Лекция Аксиоматика теории вероятностей



Скачать 132.79 Kb.
страница1/4
Дата11.10.2012
Размер132.79 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4

Лекция 3. Аксиоматика теории вероятностей


  • Сигма-алгебра событий

  • Вероятность как нормированная мера

  • О борелевской сигма-алгебре и мере Лебега

    • Борелевская сигма-алгебра на прямой

    • Мера Лебега


3.1. Сигма-алгебра событий


   Пусть  —  пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только  на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые  подмножества , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» . При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов ) снова давало событие (то есть элемент ).

Определение 10.

Множество , состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется -алгеброй событий,  или -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:

(A1)

    png" name="graphics14" align=bottom width=44 height=15 border=0>      (-алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)

     если , то      (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

(A3)

    если , то      (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)-(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент.  

 

Свойство 1.

        (-алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1), , но в силу (A2).     Q.D.E.

 

Свойство 2.

При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

(A4)

    если , то      (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4).

Если , то при всех по свойству (A2) выполнено . Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит , то есть . Но, в силу формул двойственности, , что и требовалось доказать.

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Q.D.E.

Свойство 3.

Если , то .

Доказательство.

 , так как , , и по (A4) их пересечение тоже принадлежит .

Q.D.E.

  Пример 11.

Пусть  —  пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются -алгебрами (доказать! ):

1.

   —  тривиальная -алгебра. 

2.

 .

3.

 , где  —  произвольное подмножество (в предыдущем примере ).

4.

   —  множество всех подмножеств .

Доказать, что если  состоит из  элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно  элементов.  

Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из снова дает множество из (не выводит за рамки этого класса). Множества мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию  ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру,  заданную на -алгебре подмножеств .


  1   2   3   4

Похожие:

Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЛекция Некоторые исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей
Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат,...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconВопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
Предмет теории вероятностей, два признака случайного явления, постулат теории вероятностей. Примеры построения пространств элементарных...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconРабочая учебная программа По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconА. В. Гончар Элементы теории вероятностей
Учебное пособие предназначено для студентов, преимущественно экономических специальностей, изучающих теорию вероятностей в рамках...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconТеория вероятностей
Предмет и методы теории вероятностей, ее основные этапы развития. Несколько современных задач. [3, Дополнение. “Очерк развития теории...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconКомбинаторика и элементы теории вероятностей
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconО злободневном значении теории вероятностей
Вряд ли нужно доказывать, какое значение для формирования мировоззрения имеет правильное понимание соотношения категорий случайности...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconПрограмма экзамена по теории вероятностей и математической статистике
Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Спб, издательство “Лань”
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconЛабораторная работа №6 Определение массы навески. Знакомство со статистическим анализом Элементы теории вероятностей
Попробуем разобраться с логическими основами методов статистического анализа. И начнем с элементов теории вероятностей, которая является...
Лекция Аксиоматика теории вероятностей iconА. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998
Методические указания предназначены для студентов-заочников, изучающих самостоятельно базовый курс теории теорию вероятностей, и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org