Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин



Скачать 47.69 Kb.
Дата09.07.2014
Размер47.69 Kb.
ТипЛекции
К лекции № 5
Числовые характеристики случайных величин
5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть дан ряд распределения дискретной случайной величины с конечным числом значений.

X


x1

x2



xk

P(x)

p1

p2



pk


Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная:
(1)
Пусть дискретная случайная величина имеет бесконечное число возможных значений.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная:
(2)
при условии, что абсолютно сходится ряд (2).

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины.

5.2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Пусть задана непрерывная случайная величина X, распределенная на интервале [a;b], плотность распределения которой равна p(x). Разобьем интервал [a,b] на достаточно большое число достаточно малых частей системой точек a=x0, x1, x2,...,xn-1,xn=b. Обозначим xi = xi - xi-1. По теореме о среднем на каждом интервале можно выбрать i, i=1,2,...,n так, что вероятность попадания на каждый из интервалов [xi-1,xi] равна
(2)
Дискретизируем случайную величину X, т. е. построим новую величину, которая принимает значение X=i с вероятностью p(i)xi. Тогда
(3)

Формула (3) - это интегральная сумма некоторого выражения. Перейдем к пределу

(4)
Определение.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, распределенной на интервале [a;b], называется величина MX, равная:
(5)
В общем случае интервал распределения бесконечный.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, распределенной на бесконечном интервале, называется величина MX, равная:
(6)
При условии, что интеграл (6) абсолютно сходится, т. е.



5.3. Математическое ожидание функции случайной величины

Пусть задана неслучайная функция y=f(x). Если значения аргумента задаются значениями случайной величины X, то значения функции тоже являются значениями случайной величины Y. Величина Y называется функцией от случайной величины X. Если X - дискретная случайная величина, то Y - тоже дискретная случайная величина. Ряд распределения функции от дискретной случайной величины с конечным числом значений состоит из трех строчек

X


x1

x2



xk

Y


y1=f (x1)

y2=f (x2)



yk=f (xk)

P(x)

p1

p2



pk


Математическое ожидание функции от случайной величины равно:

Если X- непрерывная случайная величина, то Y - тоже непрерывная случайная величина и математическое ожидание равно


5.4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Однако, знания среднего значения для характеристики случайной величины недостаточно.

Нужно еще характеризовать разброс значений случайной величины около среднего значения. Разброс значений случайной величины от среднего значения дает величина X - MX. Но взять математическое ожидание отклонения в качестве меры такого разброса не имеет смысла, так как оно равно нулю.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется величина DX, равная
(7)
Далее будет показано, что для вычисления дисперсии можно использовать формулу
(8)
По формулам, определенным выше, получаем для дискретной случайной величины с конечным рядом распределения
(9)

Величина M(X2) вычисляется по формуле
(10)
Пусть дискретная случайная величина имеет бесконечное число возможных значений. Тогда
(11)
При условии, что ряд (11) сходится.

Пусть задана непрерывная случайная величина X, распределенная на интервале [a;b].
(12)
Для бесконечного интервала распределения
(13)
При условии, что интеграл (13) сходится.

Однако использование дисперсии не совсем удобно. Дисперсия имеет размерность квадрата единицы измерения исходной случайной величины. Для устранения этого недостатка вводится среднеквадратическое отклонение , равное

Замечание. Из введенных определений видно, что математическое ожидание и дисперсия существуют не всегда.
5.6. Моменты высших порядков

Моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание от Xk. Обозначается

Теорема. Если существует момент k, то существуют моменты и для всех меньших значений k. (Без доказательства.)

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание от (X-MX)k. Обозначается

Дисперсия - есть центральный момент второго порядка.

Похожие:

Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconФормирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Цель: освоение методов генерации последовательности значений случайных величин и построения графиков функций распределения и плотности...
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин icon2 Сходимость последовательностей случайных величин
Рассмотрим последовательность случайных величин. Различают несколько типов сходимости
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconКонтрольные вопросы. 18 Тестовые задания. 20 Ответы 24 Модуль 24 Тема 1 (4). Независимость случайных величин. 24 Тема 2 (5). Распределения Бернулли и Пуассон
Тема 3(9). Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределени
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconКонтрольные вопросы по дисциплине " Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс"
Программное (алгоритмическое) генерирование равномерно распределенных случайных величин. (Лекции)
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconТеория погрешностей Измерение физических величин
Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами...
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconСамостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятностей. Основы описательной статистики» Приведите примеры случайных величин
Каковы вероятности и примеры достоверного случайного события и невозможного случайных событий?
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconЛабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин
...
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconА. М. Зубков 1/2 года, 3 курс Понятия верхних и нижних функций для последовательностей случайных величин. Верхние и нижние функции для последовательности независимых величин с нормальными распределениями. Закон
Мартингалы. Примеры мартингалов. Разложение Дуба. Выпуклые функции от мартингалов
Лекции №5 Числовые характеристики случайных величин iconВероятность больших отклонений случайных величин
Среднее арифметическое с в сходится по вероятности к мат ожиданию с увеличением числа опытов n
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org