Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике



Скачать 111.04 Kb.
Дата16.12.2012
Размер111.04 Kb.
ТипСборник
МОУ Еланская средняя общеобразовательная школа


Справочное пособие

для подготовки к ГИА по математике

по теме

«Линейная функция и её график»


Исполнитель: учитель

математики Зубарева В.А.,

I категория


с. Елань, 2011



Целью данной работы является обобщение материала по теме «Линейная функция и её график», что поможет учащимся 9 класса быстро повторить данную тему и использовать сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике.
1. Из истории линейной функции.

Более чем за 100 лет до нашей эры греческий учёный Гиппарх предложил провести на карте Земли параллели и меридианы. Таким образом, возникли хорошо всем известные Географические координаты: широта и долгота, которые обозначаются цифрами. В 14 веке французский учёный Оресле по аналогии с географическими координатами создал координатную плоскость. Он поместил на плоскость прямоугольную сетку и назвал широтой и долготой то, что сейчас мы называем абcциссой и ординатой. Термины абcцисса и ордината были введены в употребление Лейбницем в 17 веке. Однако основная роль в создании метода координат принадлежит французскому учёному Рене Декарту. Трудно переоценить значение декартовой системы координат для развития математики и её приложений.

Рене Декарт родился 21 марта 1596 года в маленьком городке Ла-Гэ в Турени. Род Декартов принадлежал к незнатному чиновному дворянству. Детство Рене провел в Турени, славившейся садами, плодородием и мягкостью климата. В 1612 году Декарт закончил школу. Он провел в ней восемь с половиной лет.

Весной 1613 года Рене отправился в Париж, где познакомился с ученым францисканским монахом Мерсенном.

Он попал в компанию “золотой молодежи”, вел рассеянную жизнь и увлекся карточной игрой. Светские приятели Декарта, однако, жестоко ошибались, если считали его одним из них. После полутора лет рассеянной жизни в юноше вдруг произошел перелом. Тайком от своих друзей и парижских родных он перебрался в уединенный домик в Сен-Жерменском предместье, заперся здесь со своими слугами и погрузился в изучение математики. В этом добровольном заточении Декарт провел около двух лет.

Не подлежит сомнению, что чудесным открытием, о котором говорит здесь Декарт, было открытие основ аналитической геометрии. Сущность аналитической геометрии состоит в приложении алгебры к геометрии и обратно – геометрии к алгебре. Всякая кривая может быть выражена уравнением между двумя переменными величинами, и обратно – всякое уравнение с двумя переменными может быть выражено кривой.
Это открытие имело громадное значение не только для математики, в истории которой оно составило эпоху, но и для естественных наук, и вообще, для расширяющегося круга знаний, имеющих дело с точными величинами – числом, мерой и весом.

Главная заслуга Декарта заключается в том, что он создал аналитическую геометрию, в которой геометрические задачи переводятся на алгебраический язык методом координат. Кроме того, Декарт предложил неизвестные обозначать латинскими буквами x,y,z; коэффициенты – буквами a,b,c; степени – в виде x2, y3, a7 и т.д.
2. Теоретический материал.

О функциях говорят не только в теоретических дисциплинах. Без них не обойтись ни финансисту, ни социологу, ни даже просто читателю газет - в любой газете можно встретить диаграмму или график, и любой человек должен уметь их понимать без излишней траты умственных сил.

Понятие функции - это очень общее понятие, с которым мы встречаемся на каждом шагу, не всегда даже отдавая себе в этом отчет. Например: каждому многоугольнику поставим в соответствие число, равное его площади; каждому слову русского языка поставим в соответствие его первую букву; каждому человеку поставим в соответствие его группу крови.

Нас окружает множество изменяющихся величин. Изменяется скорость движущихся автомашин и летящих самолетов, меняется высота солнца над горизонтом и положение планет на их орбите, изменяется температура воздуха, сила ветра, величина атмосферного давления и многое другое. Многообразие меняющихся величин очень велико. Некоторые из этих величин тесно связаны между собой. В дальнейшем будем изучать только такие переменные величины, между которыми существует зависимости, позволяющие определить единственное из них, как только станут известны значения остальных .
2.1. Определение функции.

Если каждому элементу х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят что на этом множестве определена

функция у(х),

где х называется независимая переменная или аргумент,

у – зависимая переменная или функция.

Примеры:

1) Пусть множество Х – пассажиры автобуса, множество У- места в автобусе. В автобусе едут мама, папа, ребёнок, дядя, тётя. Каждому пассажиру соответствует одно место, значит – это функция


2) Два пассажира(мать с ребёнком) занимают одно место, но всё равно каждому пассажиру соответствует одно место, значит – это функция


3) «Крутой дядя» занял два места – это соответствие не является функцией.


2.2 Основные понятия.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.



Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.


Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.


2.3. Определение линейной функции.

Функция вида у = kx + b, где k и b – заданные числа, называется линейной.

Где х называется независимая переменная или аргумент,

у – зависимая переменная или функция.




2.4. Построение графика линейной функции:

Графиком линейной функции является прямая, для её построения достаточно знать координаты двух точек, принадлежащих графику функции.




Например, для построения графика функции

у = -1,5х + 2 найдём координаты двух точек.

Если х = 0, то у = = 2, получаем (0; 2).

Если х = 2, то у = = -1, получаем (2; -1).

Построим точки (0; 2) и (2; -1) на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Эта прямая и является графиком функции

у = -1,5х + 2.

2.5. Прямая пропорциональная зависимость.

Если в функции у = kx + b, b = 0, то получаем функцию у = kx, которую называют прямой пропорциональной зависимостью, графиком является прямая, проходящая через начало координат.

График функции у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на b единиц вдоль оси ординат.




2.6. Свойства функции

1) Область определения функции – все действительные числа.

2) Если в функции у = kx + b

k > 0, то функция является возрастающей на всей числовой оси,

k < 0, то функция является убывающей на всей числовой оси.

3) Если k = 0, то функция имеет вид у = b, её графиком является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).

4) Если х = а, то графиком является прямая, параллельная

оси ординат и проходящая через точку с координатами (а; 0)

5) Функции вида у = k 1x + b, у = k 2x + b, у = k 3x + b пересекаются в точке (0; b)







2.7. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Пусть даны две линейные функции у = k1х + b1 и у = k2 х + b2, тогда если:

k1 ≠ k2, то графики имеют одну общую точку, т.е. пересекаются;

k1 = k2, b1 ≠ b2, то графики не имеют общих точек, т.е. параллельны;

k1 = k2, b1 = b2, графики имеют бесконечно много общих точек, т.е. совпадают.


2.8. Точки пересечения с осями координат.

Найти точки пересечения графика функции у = kx + b с осями координат.

С осью ординат: у этой точки известна абсцисса, она равна нулю, т.е. х = 0 подставляем в формулу функции, и находим соответствующее значение у.

С осью абсцисс: у этой точки известна ордината, она равна нулю, т.е у = 0 подставляем в формулу функции, и решив соответствующее уравнение находим

значение х.

Пример: Найти координаты точки пересечения графика у = 3х + 4 с осями координат:

С осью Ох: у = 0, 0 = 3х + 4, 3х = -4, х = , получаем точку (; 0).

С осью Оу: х = 0, у = 3•0 + 4 = 4, у = 4, получаем точку (0; 4).

2.9. Прохождение графика функции через точку.

Для того чтобы проверить проходит график функции через заданную точку( точка лежит на графике функции) необходимо её координаты соответственно подставить в формулу, задающую функцию.

Если данное равенство будет верным, значит график функции проходит через точку(точка лежит на графике функции).

Если данное равенство будет неверным, значит график функции не проходит через точку(точка не лежит на графике функции).

Пример: Дана функция y=-0,5x+1. Выясните, какие точки принадлежат графику этой функции: A(-1;0), E(-2;2).

A(-1;0), значит х = -1, у = 0, тогда 0 = -0,5•(-1) + 1, 0 = 0,5 +1, 0 = 1,5(неверно), значит точка A(-1;0) не принадлежит графику функции.

E(-2;2), значит х = -2, у = 2, тогда 2 = -0,5•(-2) + 1, 2 = 2(верно), значит точка

E(-2;2)лежит на графике функции.

2.10. Нахождение координат точек пересечения графиков линейных функций

Для нахождения координат точек пересечения графиков линейных функции

у = k1х + b1 и у = k2 х + b2, надо решить соответствующее уравнение k1х + b1= k2 х + b2, тогда найдём значение х. Подставив найденное значение х в любую функцию, находим значение у.

Пример: найти координаты точек пересечения графиков линейных функций

у = -2х +7 и у = 0,5х – 5,5.

Решаем уравнение -2х +7 = 0,5х – 5,5, -2х -0,5х = -5,5 – 7, -2,5х = -12,5,

х = -12,5:(-2,5) = 5. подставим х = 5 в формулу у = -2х +7, у = -2•5 + 7 = -10 + 7 = -3.

Координаты точки пересечения графиков линейных функций (5; -3)





3. Задания для самостоятельного решения(подготовка к ГИА по математике)


3.1. Дана функция . Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?

у у




1




0 х х

0

а) б)

у у



1 1

х х

-1,5 0 - 2 0

в) г)

у

3.2. Дан график функции .

Подберите формулу, задающую

эту функцию.

-0,5 0 х

а)

б)

в) -1

г)
3.3 Среди формул укажите те, которые задают линейную функцию

а) y = 12x - 10; б) y = 4 - 0,5x; в) y = 15x; г) y = x(1-x); д) y =x

1. в,г,д 2. б,г,д 3. а,б,в 4. а,б,
3.4. Какова формула линейной функции, график которой проходит через точку

А (1;2), В (-1;-2)?

1. y = 2х; 2. y = -2х; 3. y = -0,5х; 4. нет правильного ответа

3.5. Не, выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций: у = 3х + 2 и у = 2х –3

1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают; 4) нельзя определить.

3.6. В какой четверти находится точка пересечения прямых 2х – 3у = 1 и 3х + у = 7?

1) в I; 2) во II; 3) в III; 4) в IV.

3.7. Вычислите координаты точки А



3.8. На координатной плоскости отмечены точки P и Q. Какое уравнение задаёт прямую, проходящую через эти точки?

1) х +у = 16;

2) х + у = 26;

3) х – у = 4;

4) х – у = 5.

3.9. Используя рисунок, составьте систему двух уравнений с двумя переменными, решением которой является пара (1; 4).



3.10. Какая функция является возрастающей?



3.11. На каком рисунке изображён график функции ?


3.12. Для каждого графика функции укажите соответствующую ему формулу.




3.13 На рисунке изображен график функции у = kx + b. Определите знаки k и b.

1) k > 0, b > 0;

2) k > 0, b < 0;

3) k < 0, b > 0;

4) k < 0, b < 0/

3.14. Соотнесите рисунок, изображающий график функции у = kx + b, с одним из условий:

1) k < 0; b = 0; 2) k > 0, b > 0; 3) k =0, b > 0



3.15. По графику функции найдите все значения х, при которых значения функции положительны.



3.16. Каждую прямую, построенную на координатной плоскости, соотнесите с её уравнением.

1) х = -1; 2) у = х; 3) у = - х; 4) у = -3.



3.17. Прямая l задаётся уравнением х – у = 2. Установите соответствие между уравнениями прямых и утверждениями.

А) 2х – 3у = 2 1) прямая имеет бесконечное число общих точек с прямой l

Б) 2х – 2у = -4 2) прямая имеет одну общую точку с прямой l

В) –х + у = -2 3) прямая не имеет общих точек с прямой l.

2 часть
3.18. Постройте график функции у= 6 -  х .При каких значениях аргумента выполняется неравенство 0≤у≤2?
3.19. Точки А(1; 2) и В(1; 3) являются концами отрезка АВ. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая у = kx + 1 пересекает отрезок АВ?
3.20. Прямая проходит через точку А(2,5; 1). Угловой коэффициент этой прямой равен -0,4. Запишите уравнение этой прямой и найдите координаты точки, в которой она пересекает ось .



3.21. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой и проходящей через точку С(7; -2,5).



3.22. Прямая пересекает ось в точке (21; 0), а ось в точке (0; 7). Запишите уравнение этой прямой. Проходит ли эта прямая через точку (-42; -12)?



3.23. Прямые , и , попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите координаты вершин этого треугольника.
3.24. Выясните, проходят ли прямые , и через одну точку.


3.25. Постройте график функции . При каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения?

3.26. Постройте график функции . При каких значения выполняется неравенство ?
3.27. Постройте график функции и укажите промежуток на котором функция возрастает.


3.28. Выясните, лежат ли на одной прямой точки А(12; 3), В(14; 7), С(-5; -11)

3.29. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5; -6) и В(-5; а) пересекает прямую 2х – у = -3?

Похожие:

Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconТесты по русскому языку 8 Структура абитуриентского теста по математике 36
Сборник предназначен для самостоятельной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений к итоговой аттестации и к вступительным...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике icon4 Материалы, для подготовки и проведения экзамена
Требования к итоговой аттестации, если они предусмотрены по дисциплине, определяются требованиями к итоговой аттестации, установленными...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике icon4. Вопросы для подготовки к экзамену, дифференцированному зачёту
Требования к итоговой аттестации, если они предусмотрены по дисциплине, определяются требованиями к итоговой аттестации, установленными...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconВопросы для подготовки к экзамену
Требования к итоговой аттестации, если они предусмотрены по дисциплине, определяются требованиями к итоговой аттестации, установленными...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconУчебно-методическое пособие для подготовки к итоговой аттестации/ Под ред. Н. А. Сениной. Ростов н\Д: Легион, 2008
Сенина Н. А., Гармаш С. В., Диденко С. А., Кобякова Г. Н. Русский язык. 9-й класс. Подготовка к итоговой аттестации-2009: учебно-методическое...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconПрограмма итоговой государственной аттестации направление подготовки 050100 Педагогическое образование
Цель итоговой государственной аттестации определение соответствия уровня и качества подготовки выпускника требованиям федерального...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconКомплексная работа с текстом как путь подготовки к итоговой аттестации в IX классе
Т. М. Пахнова отмечает и те трудности, с которыми сталкиваются учителя и учащиеся при подготовке к итоговой аттестации в IX классе....
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconПрограмма итоговой государственной аттестации по направлению «История», магистерской программе
Программа итоговой государственной аттестации магистров (игам) составлена в соответствии с требованиями федерального и национально-регионального...
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconПеречень учебных пособий для подготовки к государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы, имеющих гриф
Сборник тестовых заданий для тематического и обобщающего контроля. Алгебра. 9 класс / Крайнева Л. Б., под редакцией Татура А. О....
Сборник для подготовки к итоговой аттестации по математике iconМатериалы для подготовки по теме «Лексика. Паронимы.»
Опыт подготовки выпускников к итоговой аттестации по русскому языку в формате егэ
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org