Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»



страница1/12
Дата09.07.2014
Размер1.53 Mb.
ТипПрограмма
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» 2009-2013 гг., направление "Математика", мероприятие 1.2.1. Государственный контракт № П939. НГР: 1037739362550.
Научно-образовательный курс
«Приложения бесконечномерных алгебр Ли

к теории гидродинамической устойчивости»
О.В. Трошкин
С о д е р ж а н и е к у р с а
Л е к ц и я 1

Вводные замечания

Ч а с т ь 1. Элементы математической гидродинамики

§1. Геометрические элементы

1.1. Диорты, прямые произведения, дивекторы и свертки……………………. 9

1.2. Элементы объема и площади………………………………………………….. 13

1.3. Близкодействия и дальнодействия…………......…………………………….. 15

1.4. Динамические напряжения и напряжения деформаций ………………….. 16

1.5. Мощность напряжений и скорость диссипация…………………………….. 18

1.6. Неоднородность и анизотропия деформаций.....…………………………….. 20

Л е к ц и я 2

§2. Кинематические элементы

2.1. Конвективное ускорение частиц…………......……………………............….. 22

2.2. Производная элемента объема……………………………………………..….. 23

2.3. Скорость деформации элемента площади………………………………..….. 24

2.4. Производные конечных объемов и площадей …………………………..….. 27

Л е к ц и я 3

§3. Динамические элементы (8 заповедей гидродинамики)

3.1. Сохранение массы (от Даниила Бернулли) ……………………………..….. 29

3.2. Выталкивающая сила (от Архимеда и Эйлера) ………………………..….. 29

3.3. Сохранение энергии (от Майера, Джоуля и Гельмгольца)..…………..….. 30

3.4. Тепловые потери (от Фурье) ….................................……………....……..….. 31

3.5. Динамическая вязкость (от Ньютона и Навье) .....…………........……..….. 31

3.6. Давление молекул (от Паскаля и Торричелли) .....…………........……..….. 31

3.7. Поправка на сжимаемость (от Сен–Венана и Стокса) ……........….…..….. 32

3.8. Нормальные среды (от Менделеева и Клапейрона) ….……........……..….. 32

Л е к ц и я 4

Ч а с т ь 2. Классические законы сохранения

§4. Основные интегральные соотношения

4.1. Уравнение неразрывности ….................................……....………....……..….. 33

4.2. Уравнения импульсов ….........................................……....………....……..….. 34

4.3. Уравнение энергии …..............................................……....………....……..….. 35

4.4. Формула напряжений .............................................……....………....……..….. 35

4.5. Объемные силы и граничные потоки .................……....
………....……..….. 38


Л е к ц и я 5

§5. Дифференциальные уравнения среды

5.1. Законы сохранения для жидкой частицы ..........……....………....……..….. 40

5.2. Уравнения движения и теплопроводности ........……....………....……..….. 40

5.3. Энтропия идеального газа .....................................……....………....……..….. 43

5.4. Энстрофия несжимаемой жидкости ....................……....………....……..….. 44

Л е к ц и я 6

§6. Классические формы уравнений несжимаемой среды

6.1. Уравнения Навье ....................................................……....………....……..….. 46

6.2. Основные течения ..................................................……....………....……..….. 47

6.3. Форма Громеки–Лэмба .........................................……....…….…....……..….. 48

6.4. Форма Гельмгольца–Фридмана ..........................……....…….…....……..….. 48

6.5. Односвязные области течения ............................……....…….…....……..….. 49

Л е к ц и я 7

Ч а с т ь 3. Течения в периодическом слое

§7. Источники и потенциалы слоя

7.1. Зональные переменные и операции ...................……....…….…....……..….. 53

7.2. Первый признак среднего ....................................……....…….…....…......….. 54

7.3. Признак нуля ..........................................................……....…….…....….….….. 55

7.4. Второй признак среднего .....................................……....…….…....…......….. 56

7.5. Второй признак нуля ............................................……....…….…....……..….. 57

7.4. Оператор обратного источника .....................................……....…….…....…. 57

Л е к ц и я 8

§8. Abc–теорема о разложении

8.1. Векторный периодический слой ...................................……....…….…....…. 61

8.2. Структурные потенциалы и поля .................................……....…….…....…. 62

8.3. Лемма о составляющих источника ...............................……....…….…....…. 63

8.4. Abc–разложение ................................................................……....…….…....…. 64

Л е к ц и я 9

§9. Приложения abc–теоремы

9.1. Зональный критерий градиента ....................................……...…….…....…. 66

9.2. Т–форма уравнений Навье ................................................…....…….…....…. 68

Л е к ц и я 10

Ч а с т ь 4. Течения в периодическом канале

§10. Квазикомпактные алгебры

10.1. Оснащенные алгебры ...................................................……....…….…....…. 71

10.2. Признак компактности .................................................……....…….…....…. 72

10.3. Структура оснащенной алгебры ..............................……....…..….…....…. 72

10.4. Определение квазикомпактной алгебры ................……....…..….…....…. 74

Л е к ц и я 11

§11. Диссипативный волчок на квазикомпактной алгебре

11.1. Аксиомы диссипативного волчка ............................……....…..….…....…. 75

11.2. Инвариантность ядер главных моментов ..............……....…..….…....…. 78

11.3. Спектральная лемма ....................................................……....…….…....…. 79

11.4. Уравнение волчка ............................................................…….....….…....…. 82

11.5. Существование главных вращений ..............................…....…….…....…. 84

11.6. Устойчивость основного вращения ...............................…....…….…....…. 85

11.7. Единственность основного вращения ...........................…....…….…....…. 90

11.8. Лемма о мажоранте ..........................................................…….....….…....…. 91

Л е к ц и я 12

§12. Течения на торе и в кольце

12.1. Алгебра функций тока ....................................................…….....….…....…. 93

12.2. Волчок задачи Колмогорова ..........................................…….....….…....…. 95

12.3. Параметры и основное течение ....................................…….....….…....…. 95

12.4. Составляющие главных мод ........................................…….....….…....…. 97

12.5. Полнота системы главных мод .......................................…….....….…..... 100

12.6. Сравнение главных моментов ........................................…….....….…..... 101

12.7. Устойчивость основного течения ...................................…….....….…..... 103

Л е к ц и я 1
Вводные замечания
Как хорошо известно, основным объектом механики жидкости и газа (или, как она называется здесь по–старинному, гидродинамики) служит объем сплошной среды, переносимый и деформируемый течением при сохранении его массы, импульса и энергии, так называемый подвижный или жидкий объем.

Наблюдаемые масштабы движений и деформаций объемов простираются от нанометров (109 м, в жидком гелии) до гигаметров (109 м, в компактных объектах вселенной).

В подобных пограничных, или экстремальных режимах часто и сами законы движения нуждаются в необходимых уточнениях. Но при этом остается практически нетронутым их основное ядро – исходные положения, относящиеся к обычным воде и воздуху, которые осмысливаются вот уже на протяжении 23 веков с момента получения первого точного положения гидродинамики – закона о величине потери веса погруженного в жидкость тела.

Наличие измеряемой данным законом выталкивающей силы у сплошной среды, определяет гидродинамику как один из разделов физики (науки о силах). Рассмотрению основных геометрических, кинематических и динамических элементов этого раздела и посвящена первая часть лекций. Отметим три ее особенности.

Первая особенность. Если вектор – объект классической механики материальной точки, то для гидродинамики необходима уже пара векторов: сила и нормаль к малой площади в точке приложения силы. Так возникает удобный в обращении двойной вектор, или дивектор, на составляющие которого распространяются все необходимые операции векторного исчисления.

Вторая особенность. Нормаль определяется знакомым из анализа вектором площади. Этим вектором и измеряется деформация объема, ограниченного поверхностью, с ее элементом – вектором внешней нормали, длина которого равна элементу площади.

Переносимые траекториями точки объема, первоначально заполнявшего, скажем, координатный куб, за малое время смещают его и одновременно деформируют в тело, приближаемое параллелепипедом. Возникающая при этом локальная система отсчета из подвижных (лагранжевых) координат порождает новую геометрию, определяемую их метрикой (метрическими коэффициентами).

Подвижная геометрия согласована с неподвижной тем, что векторы, измеряемые в подвижной системе своими проекциями на координатные оси, как и следовало ожидать, не меняются, т.е. совпадают с их измерениям в неподвижной системе.

Чтобы измерить требуемое изменение вектора площади, происходящее за счет деформации объема, необходимо исключить, следовательно, его движение, как целого. Такое исключение совершается путем параллельного переноса (по траекториям) геометрии (метрики) из неподвижной системы в подвижную.

Так возникают относительные изменения осей, направляющих координатные площади, и вместе с ними – относительное изменение вектора площади , а также его скорость , ускорение и последующие производные. В итоге в ответ на действие через поверхность выталкивающей силы окружающей среды на жидкий объем им производится мгновенная реакция в виде вектора , определяемого рядом интегралов по поверхности

, из которых мы ограничиваемся только первыми двумя. Коэффициентом в первом интеграле оказывается динамическое давление среды, или ее молекулярное давление, с аддитивной поправкой на ее сжимаемость, которую еще предстоит определить. Коэффициентом во втором интеграле служит динамическая вязкость. Вычисление относительной производной вектора площади при этом приводит к вязким напряжениям.

Третья особенность. Традиционная поправка на сжимаемость в динамическом давлении отыскивается ниже физически понятным, но формально не очевидным требованием достижения минимума скорости диссипации механической энергии на однородных и изотропных деформациях невязкой среды.

Исходные положения сформулированы ниже в виде 8 аксиом, называемых заповедями гидродинамики. Заповеди связываются с наиболее близкими к ним именами основателей гидродинамики.

Вторая часть курса посвящена изложению формализующих исходные положения классических интегральных и дифференциальных законов сохранения для неподвижных объемов. Из основных физических характеристик при этом выделяются энтропия сжимаемого газа и энстрофия несжимаемой жидкости. Первой из них (вместе с исходными уравнениями для конечного объема) при этом завершается короткий экскурс в область газодинамических течений. Элементарный же анализ второй характеристики, иллюстрируемый известным опытом по измерению механического эквивалента тепла, приводит к естественному выводу: среда греет себя своими вихрями. Вопрос же о том, откуда берутся вихри, по существу и составляет предмет теории гидродинамической устойчивости.

С математической точки зрения, наиболее содержательный раздел этой теории относится к течениями вязкой несжимаемой жидкости, описываемым соленоидальными (безвивергентными) векторными полями. К этому разделу и примыкают оставшиеся две части курса.

Третья часть касается трехмерного периодического слоя несжимаемой среды, как области между параллельными плоскостями, где векторные поля периодичны по двум ортогональным продольным (или зональным) переменным и удовлетворяют тем или иным граничным условиям на оставшейся поперечной (или вертикальной) переменной. Если таковыми оказываются условия периодичности (включая производные компонент поля произвольного порядка), то возникает трехмерный тор (пространство, факторизованное по целочисленной решетке).

Однако наиболее интересны (с прикладной точки зрения) условия прилипания к твердым стенкам (плоскостям), к которому и относится большинство задач по гидродинамической устойчивости: сдвиговый слой (смещение одной из граничных плоскостей) и течения с заданными продольным падением давления или перемешивающей внешней силой (ротором поля ускорений внешних массовых сил).

В любом случае традиционное исключение давления из уравнений вихрем (ротором) поля ускорения в периодическом слое затрудняется неодносвязностью последнего (наличием по меньшей мере одной простой замкнутой кривой, не стягиваемой в точку в пределах данной области). Вторая часть посвящена в основном изложению альтернативной теории структурных потенциалов (не сводимых к контурным интегралам) и связанного с ними разложения произвольного поля периодического слоя (называемого ниже abc–разложением), дополняющего известные классические теоремы. Следствием нового разложения снова оказывается некоторая транспортная (исключающая давление) эквивалентная запись исходных уравнений движения, которой мы и ограничиваемся.

Заключительная четвертая часть курса относится к двумерному слою (отсутствие поперечной компоненты скорости и зависимости остальных переменных от соответствующей координаты). Здесь рассматриваются течения на торе (или периодической плоскости) или в топологическом кольце (или периодическом канале) с условиями прилипания на твердых стенках , при заданной перемешивающей силе в виде первой моды Фурье, направленной горизонтально и зависящей от одной вертикальной переменной.

Для тора эта задача привела некогда к неожиданному результату: в случае длины периодической ячейки, не превышающей ее высоты, т.е. при главном факторе ячейки, определяемым отношением длины к высоте, меньшем или равным 1, соответствующее основное (возмущаемое) течение глобально единственно и устойчиво, т.е. единственно и устойчиво при любой (сколь угодно малой) величине коэффициента внутреннего трения (кинематической вязкости).

Ниже этот результат переносится на канал. В этом случае допустимые значения главного фактора, обеспечивающие глобальные единственность и устойчивость основного течения, повышаются (могут несколько превосходить 1 за счет условий прилипания. Их точная верхняя грань определяется как отвечающая требованию минимальности соответствующего первого собственного числа, или главного момента диссипативного волчка на квазикомпактной алгебре, к которому и сводятся уравнение и граничные условия рассматриваемой задачи.

Квазикомпактная алгебра расширяет понятие компактной алгебры (инфинитезимальной составляющей классической непрерывной группы преобразований) на случай бесконечной размерности: требование сохранения величины смешанного произведения при циклической перестановке его сомножителей ослабляется здесь условием выполнения его на всюду плотном множестве гильбертова пространства алгебры для сомножителя, выводимого при перестановке за пределы коммутатора.

Несмотря на относительную простоту, такое расширение доставляет некоторую нетривиальную структуру алгебре с коммутатором и скалярным произведением. Эта структура существенно используется при построении теории диссипативного волчка, которая объединяет уравнение волчка и 11 аксиом, связывающих между собой его коммутатор и операторы инерции и диссипации (трения).

Следствием устанавливаемой общей теоремы о глобальной (не зависящей от трения) устойчивости вращения волчка вокруг наибольшей оси его эллипсоида инерции (равной обратной величине квадратного корня наименьшего главного момента) и оказываются два упомянутых выше результата для течений на торе и в кольце.

При всех стараниях автора сделать курс достаточно доступным, он вынужден признать, что предлагаемые лекции рассчитаны на подготовленного читателя, с необходимым уровнем знаний, приближаемым (с требуемой точностью) первыми двумя курсам мехмата или физфака МГУ или любого факультета МФТИ или МИФИ.

Лекции ориентированы в основном на молодых специалистов в области математической и вычислительной гидродинамики. Они рассматриваются как дополнение к классическим курсам механики сплошных сред.

Ч а с т ь 1. Элементы математической гидродинамики
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconПрограмма «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»
Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» 2009-2013 гг., направление "Математика",...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconУведомление Претендента на подачу заявки от 17 февраля 2010 г
Фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы»
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» icon«информационно-телекоммуникационные системы и управление»
...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconУчреждение российской академии наук
Научно-образовательное пособие создано в результате проведения нир в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconУчреждение российской академии наук
Научно-образовательное пособие создано в результате проведения нир в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconИнформация о конкурсах Рособразования по фцп "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"
Мероприятие 2 Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconЦель пятого этапа исследования
Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий." федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconВторая половина XIX в. Работа выполнена в рамках фцп «Научные и научно-педагогические кадры в инновационной России»
Просветительская деятельность Владимирского приходского Богоявленского православного братства слободы Мстеры Вязниковского уезда
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconГосударственного контракта П1111 от 02 2010 г
Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий." федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические...
Программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» iconГ. С. Дьяконов ректор книту, профессор председатель
Научная школа проводится при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках федеральной целевой программы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org