Лекция №8 Линейные пространства



Скачать 145.42 Kb.
страница1/3
Дата12.10.2012
Размер145.42 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3
Лекция № 8

Линейные пространства



Определение 1. Непустое множество элементов называется линейным, или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

  1. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем:

1. (коммутативность),

2. (ассоциативность),

  1. в существует такой элемент , что (существование нуля),

  2. существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

  1. Для любого числа и любого элемента определен элемент (произведение элемента на число ), причем:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

В зависимости от того, какие числа используются (все комплексные числа, или только действительные), различают комплексные и действительные линейные (векторные) пространства.
Заметим, что почти всюду наши построения будут верны в обоих случаях. Можно было бы рассматривать и линейные пространства над произвольным (алгебраическим) полем. Всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное пространство, ограничившись умножением векторов на действительные числа.

Пример 1. Прямая линия , т.е. совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения на число, представляет собой линейное пространство.

Пример 2. Совокупность всевозможных систем чисел (действительных или комплексных) , где сложение и умножение на число определяются формулами

,

,

является линейным пространством. Оно называется – мерным арифметическим пространством и обозначается символом в случае действительных чисел, и в случае комплексных чисел.

Пример 3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство , являющееся одним из важнейших в функциональном анализе.

Пример 4. Пространство , в котором элементами служат последовательности (действительных или комплексных) чисел

,

удовлетворяющих условию , с операциями



,

,

является линейным пространством. Тот факт, что , если и , следует из неравенства .

Пример 5. Сходящиеся последовательности
(действительных или комплексных) чисел с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образует линейное пространство. Обозначим его через .

Пример 6. Последовательности , сходящиеся к нулю, с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство. Обозначим его через .

Пример 7. Совокупность всех ограниченных числовых последовательностей , , , с теми же операциями сложения и умножения, есть линейное пространство.

Пример 8. Совокупность любых числовых последовательностей с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство.

Свойства линейного пространства – это (алгебраические!) свойства операций сложения элементов этого пространства и умножения их на числа.

Определение 2. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с алгебраическими операциями в и . Это значит, что из

, , где , а ,

следует, что

, и ,

где – произвольное число.

Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства.

Задача 1. Докажите, что арифметическое – мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число изоморфны.

Линейная зависимость. Элементы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что

.

В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иначе говоря, элементы линейно независимы, если из равенства



следует, что

, , . . . , .

Бесконечная система элементов пространства называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Если в пространстве можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство имеет размерность . Если же в можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство бесконечномерно.

Базисом в – мерном пространстве называется любая система из линейно независимых элементов. Пространства в действительном и в комплексном случаях имеют, как легко проверить, размерность .

В курсе линейной алгебры рассматриваются пространства конечной размерности. В функциональном анализе, наоборот, изучаются, как правило, пространства бесконечного числа измерений. В примерах 3 – 8 пространства имеют бесконечную размерность. Докажите это.

Подпространства. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из , следует, что при любых и .

Во всяком линейном пространстве имеется подпространство, состоящее из одного нуля, – нулевое подпространство. Кроме того, всё можно рассматривать как свое подпространство. Подпространство, отличное от и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным. Приведем примеры собственных подпространств.

Пример 9. Пусть – линейное пространство, и – некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов , где пробегает все числа (действительные или комплексные), образуют одномерное подпространство. Это подпространство является собственным, если размерность больше 1.

Пример 10. Рассмотрим пространство непрерывных функций и в нем совокупность всех многочленов . Ясно, что многочлены образуют в подпространство, имеющее бесконечную размерность.

Пример 11. Рассмотрим пространства , , , и . Каждое из них является собственным подпространством последующего.

Пусть – произвольное непустое множество элементов линейного пространства . Тогда в существует наименьшее подпространство (возможно совпадающее с ), которое содержит . Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее , существует: это само . Далее, пересечение любого множества подпространств есть снова подпространство. Докажем это.

Если и , то при любых и . Возьмем теперь все подпространства, содержащие систему , и рассмотрим их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему .

Такое минимальное подпространство мы назовем подпространством, порожденным множеством , или линейной оболочкой множества .

Фактор-пространства. Пусть – линейное пространство, и – некоторое его подпространство. Скажем, что два элемента эквивалентны, если их разность . Заданное таким образом отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Убедимся в этом.

(1) , так как (рефлексивность).

    1. Если , т.е. , то , т.е. (симметричность).

    2. Если и , т.е. и , то их сумма , т.е. (транзитивность).

Таким образом, это – отношение эквивалентности. Оно определяет разбиение пространства на классы эквивалентных элементов. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству ). Совокупность всех таких классов мы назовем фактор-пространством по и обозначим через . Таким образом, запись означает, что под мы подразумеваем класс эквивалентных между собой (по подпространству ) элементов из . Покажем, что любые два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают между собой. Действительно, если в смежных классах и есть общий элемент, например, и , то и имеем:

, так как и , т.е. .

В фактор-пространстве естественно вводятся операции сложения элементов (смежных классов!) и умножения их на числа. Действительно, пусть , т.е. и – два смежных класса из . Выберем в каждом из них по представителю, например, и соответственно, и назовем суммой классов и тот класс , который содержит элемент , а произведением класса на число назовем класс, который содержит элемент . Проверим, что результат не изменится от замены представителей и какими-либо другими представителями и классов и соответственно. Действительно,

,
так как , ,

т.е. и принадлежат одному и тому же смежному классу независимо от выбора представителей в и . Аналогично,

, т.е. определено однозначно.

Таким образом, мы определили линейные операции над элементами фактор-пространства , превратив его тем самым в линейное пространство. Проверка аксиом линейного пространства очевидна.

Задача 2. Что представляет собой фактор-пространство ?

Задача 3. Пусть пространство имеет размерность , а его подпространство имеет размерность , . Докажите, что фактор-пространство имеет размерность .

Определение 3. Пусть – произвольное линейное пространство, и – некоторое его подпространство. Размерность фактор-пространства называется коразмерностью подпространства в пространстве .

Теорема 1. Если подпространство имеет конечную коразмерность , то в линейном пространстве можно выбрать элементы так, что всякий элемент будет однозначно представим в виде , где – числа, и .

Доказательство. Действительно, если фактор-пространство имеет размерность , то выберем в нем базис , и из каждого смежного класса выберем по представителю : , . Пусть теперь – любой элемент из , и – тот смежный класс в , который содержит : . Тогда .

Отсюда делаем вывод, что и линейная комбинация принадлежат смежному классу , т.е. , или , т.е.

.

Теперь докажем однозначность такого представления. Если это не так, т.е. есть еще одно такое представление элемента :

.

Взяв их разность, получим:

.

Но , откуда следует, что и . Смежный класс играет роль нуля в фактор-пространстве , т.е.

,

т.е. , . Но тогда и . Теорема доказана.
  1   2   3

Похожие:

Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №13 Линейные непрерывные функционалы
Ранее мы рассматривали линейные функционалы в линейных пространствах. Как обычно, функционал – это отображение топологического линейного...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
Лекция №8 Линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Лекция №8 Линейные пространства icon3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org