Лекция 10 Приложения определенного интеграла План



Скачать 41.97 Kb.
Дата11.10.2012
Размер41.97 Kb.
ТипЛекция
Лекция 10

Приложения определенного интеграла

План

  1. Вычисление площадей плоских фигур

  2. Вычисление длин дуг кривых

  3. Вычисление объемов тел вращения

  4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения

  1. Вычисление площадей плоских фигур.

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции , , отрезком оси абсцисс и отрезками прямых , , вычисляется по формуле

. (10.1)

Если функция конечное раз меняет знак на отрезке , то интеграл по всему отрезку на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где , и отрицателен там, где . Интеграл по всему отрезку даст разность площадей, лежащих выше и ниже оси. Для того, чтобы получить сумму площадей, необходимо найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл:

(10.2)

Пример 10.1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой , осью и прямыми .

2. Вычисление длин дуг плоских кривых.

Пgif" align=left hspace=6>усть дана плоская кривая (рис. 10.1), уравнение которой , , где — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Разобьем отрезок точками , на частей равной длины. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси ординат . Точки пересечения этих прямых с кривой обозначим через . Соединив эти точки хордами, получим ломаную , вписанную в кривую . Пусть периметр этой ломаной равен . Длиной дуги будем называть число , равное пределу последовательности периметров :



Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной . Точка с координатами и и точка с координатами и являются концами го звена ломаной. Длину го звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости:

. (10.3)

Учитывая, что непрерывная дифференцируемая функция на отрезке , по формуле Лагранжа имеем

, (10.4)
где — некоторая точка интервала . Подставив выражение (10.4) в формулу (10.3), получим:

, (10.5)
где . Значит, периметр ломаной равен следующей сумме:

.

Получили интегральную сумму для непрерывной функции на отрезке . Так как предел этой суммы при n → ∞ существует, то согласно определению находим

.

Таким образом,



3. Вычисление объемов тел вращения.

Р
ассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции , , осью абсцисс и отрезками прямых (рис. 10.2).

Р


азобьем отрезок точками на частей равной длины. На каждом из отрезков , выберем некоторую точку и составим интегральную сумму:

, (10.6)

где . Каждый член полученной суммы равен объему кругового цилиндра, а вся сумма равна объему соответствующего ступенчатого тела. Для непрерывной функции , предел интегральных сумм (10.6) при n→∞ существует и равен объему V рассматриваемого тела вращения:

.

4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения.

Найдем площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой АВ вокруг оси абсцисс. Пусть функция , непрерывно дифференцируема на отрезке . Через точки проведем прямые, параллельные оси ординат , а их точки пересечения с кривой обозначим через . Соединив эти точки хордами, получим ломаную . При ее вращении вокруг оси абсцисс получается поверхность, которая состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образованных вращением звеньев ломаной . Пусть площадь этой поверхности равна . Площадью поверхности тела вращения будем называть число , равное пределу последовательности площадей :

.

Площадь поверхности, описанной ломаной выразится следующим образом:

, (10.7)

где мы воспользовались формулой (10.5). Сумма (10.7) не является интегральной суммой для функции

, (10.8)

так как в слагаемом, соответствующем отрезку , фигурируют несколько точек этого отрезка, а именно , , . Однако можно доказать, что предел суммы (10.7) равен пределу интегральной суммы для функции (10.8), т. е.





Таким образом,

.




Похожие:

Лекция 10 Приложения определенного интеграла План icon13. Приложения определенного интеграла
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические к вычислению площадей и объёмов....
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconОсновные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconЛекция 18. Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих...
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconКонтрольная работа №2 I. Интегралы. Приложения определенного интеграла
Найти площадь
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconСвойства определенного интеграла
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconКурсовой проект студента 3 курса 3 группы "Допустить к защите"
Создание web-приложения для вычисления определенного интеграла по квадратурным формулам трапеций и парабол
Лекция 10 Приложения определенного интеграла План iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org