Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства



Скачать 37.75 Kb.
Дата12.10.2012
Размер37.75 Kb.
ТипДокументы
РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
Def 7. Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства , если для любого существуют такие числа , что . При этом данная линейная комбинация называется разложением элемента по базису , а числа -координатами элемента в данном базисе.
Def 8. Натуральное число n - размерность линейного пространства и обозначается символом , если в данном линейном пространстве имеется n линейно независимых элементов, а любые n+1 элементов линейно зависимы.

Само пространство при этом называется n-мерным и обозначается символом . Если линейное пространство состоит из единственного элемента ,

то его называют тривиальным и обозначают символом . Принято считать, что .
Теорема 9. Каждый элемент линейного пространства может быть разложен по базису единственным способом, т.е. его координаты относительно этого базиса определяются однозначно.
Теорема 10. При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого фиксированного базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число gif" name="object19" align=absmiddle width=18 height=18> все координаты этого элемента умножаются на .
Теорема 11. Если линейное пространство имеет размерность n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуютего базис.
Теорема 12. Если линейное пространство имеет базис, состоящий из n элементов, то его размерность равна n.

Разложение произвольного элемента по выбранным базисам может быть записано в матричной форме ,

где и - вектор-столбцы координат данного элемента в первом и во втором базисах соответственно. При этом справедливы формулы ,

которые называются формулами преобразования координат вектора при преобразовании базиса (при переходе к новому базису).

ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ.

Def 1. Подпространством линейного пространства над полем К называется любое непустое подмножество этого пространства, на котором корректны операции сложения элементов и умножения элемента на число, которые введены в исходном линейном

пространстве : 1) ; 2) .

Подпространства обладают следующими свойствами:

. Всякое подпространство линейного пространства само является линейным пространством.

. Размерность подпространства не превосходит размерности самого линейного пространства.

. Если - базис в подпространстве линейного пространства размерности n и k так, что совокупность будет составлять базис всего простран. .

****

Def. Линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством.

Def 4. Элементы в евклидовом пространстве называеются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Def 5. Система элементов евклидова пространства называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны: при .

Def 6. Система элементов называется

ортонормированной, если , где -- символ Кронекера.

Теорема 1. Любая ортогональная система ненулевых элементов является линейно независимой.

Базис пространства Rn

Теорема. Пусть в пространстве Rn задан набор из s векторов 1, 2,... s, причем s, ортогональный каждому из векторов i(i=1,...,s).

Процесс последовательной ортогонализации системы линейно независимых элементов (метод Грама-Шмидта)
Пусть - система линейно независимых элементов.

Процесс ортогонализации, позволяющий построить в линейной оболочке

ортогональный базис описывается следующими

формулами

,

,

,

. . . . . . . . . . .

,

где коэффициенты , .

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Def 1. Пусть - подпространство евклидова пространства. Совокупность всех элементов евклидова пространства, каждый из которых ортогонален каждому элементу из , называется ортогональным дополнением к и обозначается .

Теорема 1. Ортогональное дополнение является подпространством евклидова пространства .

Теорема 2. Пусть - подпространства евклидова пространства . Тогда для любого элемента из имеет место единственное представление , где .

Похожие:

Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconЛекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел, расположенная в виде таблицы
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconЛинейные пространства
Определение линейного пространства. Непустое множество любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconМенеджмента Система менеджмента организации это упорядоченная совокупность взаимосвязанных элементов, находящихся между собой в устойчивых отношениях, обеспечивающих их функционирование и развитие как единого целого
Система менеджмента организации — это упорядоченная совокупность взаимосвязанных элементов, находящихся между собой в устойчивых...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconВопросы по алгебре (2 семестр)
...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconВычисление ранга матрицы
Определение. Рангом матрицы а по строкам (по столбцам) называется максимальное число линейно независимых ее строк (столбцов). Обозначается:...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconЛекция 23 Евклидовые
Два набора и равны, если для всех. Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconОтчет по лабораторной работе «Построение проверочной матрицы и кодирование»
Линейно независимые комбинации называются базисными или базовыми. Все остальные разрешенные комбинации можно получить сложением по...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconПримерные вопросы к экзамену по курсу «системы линейных алгебраических уравнений»
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconЛинейные операторы
Линейным оператором, действующим из линейного пространства h в линейное пространство H1, называется отображение, удовлетворяющее...
Def Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства iconОпределение линейного пространства
Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются следующие аксиомы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org