Закон движениЯ твердого тела



Скачать 121.98 Kb.
Дата11.10.2012
Размер121.98 Kb.
ТипЗакон



7. Закон движениЯ твердого тела.

1. Твердое тело - система бесконечно большого числа материальных точек , расположенных непрерывно в пространстве в каждом бесконечно малом объеме внутри замкнутой поверхности тела , расстояния между которыми

.

не изменяются со временем.

Вследствие этого последовательное определение координат одной через координаты других оставляет произвольными 3 координаты одной из них и 3 составляющих единичного вектора , направленного из последней в предыдущую.

Апекс - прямая, проходящая через остающуюся произвольной материальную точку твердого тела в направлении любой другой.

Закон движения твердого тела - зависимость от времени координат одной, произвольной, его материальной точки с радиус-вектором относительно ЛСО и трех углов ориентации апекса



т.е. - направляющих косинусов единичного вектора апекса. Координаты материальных точек твердого тела естественно определяются относительно системы отсчета , связанной с твердым телом.

Подвижная, сопутствующая система отсчета - система отсчета, в которой телом отсчета является само твердое тело. Начало отсчета - произвольная его материальная точка , координатные линии направлены в другие материальные точки, в частности - апекс. движется вместе с твердым телом.

Орты системы gif" name="object19" align=absmiddle width=21 height=20> различаются на составляющие по ортам ЛСО

.

Матрица поворота твердого тела - матрица составляющих - направляющих косинусов - единичных векторов подвижной системы отсчета относительно единичных векторов осей неподвижной ЛСО .


Рис. 7. Сопутствующая система отсчета.

.

Поступательное движение твердого тела - его движение без поворотов относительно ЛСО

.

когда траектории всех его материальных точек за каждый бесконечно малый промежуток времени параллельны.

Вращение твердого тела (чистое) - движение, в котором начало отсчета подвижной системы отсчета неподвижно, т.е. одна точка закреплена . В прямоугольных координатах

.

Ортогональность поворотов:



- есть система 9-ти уравнений относительно 9-ти неизвестных элементов матрицы поворотов , из которых три - при



содержит составляющие одного и того же единичного вектора и представляют собой тождества. Из остальных 6-ти определяются в направляющих косинусах через оставшиеся произвольными 3.

1-я Теорема Эйлера: закон движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку , - зависимость от времени трех независимых величин - - единичных векторов подвижных осей подвижной системы отсчета, скрепленной с твердым телом, или 3-х их направляющих косинусов относительно осей неподвижной ЛСО .

Рис. 8. Углы Эйлера

Углы Эйлера - частный выбор независимых углов поворота - .

1) Угол прецессии - отклонение оси узлов - прямой в плоскости ЛСО, проходящей через начало отсчета , от исходной оси координат ЛСО - пересечение неотклоненного и отклоненного диаметральных сечений координатной сферы.

Прецессия - изменение угла прецессии

.

2) Угол нутации - угол отклонения оси подвижной СО от оси ЛСО неподвижной вокруг оси узлов .

Нутация - изменение угла нутации . Матрица нутации

.

3) Угол собственного вращения: - угол поворота оси подвижной СО системы отсчета вместе с твердым телом от оси узлов вокруг повернутой на угол нутации оси .

Собственное вращение - изменение угла собственного вращения . Матрица собственного вращения



При



  1. Вращение твердого тела.

1) Вращение твердого тела - движение с одной закрепленной точкой - определяется поворотом осей координат подвижной, связанной с твердым телом, системы отсчета относительно ЛСО -

.

В обеих системах отсчета ЛСО и радиус-вектор одной материальной точки МТ твердого тела имеет разные составляющие ,

так что переход от к - поворот осей - равнозначен повороту этого радиус-вектора, т.е. твердого тела. Выражение координат повернутого вместе с ТТ радиус-вектора через исходные получается умножением этого равенства почленно на

и подстановка сюда разложения дает



- преобразование координат при повороте. При повороте величина радиус-векторов материальных точек твердого тела не меняется

согласно свойству ортогональности поворотов твердого тела.

Последовательность поворотов соответствует преобразованию координат к третьей системе отсчета



и определяется произведением матриц последовательных поворотов

.

Обратная последовательность поворотов неравнозначна первоначальной.

Обратный поворот - возвращение радиус-векторов в исходные положения представляется обратным преобразованием их координат



которое получается умножением почленно равенства радиус-векторов на



что возможно только, если выражение в круглых скобках .

А из условия (свойства) ортогональности та же величина равна

,

так что матричные элементы обратного поворота



равны матричным элементам транспонированной матрицы исходного поворота.

Если вектор



вследствие поворота не изменяется, т.е. имеет те же составляющие, то его формальное изменение



По условию этот вектор не изменяется, т.е. , то получается уравнение собственных векторов матрицы поворота

,

которые неизменны при поворотах и представляют собой оси вращения.

Это уравнение - частный случай общего уравнения для собственных векторов

,

которое имеет решение , если удовлетворяется характеристическое уравнение

,

являющееся кубическим уравнением относительно . Если его корни найдены , то представляется в виде



при за счет функция , при , , и кривая , по крайней мере, один раз пересекает ось абсцисс, т.е. всегда существует один вещественный корень, .

Модуль вектора



при повороте не изменяется, следовательно , .

Если , то уравнение оси вращения



показывает, что при повороте меняют знак. Это не поворот, а инверсия и получается

ВтораЯ теорема Эйлера: в твердом теле существуют направления (при одной закрепленной точке), которые не изменяются при поворотах и являются осями вращения, так что любое вращение есть последовательность не более 3-х () поворотов вокруг трех осей, определяемых тремя собственными значениями.

9. БесконеЧно малые повороты и угловаЯ скорость.

1. Бесконечно малый поворот твердого тела - при котором составляющие каждого радиус вектора каждой материальной точки и любого вектора , связанного с твердым телом, изменяется бесконечно мало. В частности

,

,

.

Последовательность бесконечно малых поворотов определяется произведением матриц этих поворотов



и поскольку

,

то матрица последовательных бесконечно малых поворотов не зависит от их порядка (в отличие, в противоположность конечным).

Из свойства ортогональности поворотов





следует, что матрица бесконечно малого поворота антисимметрична.

Для конечного поворота на угол она равна

,

а при ее дифференцировании , , и выделение единичной матрицы дает матрицу бесконечно малого поворота



Матрица бесконечно малого поворота антисимметрична и потому имеет только 3 отличных от нуля элемента

.

Вследствие этого поворота координаты радиус-вектора материальной точки твердого тела изменяются бесконечно мало

.

В компонентах по правилу умножения матриц, где - столбец

,

,

что представляет собой компоненты векторного произведения векторов и , так что приращение радиус-вектора материальной точки вследствие бесконечно малого поворота твердого тела есть векторное произведение радиус-вектора на вектор угла поворота . Поворот не изменяет модуля . Поворот твердого тела приводит к приращению любого другого вектора, связанного с ним.

При повороте приращения самого угла поворота



так что угол поворота вектора, связанного с твердым елом,

равен с обратным знаком углу поворота системы относительно , неподвижного в ЛСО

.

Точно так же любой вектор , связанный с твердым телом вследствие поворота получает приращение

.

В подвижной системе отсчета этот вектор, связанный с твердым телом мак же, как , неподвижен, , так что его приращение в ЛСО - только вращательное

.

Полная скорость изменения векторной величины складывается из скорости, возникающей независимо от вращения и скорости вращения системы отсчета относительно ЛСО

.

Угловая скорость твердого тела



есть скорость поворота радиус-вектора каждой материальной точки твердого тела, равная с обратным знаком скорости вращения подвижной системы отсчета СО .

Для вектора , связанного с твердым телом

.

10. Скорости материальных тоЧек твердого тела.

Закон движения твердого тела с одной неподвижной точкой

.

Согласно теореме Эйлера есть последовательность мгновенных вращений вокруг собственных осей, так что бесконечно малое время его материальные точки движутся по дугам окружности, а их радиус векторы поворачиваются на одинаковые углы

,

которые могут быть углами Эйлера, с угловой скоростью

,

разлагающейся на три независимые составляющие



- на угловые скорости Эйлера: - скорость вращения вокруг полярной оси с единичным вектором , - вокруг оси узлов с единичным вектором и - вокруг оси собственного вращения , которая, как правило, совпадает с осью высокой симметрии твердого тела.

Единичный вектор оси узлов - оси нутации – разлагается на составляющие вдоль осей ЛСО и

,

а единичный вектор подвижной оси - вдоль оси () нормальной оси узлов в плоскости ЛСО с единичным вектором - , повернутой от оси (-) на угол и вдоль оси исходной ЛСО. Его проекция как единичного вектора на равна , а направление

.

В свою очередь



и подстановка его в выражение дает

,

а подстановка в выражения всех единичных векторов в формулу угловой скорости ( )



дает:

Кинематические уравнения Эйлера: относительно неподвижной ЛСО и в подвижной СО ( меняются местами)

, .

Вращение твердого тела с одной закрепленной точкой вызывает перемещение каждой материальной точки твердого тела



со скоростью

.

Если закрепленная точка освобождается, то по закону сложения перемещений перемещения каждой материальной точки есть сумма перемещений произвольной точки твердого тела , принятой за начало отсчета неподвижных координат, , и перемещения за счет вращения.

Теорема Шаля:

.

В ней - радиус-вектор каждой точки твердого тела есть сумма ее радиус-вектора другой и постоянного вектора , который имеет продольную и нормальную составляющие относительно угловой скорости. , так что

.

Теорема абсолютности угловой скорости: вследствие перехода к новой подвижной СО смещение на любой постоянный вектор угловая скорость не меняется.

Поступательное движение (ТТ): в котором все движутся с одной скоростью точки на оси вращения, а ,

.

Существует , в которой твердое тело совершает чистое вращение в ЛСО движение ТТ – наложение 1) поступательного движения со скоростью , которое само имеет две компоненты – продольное вдоль и поперечное и 2) чистого вращения с .
11 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

11. Сложное движение материальной точки.

  1. Закон движения материальной точки относителен, т.е. различен относительно разных систем отсчета, в частности, разный в ЛСО и подвижной системе отсчета , движущейся поступательно и вращательно вместе с твердым телом отсчета

.

Согласно закону сложения перемещений материальная точка МТ имеет часть своего перемещения, совпадающего с перемещением некоторой материальной точки твердого тела отсчета , как будто она входит в состав тела отсчета и другую часть – перемещение относительно твердого тела отсчета подвижной системы отсчета .

Переносное движение материальной точки – составляющая ее движения, бесконечно малого перемещения в каждый бесконечно малый промежуток времени, совпадающая с движением материальной точки твердого тела отсчета, находящейся в том же месте, что и данная материальная точка, так, если бы тело отсчета не оказывало влияние на движение МТ. Переносное движение есть, следовательно, наложение поступательного и вращательного. .

Поступательное движение материальной точки - составляющая его движение (каждого бесконечно малого перемещения ), совпадающая с поступательным движением твердого тела отсчета со скоростью .

Вращательное движение материальной точки как часть переменного – составляющая движения (каждого ее бесконечно малого перемещения , совпадающая с вращательным движением некоторой материальной точки тела отсчета подвижной системы отсчета, связанной с этим телом).

Относительное движение материальной точки (МТ) – ее движение – составляющая каждого бесконечно малого перемещения относительно подвижной системы отсчета, связанной с твердым телом отсчета.

Абсолютное движение материальной точки – ее движение – каждое бесконечно малое перемещение относительно ЛСО , равное сумме всех

оставляющих

.

Абсолютная скорость – скорость относительно ЛСО

  • сумма скоростей поступательного, вращательного и относительного движения.

Абсолютное ускорение – ускорение материальной точки относительно ЛСО



  • сумма поступательного, относительного и вращательного ускорений.

Относительное ускорение – производная по времени относительной скорости – содержит составляющую собственного движения и составляющую, возникающую вследствие вращения системы отсчета вместе с телом отсчета

,

,

а также составляющую, определяемую угловым ускорением материальной точки

.

В частных случаях возможно

  1. в отсутствие относительного движения МТ ускорение переносное

.

В отсутствие углового ускорения полное ускорение



совпадает с центробежным ускорением. в отсутствие поступательного и относительного движения, когда движение – равномерное вращение , ускорение равно

.

Полное ускорение есть сумма центробежного и кориолисова.

Кориолисово ускорение



не возникает, если , так что возникает из-за изменения радиуса вращения при неизменной угловой скорости.

3) если , то полное ускорение



совпадает с относительным ускорением.

Похожие:

Закон движениЯ твердого тела iconНьютоновская механика
Скорость и ускорение точки твердого тела, их связь с угловой скоростью и угловым ускорением. Кинематика плоского движения твердого...
Закон движениЯ твердого тела iconЛекция 13 Движения твердого тела
Кинематика и динамика форм движений твердого тела. Вычисление моментов инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Сведение плоского движения...
Закон движениЯ твердого тела iconЗакон движения твердого тела
Твердое тело система бесконечно большого числа материальных точек, расположенных непрерывно в пространстве в каждом бесконечно малом...
Закон движениЯ твердого тела iconПростейшими видами движения абсолютно твердого тела являются поступательное и вращательное движения
Мгновенная скорость материальной точки при поступательном движении определяется, как Вектор скорости направлен по касательной к траектории...
Закон движениЯ твердого тела iconБилет №1 Кинематика точки. Проекция скорости и ускорения точки на оси сопровождающего трехгранника. Кинетическая энергия и момент количества движения твёрдого тела с неподвижной точкой. Билет №2
Кинетическая энергия и момент количества движения твёрдого тела с неподвижной точкой
Закон движениЯ твердого тела iconСеминар №10 геометрия масс твердого тела рисунок 1 Момент инерции твердого тела относительно оси
Эта симметрическая матрица определяет тензор инерции тела
Закон движениЯ твердого тела iconДинамика твердого тела Какие тела называют активными? Как сделать объект активным?
Они могут участвовать в столкновениях, например, располагаясь на пути движения активного тела, но не реагируют на них. Существует...
Закон движениЯ твердого тела icon1. 4 Кинематика вращательного движения твердого тела
Недаром, вторая техническая революция цивилизованного общества началась с изобретения человеком колеса. Без знания основных законов...
Закон движениЯ твердого тела iconПрограмма дисциплины «Физика твердого тела»
Цель курса изложить теоретические основы физики твердого тела с уклоном на физические свойства и процессы, протекающие в полупроводниковых...
Закон движениЯ твердого тела iconПрограмма : 20 Спектроскопия твердого тела Руководитель программы: проф д. ф м. н. Б. В. Новиков Кафедра физики твердого тела
Формирование упорядоченных массивов нитевидных нанокристаллов материалов aiiibv методами электронной литографии
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org