Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений



Скачать 329.19 Kb.
страница1/4
Дата09.07.2014
Размер329.19 Kb.
ТипАвтореферат
  1   2   3   4


На правах рукописи




Веселая Анастасия Александровна
ВЫЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ

ПРИ ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВЕ СОРТИРОВКИ

С ПРИЛОЖЕНИЕМ К МОДЕЛИРОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность:

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ


диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Таганрог 2009

Работа выполнена в ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт».

Научный руководитель:

доктор технических наук,

профессор Ромм Яков Евсеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Илюхин Александр Алексеевич
доктор технических наук,

доцент Боженюк Александр Витальевич

Ведущая организация:

ФГНУ НИИ «СПЕЦВУЗАВТОМАТИКА»




Защита состоится « 25 » февраля 2010 г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 24 » декабря 2009 г.

Просим Вас прислать отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью учреждения, по адресу: 347928, ГСП -17А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, диссертационный совет Д 212.208.22.



Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22,

доктор технических наук, профессор






Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы. Для решения задач численной оптимизации широко используется средства вычислительной техники, накоплен огромный фонд численных методов и программ. Однако существуют трудности компьютеризации, связанные с корректным определением одновременно всех локальных и глобальных экстремумов функций в области допустимых значений.
Трудности усугубляются в случае сложных топологических рельефов функций, сохраняются сложности, связанные с использованием производных на основе конечно-разностных приближений и выбором начальных приближений. Отсюда актуальна разработка компьютерного метода локализации и вычисления экстремумов функций, который осуществлял бы программную идентификацию области каждого экстремума и отличался ограничением роста погрешности при его вычислении. Разработка такого метода целесообразна для идентификации всех экстремумов произвольной алгебраической и трансцендентной функции от одной и более переменных при вариации параметров в произвольно фиксированной части области определения. Аналогично, актуально нахождение нулей функций при вариации параметров, в частности, нулей полиномов с переменными комплексными коэффициентами. Это требуется для оценки устойчивости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) по знаку действительных частей собственных значений матрицы коэффициентов. В этом контексте актуальна разработка программной локализации всех нулей полиномов и функций, при которой локализация эквивалентна вычислению каждого нуля с априори заданной границей погрешности. Это актуально для многих задач физики, механики, техники, при разработке практически каждой системы управления с обратной связью, включая моделирование синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и исследовании единого метода программной идентификации нулей и экстремумов функций при вариации параметров с приложением к анализу устойчивости систем линейных ОДУ с матрицей постоянных коэффициентов. Конструкция схем идентификации должна быть инвариантной относительно вида функции, ее топологических особенностей, а также числа переменных и числа параметров. При этом должна достигаться устойчивость работы схем и требуемая точность вычислений, схемы должны эффективно распараллеливаться. Аналогично, ставится задача локализации и вычисления нулей полиномов с переменными комплексными коэффициентами с учетом кратности в приложении к характеристическим полиномам матриц. На основе идентификации нулей характеристического полинома требуется дать решение проблемы компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать компьютерные схемы локализации и вычисления экстремумов функций одной и более переменных при вариации параметров в произвольной части области определения функции. Схемы должны отличаться построением на основе сортировки, автоматизмом программной идентификации одновременно всех экстремумов функций с априори заданной точностью.

2. Обеспечить обобщенность и высокую точность вычислений, а также инвариантность разрабатываемых схем идентификации экстремумов относительно вида функции при вариации параметров (как алгебраической, так и трансцендентной) и ее топологического рельефа в случае многомерной безусловной численной оптимизации.

3. Для случая функции одной комплексной переменной обеспечить программную локализацию одновременно всех минимумов модуля с точностью до наперед заданного значения радиуса окрестности и распространить метод на локализацию одновременно всех нулей полинома как минимумов его модуля для случая переменных комплексных коэффициентов. Синтезировать параллельные варианты данных схем и выполнить оценки их временной сложности.

4. Алгоритм локализации нулей полинома и его параллельное видоизменение применить для случая поиска собственных значений матрицы произвольного порядка, включая матрицу постоянных коэффициентов системы линейных ОДУ. На этой основе обеспечить компьютеризацию анализа устойчивости по Ляпунову линейной системы ОДУ как в случае асимптотической, так и неасимптотической устойчивости.

5. Разработать приложение компьютерного анализа устойчивости к системам управления с обратной связью и к анализу устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Выполнить программные и численные эксперименты по проверке достоверности искомого метода и его практической применимости.

6. Выполнить сравнение искомых результатов работы с известными методами численной безусловной оптимизации, вычисления нулей полиномов и анализа устойчивости систем линейных ОДУ.

Методы исследования опираются на численные методы оптимизации, на качественную теорию устойчивости, на теоретические основы информатики и теорию сложности параллельных вычислений.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается оценками временной сложности, а также результатами программного моделирования и численного эксперимента.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработаны схемы программной идентификации экстремумов функции при вариации параметров инвариантные относительно ее вида и ее топологического рельефа, которые применимы в случае многомерной безусловной численной оптимизации. Предложенные схемы отличаются от известных по построению, учетом вариации параметров, параллелизмом и тем, что реализуются в ограничениях общего характера на вид функции, идентифицируя одновременно все экстремумы в допустимой области с априори заданной границей абсолютной погрешности.

2. Предложен программный метод локализации на основе сортировки и приближенного вычисления всех нулей полиномов с переменными комплексными коэффициентами с учетом кратности. Метод отличается от известных по построению, параллелизмом и тем, что локализация каждого нуля алгоритмически и фактически означает его вычисление с априори заданной границей абсолютной погрешности.

3. Предложено видоизменение метода локализации нулей полинома на случай поиска одновременно всех собственных значений матрицы произвольного порядка, включая матрицу постоянных коэффициентов системы линейных ОДУ. Видоизменение отличается построением на основе сортировки и тем, что позволяет устойчиво определять кратность, а также знак действительной части каждого из собственных значений.

4. Синтезированы распараллеливаемые алгоритмы компьютерного анализа устойчивости линейной системы ОДУ с матрицей постоянных коэффициентов по нулям характеристического полинома, инвариантные относительно вида правой части системы. Отличие алгоритмов от известных заключается в способе построения и в том, что они позволяют программно определять характер устойчивости без преобразования правой части системы.

5. Доказаны теоремы об эквивалентности схем локализации на основе сортировки нулей и экстремумов функций одной и более переменных с их вычислением с наперед заданной границей абсолютной погрешности. Параллелизм локализации, оценки временной сложности максимально параллельных вариантов схем, включая приложения к анализу устойчивости систем линейных ОДУ, отличают схемы от известных.

6. Показана применимость компьютерных алгоритмов анализа устойчивости к системам управления с обратной связью, включая вариацию параметров и наличие трансцендентности. На этой основе выполнен компьютерный анализ устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Представлены программные и численные эксперименты, подтверждающие достоверность анализа устойчивости на основе предложенных алгоритмов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработаны схемы программной идентификации экстремумов функции при вариации параметров инвариантные относительно ее вида и ее топологического рельефа, которые применимы в случае многомерной безусловной численной оптимизации. Схемы обладают параллелизмом и реализуются с учетом вариации параметров, идентифицируя при этом одновременно все экстремумы в допустимой области с априори заданной границей абсолютной погрешности.

2. Предложен программный метод локализации на основе сортировки и приближенного вычисления всех нулей полиномов с переменными комплексными коэффициентами с учетом кратности. Метод обладает параллелизмом и тем, что локализация каждого нуля алгоритмически и фактически означает его вычисление с априори заданной границей абсолютной погрешности.

3. Предложено видоизменение метода локализации нулей полинома на случай поиска одновременно всех собственных значений матрицы произвольного порядка, включая матрицу постоянных коэффициентов системы линейных ОДУ. Видоизменение позволяет устойчиво определять кратность, а также знак действительной части каждого из собственных значений.

4. Синтезированы распараллеливаемые алгоритмы компьютерного анализа устойчивости линейной системы ОДУ с матрицей постоянных коэффициентов по нулям характеристического полинома, инвариантные относительно вида правой части системы. Алгоритмы позволяют программно определять характер устойчивости без преобразования правой части системы.

5. Доказаны теоремы об эквивалентности схем локализации на основе сортировки нулей и экстремумов функций одной и более переменных с их вычислением с наперед заданной границей абсолютной погрешности. Показан параллелизм локализации и даны оценки временной сложности максимально параллельных вариантов схем, включая приложения к анализу устойчивости систем линейных ОДУ.

6. Показана применимость компьютерных алгоритмов анализа устойчивости к системам управления с обратной связью, включая вариацию параметров и наличие трансцендентности, выполнен компьютерный анализ устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов и алгоритмов. Все предложенные методы ориентированы на компьютерную реализацию и актуальны для решения научно-технических задач в различных областях математического моделирования, связанных с практическими задачами теории управления. В частности, методы вычисления нулей полиномов применимы для механических моделей молекулярного синтеза; методы определения собственных значений матриц применимы для компьютерного анализа устойчивости систем управления с обратной связью, а также для компьютерного анализа устойчивости работы синхронных генераторов большой мощности.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы: в ОАО НКБ ВС для повышения точности и быстродействия определения положения объекта в системе цифровой обработки видеосигналов; для разработки схем компьютерного анализа и оценки параметров устойчивости систем автоматического управления; для оценки устойчивости управления пространственной ориентацией движущихся объектов; в госбюджетной НИР «Математические методы устойчивой параллельной обработки, поиска и распознавания», код ГРНТИ 28.23.15, регистрационный номер 01.2.00106436; в учебном процессе кафедры информационных систем Таганрогского государственного педагогического института в рамках курсов «Информатика», «Информационные технологии в математике», «Численные методы», «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Международной научно-технической конференции «ММА-2006» «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XII Международной научной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.); VI   Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (Пенза, МНИЦ ПГСХА, 2007 г.); Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» (Таганрог, ЮФУ, 2008 г.); IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Северо-Кавказкий ГТУ, ИПИ РАН, РИНХ, Кисловодск, 2008 г.); Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов» МАФП' 2008 (Таганрог, ТГПИ, 2008 г.); IV Международной научно-практической конференции «Методология и практика образовательных технологий в условиях модернизации образования» (Таганрог, ТГПИ, 2008 г.).

Публикации. По материалам работы опубликовано 13 печатных работ общим объемом около 12 печатных листов, в том числе 3 статьи в журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного раздела, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание изложено на 151 странице, включая список литературы из 89 наименований, список из 8 наименований содержится в приложении.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и характеризуется современное состояние проблем оптимизации. На основе обзора основных схем сортировки и методов оптимизации формулируются цель и задачи исследования; основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе излагаются компьютерные схемы применения устойчивой распараллеливаемой сортировки для локализации и вычисления одновременно всех экстремумов и нулей функции одной переменной при вариации нескольких параметров , где – независимая переменная, – вектор варьируемых параметров, в произвольной части области определения с априори заданной границей абсолютной погрешности. При этом ограничения на вид функции имеют общий характер, функция должна подаваться на вход метода в дискретизированном виде. Из дискретизированных на равномерной сетке значений функции формируется одномерный массив, к которому применяется сортировка. Рассматриваются разновидности сортировки слиянием с временной сложностью в параллельном варианте , параллельная сортировка подсчетом сложности . Сортировка должна сохранять порядок равных элементов и обладать взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов элементов. Для идентификации экстремумов к сортировке подключается условие локализации экстремальных элементов. В последовательности условный оператор локализует каждый минимум в окрестности произвольно заданного радиуса среди входных индексов отсортированных элементов при том ограничении, что радиус не превосходит половины наименьшего расстояния между точками соседних минимумов. Входные индексы на выходе сортировки располагаются в порядке отсортированных элементов , данный оператор можно представить циклическим соотношением , , означающим, что в -окрестности входного индекса нет индекса элемента отсортированного массива, который бы не превосходил элемент с входным индексом . Все локальные максимумы последовательности идентифицируются по условию , . Нули локализуются как минимумы модулей элементов при условии достаточной малости. Схема применяется к дискретизированной на равномерной сетке функции, вначале для вычисления нулей и экстремумов функции одной переменной при вариации параметров. Излагается схема локализации и вычисления экстремумов функции двух переменных, в которую вносятся изменения, – роль одной переменной играет независимая переменная, роль другой – варьируемый параметр. Шаг изменения независимой переменной на порядок меньше шага дискретизации варьируемого параметра для снижения временной сложности за счет уменьшения точности параметра. Затем излагается схема идентификации экстремумов функций трех и более переменных, на основе которой аналогичным способом выполняется безусловная численная оптимизация функции одной переменной сначала при вариации двух, затем трех параметров. Специфика дискретизации параметров аналогична предыдущему случаю. На этой основе осуществляется устойчивая программная идентификация экстремумов функции одной переменной при вариации произвольного числа параметров. Имеет место теорема.
  1   2   3   4

Похожие:

Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Основные понятия теории оду
Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconДисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 011800 «Радиофизика», преподается во 2 семестре
Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» направлено на ознакомление студентов с методами решения простейших дифференциальных...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Зайцевым В. А
Общие теоремы о системах линейных дифференциальных уравнений. Приводимые системы. Теория характеристических показателей А. М. Ляпунова....
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconСписок публикаций по кафедре дифференциальных уравнений 1998 год
Минюк, В. К. Бойко. О решении некоторых задач оптимального управления для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений//...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconОтчет о выполнении задания по теме "Системы линейных алгебраических уравнений"
Написать программу на языке matlab, реализующую заданный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. В качестве входных...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconУстойчивость Линейных систем в операторной форме
Для изучения устойчивости таких систем пространство устойчивых сигналов должно быть замкнуто относительно действия дифференциальных...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconЛекция 2 Одноканальная динамическая система
Прежде, чем перейти к изучению управления и управляемости, нам необходимо вспомнить основные правила построения решения линейных...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconНепрерывные (на основе обыкновенных дифференциальных уравнений для сосредоточенных моделей и дифференциальных уравнений в частных производных для пространственно-распределенных систем) дискретные
Основной акцент делается на построение принципиальных взаимодействий динамической системы ресурс – двувидовой лес – окружающая среда...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconИсследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного
Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых...
Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений. Схема единственного деления
Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org