Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра



Скачать 135.79 Kb.
страница1/3
Дата09.07.2014
Размер135.79 Kb.
ТипПрограмма
  1   2   3
МОАИС 1 курс, 2 семестр.

Программа по аналитической геометрии и топологии.

Раздел I: Векторная алгебра.




Вектора, операции над ними, свойства операций.


Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек).

К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор - .

Произведение - ; , при этом коллинеарен . Вектор сонаправлен с вектором , если . Вектор противоположно направлен с вектором , если .
Свойства векторов:

1) = - коммутативность.

2) = .

3) .

4) gif" name="object17" align=absmiddle width=93 height=19>.

5) - ассоциативность

6) - дистрибутивность

7)

8)


Проекция вектора на ось и ее свойства.




Проекцией точки M на ось l называется точка P пересечения оси с прямой MP, перпендикулярной l.


Рассмотрим вектор и ось l, расположенные в одной плоскости.

Проекцией вектора на ось l называется величина вектора от проекции точки до проекции точки на ось l:

= , если направление совпадает с направлением l,

= , если направление противоположно направлению l.

Проекцию вектора на ось l обозначают .

Вектор называют составляющей вектора в направлении оси l. Поэтому можно сказать, что проекция вектора на ось - это величина его составляющей в направлении данной оси.

Линейно зависимые и независимые системы векторов на плоскости и в пространстве.


Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно , т.е. . Если же только при = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Понятие базиса, аффинной системы координат, координат точки.




Действия над векторами в координатах.


Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат и , тогда = ; = .

Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в координатах.


Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними .

Свойства скалярного произведения:

1) ;

2) , если или = 0 или = 0.

3) ;

4) ;

5) ;
Если рассматривать векторы и в декартовой прямоугольной системе координат, то ;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;

Векторное произведение векторов, его свойства, выражение в координатах.


Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где - угол между векторами и , ;

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если или = 0 или = 0;

3) ;

4) ;

5) Если заданы векторы и в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то ;

Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в координатах.


Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и . Обозначается .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2) ;

3) = = = = = ;

4) = ;

5)Если , и , то .

Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений.


Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Геометрическим смыслом смешанного произведения векторов является объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен .

Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов.


Векторы, лежащие на праллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они

пропорциональны, т.е. существует число такое, что .
Если угол между векторами равен , то векторы называются ортогональными.

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Векторы, лежащие в праллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными.

Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Двойное векторное произведение.


Пусть вектор умножается векторно на вектор , после чего полученный вектор умножается снова векторно на вектор . В результате получается так называемое двойное векторное произведение (ясно, что - вектор). Умножая вектор векторно на , получим двойное векторное произведение .

Вообще говоря, .

Докажем, что имеет место тождество

.
Доказательство. Введем декартову (прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору , ось Оу поместим в плоскости векторов и (считая, что векторы и приведены к общему началу).

В таком случае будем иметь , , .

Теперь находим , .

С другой стороны , , , .

Следовательно, .

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем , что и требовалось доказать.


  1   2   3

Похожие:

Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в координатах. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений,...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра icon2. Основы аналитической геометрии 1Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconПрограмма дисциплины «Основания геометрии»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconКонтрольная работа №1. Раздел «Векторная алгебра»
Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольные работы, тестирование, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиум)
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconУчебная программа Дисциплины б2 «Алгебра и геометрия» по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Дисциплины направлено на изучение разделов аналитической геометрии и высшей алгебры, необходимых для понимания других разделов математики...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconПрограмма наименование дисциплины Линейная алгебра
Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также...
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconСборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1986. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1970
Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів: Вища математика: Навч. Посібн К.: Нау,1997,1999
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра iconВопросы к экзамену по дифференциальной геометрии 4 семестр 2010 г. Векторная функция скалярного аргумента. Круговые векторные функции
Векторная функция двух скалярных аргументов. Понятие поверхности. Параметризация. Примеры
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org