Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости»



Скачать 107.05 Kb.
Дата09.07.2014
Размер107.05 Kb.
ТипНаучная работа


Городская ученическая научно-практическая конференция
«Поиск и творчество»
2007-2008
Секция математики

Научная работа

по теме : « Параболические координаты на плоскости »




Работу выполнила: учащаяся гимназии № 32,

9 «А» класса Белова Дарья

Научный руководитель: к. ф.-м. н., и. о. зав. кафедры

геометрии и общем математики РГУ им. И. Канта

Шевченко Юрий Иванович


Калининград

2008




Содержание.




Введение………………………………………………………………………3

§1. Системы координат..……………………………………………………..4

§2.Аналог гиперболы………………………………………………………...7

§3. Введение параболических координат…………………………………...9

Заключение…………………………………………………………………..10

Библиографический список………………………………………………...11

Приложение………………………………………………………………………………..15

Введение.



В данной работе рассмотрен аналог гиперболы, в котором один из фокусов заменен директрисой – прямой, т.е. исследовано геометрическое место точек на плоскости, обладающих тем свойством, что разность расстояний от каждой точки до точки О и директрисы постоянно и равна b. Полученное в процессе изучения уравнение искомого множества точек, содержит абсолютную величину |х-а|. В зависимости от отношений между параметрами, проведено неформальное объединение взаимных случаев, в результате которого найдены различные представления геометрического места точек.

Изучая полученные семейства парабол, возникла гипотеза о существовании параболических координат на плоскости, которая расширяет представление о системах координат, принятых и используемых в математике.

Замечу, что в данной работе вовсе не отрицается полезность исследований прежних времен и идей, их популяризации. Кроме того, этот аспект составляет лишь часть исследований систем координат. Поэтому, вовсе не претендуя на истину в последней инстанции, полагаю, что пришла пора для ученых, поговорить о некоторых проблемах аналитической геометрии.

Целью данной работы является изучение аналога гиперболы.


Для этого необходимо решить следующие задачи:

- исследование геометрического места точек на плоскости;

- изучение уравнений искомого множества;

- анализ отношений между параметрами;

- проведение неформального объединения всех взаимных случаев;

- обобщение и анализ полученных результатов;

Для достижения поставленных задач мне пришлось изучить следующие аспекты:
- различные канонические уравнения параболы;

- их классификацию;
- известные в математике системы координат;

Однако главной задачей работы является доказательство гипотезы о том, что через каждую точку плоскости проходит единственная парабола, из каждого рассмотренного однопараметрического семейства парабол.

Анализ теоретического и практического материала, проведенные исследования математических аспектов позволили в настоящей работе сделать попытку введения параболических координат на плоскости.

Методологической основой научной работы являются методы системного изучения объекта. При исследовании которого, особое внимание обращалось на строгую аргументированность научных положений и выводов, их критическую оценку. Широко и разносторонне используются в работе материал, изучаемый вне рамок школьной программы.

Структура работы.

Предложенная научная работа состоит из введения , трех разделов, заключения и библиографического списка .В первом разделе работы рассмотрены различные системы координат, используемые в общей математике и геометрии.

Второй раздел работы посвящен изучению аналога гиперболы, в котором один из фокусов заменен директрисой – прямой.

В третьем разделе будет произведена попытка введения параболических координат на плоскость.

В заключении излагаются основные итоги научной работы и темы для дальнейшего исследования.

В библиографии изложен список используемой литературы.

§1. Системы координат



1) Декартовая система координат(прямоугольная система координат)

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единицы измерения длин отрезков на осях. Обычно единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1). Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x по абсолютной величине равна длине отрезка OB, координата y по абсолютной величине — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются прямыми, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(a, b).

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.


Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x по абсолютной величине равна длине отрезка OB, координата y по абсолютной величине — длине отрезка OC, координата z по абсолютной величине — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными через точку A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).


2) Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел .

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата ρ определяет расстояние от точки до полюса, координата φ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (ρ,φ +2πn) , которым соответствует одна и та же точка при любых целых n. Для полюса ρ = 0, а угол произвольный.

Иногда допускаются отрицательные значения ρ, в этом случае координаты (ρ,φ) и ( − ρ,φ + π) определяют одну и ту же точку плоскости. Такие координаты называются обобщенными полярными координатами.



Формулы перехода от полярной системы координат к декартовой:



от декартовой системы координат к полярной:


3)Косоугольная система координат (Аффинная система координат)

Аффинная система координат— прямолинейная система координат в аффинном пространстве.

В n-мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа xi, что OM=x1l1+…+xnln .

Систему векторов li называют аффинным базисом, точку O – началом координат, прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости (n = 2) координату x1 называют абсциссой, а x2 – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.


§2. Аналог гиперболы



Передо мною стояла задача исследования аналога гиперболы, в котором один из фокусов заменен фокальной прямой, не проходящей через другой фокус. Рассмотрен геометрическое место точек М на плоскости, обладающее тем свойством, что разность расстояний от каждой точки до точки О и фокальной прямой (х=а, а>0) постоянна и равна b, где b ε R .



По теореме Пифагора: следовательно, .

OG=OK+KG следовательно, r2=a-x.

Я получила уравнение: r1 - r2 = b (b=const).

Подставим в уравнение выражения r1 и r2:


Снимем модуль:

I. При x
II. При x>a:

III. При x=a - особый случай – пропадает абсолютная величина: a-x=0.




Получаем, что .

Если b
Если b=a, значит есть одна точка пересечения с прямой x=a.

Если b>a, значит есть две точки пересечения с прямой x=a .
Произведем объединение всех взаимных случаев, в результате чего найдем различные представления геометрического места точки в зависимости от отношений между параметрами а, b.



В итоге у нас получается 7 различных представлений аналога гиперболы:

1) b<-a к примеру а = 4 и b = -6. (Приложение, рис.1)

2) b=-a к примеру а = 4 и b = -4. (Приложение, рис.2)

3) a<b<0 к примеру а = 4 и b = -2. (Приложение, рис.3)

4) b=0 к примеру а = 4 и b = 0. (Приложение, рис.4)

5) 0<b к примеру а = 4 и b = 2. (Приложение, рис.5)

6) b=a к примеру а = 4 и b = 4. (Приложение, рис.6)

7) b>a к примеру а = 4 и b = 6. (Приложение, рис.7)

Вывод: Геометрическое место точки на плоскости, являющиеся аналогами гиперболы, представляют собой 4 класса и 3 особых случая: два крайних класса (b<-a, b>a) состоят из 2-х парабол встречающихся, либо разбегающихся; два средних класса (-a

§3. Введение параболических координат.


Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат.

В процессе рассмотрения всех вышеизложенных случаев, возникла мысль о введении параболических координат на плоскость.

Для того что бы найти параболические координаты точки необходимо решить систему двух уравнений, полученных в процессе исследования.



Декартовые координаты X и Y точки, выразили через положительные числа p и q, которые назовем параболическими координатами:

и .

Решим два квадратных уравнения относительно p и q:



Учитывая, что p>0, q>0, выбираем знак «+».

В особом случае, когда y=0, получим p=x+x2=x+ x, q=-x+x2=-x+ x.

Если x>0, то p=2x, q=0. Если x<0, то p=0, q=-2x. Наконец, при х=0, получим р=0, q=0. Следовательно, ось Ox, имеющая уравнение y=0, состоит из особых точек.
Теорема. На верхней и нижней полуплоскостях с декартовой системой координат Оху вводятся параболические координаты (p,q), где p>0, q>0, причем на оси Ох параболические координаты не определены.
Замечание. Если сдвоенный луч воспринимать как вырожденную параболу, то можно ввести обобщенные параболические координаты (p,q), где p>=0, q>=0, определенные и для точек оси Ох.

Заключение.



В процессе подготовки и написания этой работы рассмотрен аналог гиперболы, определено геометрическое место искомой точки и сделана попытка введения параболических координат на плоскость.

Естественно, претендовать на полноту раскрытия картины было бы с моей стороны по крайней мере самонадеянно. Это и не было целью этого скромного исследования. Я старались указать на основные, наиболее интересные характеристики исследуемого мною аспекта аналитической геометрии. Наиболее важным для раскрытия выбранной темы, на мой взгляд, было провести исследование аналога гиперболы и привести наиболее яркие примеры.

Библиографический список.



1. Атаносян Л. С. Геометрия М. 1973 - 480 стр.

2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математик Ростов-на-Дону 1995 –

416 стр.

3. Коксетер Г. С. М., Грейтуер С. А. Новые встречи с геометрией. М. 1978 – 224 стр.

4. Малоховский В. С. Введение в математику. Калининград 2006 – 439 стр.

5. Пискунов Н. С. Дифференциальной и интегральной исчисление. М. 1985 – 432 стр.

6. Постников М. М. Аналитическая геометрия. М. 1973 – 752 стр.

Приложение.



Рисунок 1.



Рисунок 2.


Рисунок 3.



Рисунок 4.



Рисунок 5.



Рисунок 6.



Рисунок 7.



Похожие:

Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» icon«Координаты на плоскости» кр №14 «Координаты на плоскости»
На координатной плоскости постройте отрезок mn и прямую ак, если м (–4; 6), n (–1; 0), а (–8; –1), к (6; 6). Запишите координаты...
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconУрока: Обобщить знания по теме «Прямоугольные координаты на плоскости»
Сегодня на уроке мы обобщим и проверим знания по теме «Прямоугольные координаты на плоскости». (Слайд №2)
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconК работе ученицы 9 «А» класса гимназии №32 Беловой Дарьи «Параболические координаты на плоскости»
О и директрисы постоянно и равна b, где b ε R. Получено уравнение искомого множества точек, которое содержит абсолютную величину
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconКонтрольная работа по теме «Координатная плоскость»
Отметьте на координатной плоскости точки А(6; 1) и в (-2; -3). Проведите отрезок ав. Найдите координаты точки пересечения отрезка...
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconАналитическая геометрия
Координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точек и координаты векторов
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconЭлементы аналитической геометрии
Определение Линия на плоскости – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению, причем, координаты...
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconКонтрольная работа №2 по теме «Метод координат» (9 класс) Вариант 1 Найдите координаты и длину вектора, если
Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек Р(-1;3) и К(0;2)
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconКонтрольная работа по геометрии для 11 класса по теме «Простейшие задачи в координатах»
Вершины треугольника авс имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3), С(8;-4;9). Найдите координаты вектора, если вм – медиана ∆авс
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconПрограмма курса «Аналитическая геометрия»
Декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Полярные, цилиндрические и сферические координаты
Научная работа по теме : «Параболические координаты на плоскости» iconТест «Координаты на плоскости»
Координатные прямые х и у, образующие систему координат на плоскости, пересекаются под каким углом ?
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org