 1993) слишком сильны для нужд теории истинности, они не дают необходимое условное высказывание - из них выводятся порождающие парадокс Карри сокращения.]
6. Я должен отметить, что работа Филда берёт своё начало в работах, опубликаванных около 2000 года. Вместо ссылки на каждую работу в отдельности, я выделяю основную его работу в этом направлении (viz., 2008), которая ссылается на ранние работы и представляет всю конструкцию. Моя задача в этой статье состоит не в представлении полностью всей философской стороны и всех затронутых Филдом (2008) теорий, а в том, чтобы привести набросок одной из точек зрения на найденное им условное высказывание. И ещё раз, смотри работу Филда (2008) для всех подробностей.
7. Честно говоря, есть что-то странное в предложении Приста (Priest, 1992). В отличие от Филда (и, соответственно, Била (Beall)), Прист рассуждает о данном (подходящем) условном высказывании как о следствии (entailment), соединительном слове, предлагает Прист, которое должно выражать законы логики. Но это, как отметил Колин Каре (Colin Caret) в личной беседе, кажется неправильным взглядом на происходящее. В частности, в семантике Приста (в любом из вышеописанных или в даже более закрученных подходах) выполняется Modus Ponens в форме правила, но в ней (как и должно, согласно Карри) не выполняется то, что Ристол называет pseudo modus ponens, а точнее
A & (A → B) → B
Но тогда искомое условное высказывание не выражает данного «закона», касающегося истинности Modus Ponens. Таким образом, предложение Приста кажется сомнительным. Но я оставляю это на будущее.

Примечания переводчика





  1. Парадокс Рассела. Парадокс Рассела формулируется следующим образом: «Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.»

По-другому ему можно сформулировать так: «Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?»

Этот парадокс был впервые найден Бертраном Расселом в 1901, а через некоторое время переоткрыт Эрнстом Цермело. Открытие парадокса связано с работами Георга Кантора по формализации оснований математики и началом построения теории множеств.


  1. Наивная теория истинности и Т-схема (англ. «T-schema»). Теория истинности занимается вопросом о том, что значит, что утверждение истинно. Наивная теория истинности оставляет понятие истинности неопределённым, считая его известным на общечеловеческом уровне каждому (как и понятие множества в наивной теории множеств, см. ниже). Т-схема была предложена Альфредом Тарским, как формальное определение истинности утверждения. Т-схема – это рекурсивное определение истинности, согласно которому истинность составного утверждения определяется истинностью его компонент. Атомарные утверждения считаются истинными безотносительно, то есть, к примеру, утверждение «Снег белый» истинно только и только если снег действительно белый. Правила вывода истинности или ложности составного предложения выглядят следующим образом:

  • Утверждение вида «А и Б» истинно тогда и только тогда, когда А истинно и Б истинно.

  • Утверждение вида «А или Б» истинно тогда и только тогда, когда А истинно или Б истинно.

  • Утверждение вида «если А, то Б» истинно, если, и только если, А ложно или Б истинно.

  • Утверждение вида «не А» истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

  • Утверждение вида «для всех х А(х)» истинно тогда и только тогда, когда для каждого возможного значения х А(х) истинно.

  • Утверждение вида «для некоторого х А(х)» истинно тогда и только тогда, когда существует такое значение х, что А(х) истинно.

В рамках наивной теории истинности на Т-схему не накладывается дополнительных ограничений, что приводит к парадоксам, один из которых – парадокс Карри.


  1. Наивная теория множеств и неограниченная аксиома абстракции. Слово «наивная» обычно используются в противопоставлении слову «аксиоматический». Это значит, что ведя обсуждение в рамках наивной теории множеств, само понятие множества не требует строгого определения, также как и основные операции над множествами: и, или, если...то, не, для некоторых, для каждого. Теория строится, исходя из предположения о том, что множества и операции над ними на общечеловеческом уровне понятны каждому. Такой подход обычно полезен на начальных этапах работы с множествами, чтобы, так сказать, «набить руку», и вскорости приводит к пониманию необходимости формализации теории множеств. Отсутствие строгих определений и использование операций над множествами без каких-либо ограничений ведёт к таким парадоксам, как, например, парадоксы Карри и Рассела. Наивная теория множеств была создана Георгом Кантором в конце XIX века и была первой из теорий множеств. В 1960-х вышла книга Пола Халмоша «Наивная теория множеств», в которой на доступном уровне объясняюся различные подходы к понятию множества.


Аксиома абстракции звучит так: пусть дано некоторое свойство P (через P(x) обозначим истинность P на элементе x), тогда существует множество, чьи элементы это все элементы, обладающие свойством P, и только они. Её можно также записать следующим образом: (y)(x)(xy  P(x)). В своём неограниченном варианте, то есть без ввода дополнительных на неё ограничений, аксиома абстракции приводит, например, к парадоксу Расселу.


  1. Неограниченная аксиома схемы выделения. Эта аксиома звучит так: существует множество B, элементы которого это в точности объекты, удовлетворяющию предикату P. К сожалению, эта аксиома немедленно ведёт к парадоксу Рассела: достаточно в качестве предиката P(x) взять ¬x∈x. По этой причине, указанная аксиома не может быть использована ни в одной аксиоматизации теории множеств, по крайней мере, в рамках классической логики. Эта аксоима использовалась на заре наивной теории множеств, когда строгая формализация не была острой необходомостью.




  1. Паранепротиворечивая и параполные логики. Паранепротиворечивая логика – это логика, не позволяющая выводить из противоречия произвольное утверждение. Это позволяет в некотором смысле спасти теорию от разрушения в случае появления в ней парадоксального высказывания. Впервые паранепротиворечивая логика была представлена польским логиком С. Яськовским.


Интуиционистская логика позволяет высказыванию A∨¬A не обязательно быть эквивалентым истине, в то время как паранепротиворечивая логика позволяет высказыванию вида A∧¬A не обязательно быть эквивалентным лжи. По этой причине можно было бы назвать паранепротиворечивую логику «двойственной» к интуиционисткой, но это не совсем верно, так как, в то время, как интуиционисткая логика – это вполне конкретная логическая система, паранепротиворечивая логика охватывает собой целый большой класс систем. Поэтому двойственной к паранепротиворечивой называют параполную логику, а логику,двойственную к интуиционисткой, в свою очередь называют анти-интуционисткой.


  1. Релевантная логика. Основополагающей работой по релевантной логике принято считать статью русского философа И.Е.Орлова «Исчисление совместности предложений», опубликованную в 1928 году в Математическом Сборнике. Слово «релевантный» происходит от английского «relevant» - сушественный, важный, и согласно названию, в данной логике пытаются выделить уместные логические принципы, исключив, в частности, парадоксы импликации, свойственные многим классическим теориям. Объясняется это тем, что большинство парадоксов импликации порождается строго математическим взгядом на понятия следование, далёкого от общечеловеческого – «Если...то...» . В качестве иллюстрации можно привести высказывание «Луна сделана из зеленого сыра. Поэтому в Эквадоре сейчас идет дождь или не идет», верное в классической логике, но при этом посылка которого не имеет ничего общего с заключением. Приверженцы релевантной логики пытаются построить логические системы, в которых подобного рода высказывания опровергаются.


1   2   3   4   5

Похожие:

Парадокс Карри iconЕщё один "парадокс" в существующей трактовке сто
Сто, "парадокс". И назовём его "парадокс с излучением". Причем, «притянуть сюда за уши» ото никак не удастся. Оба парадокса легко...
Парадокс Карри iconПарадокс об актёре
Дени Дидро. Парадокс об актёре. // С. С., т. V. Театр и драматургия. Вст ст и прим. Д. И. Гачева, пер. Р. И. Линцер, ред. Э. Л. Гуревич,...
Парадокс Карри iconСоциолингвистика
Герман Карри. Однако это не означает, что и наука о социальной обусловленности языка зародилась в начале 1950-х годов. Корни социолингвистики...
Парадокс Карри icon«Парадокс» (автор Якимова Г. А., учитель русского языка и литературы гимназии №1583)
Занятие 1 на тему: «Парадокс» (автор – Якимова Г. А., учитель русского языка и литературы гимназии №1583)
Парадокс Карри iconЗаметки об определении и природе математики1
«степени отдаленности» теории от приложений. Карри последовательно показывает, что формализм лучше всего подходит в качестве концепции...
Парадокс Карри iconКашмирская кухня Кухня Уттаракханда
Травы — это свежие листья или цветы, например, листья карри, кориандра и мяты, а также шафран — сушёные рыльца крокуса (crocus sativus)....
Парадокс Карри iconПарадокс Эллсберга
В другой закрытой непрозрачной урне У2 находится тоже 10 красных и черных шаров
Парадокс Карри iconПарадокс Эренфеста и радиальное электрическое поле в плазме токамака
Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и утс, 14 – 18 февраля 2011 г
Парадокс Карри iconПарадокс поддержки малого бизнеса: предварительные итоги кризиса
А. виленский, доктор экономических наук, профессор, главный научный сотрудник иэ ран
Парадокс Карри iconКонспект вступления
Аллахвердов В. М. Сознание как парадокс (Экспериментальная психологика, т. 1) – спб, «Издательство днк», 2000. – 528 с. (Новые идеи...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org