Лекция №8 Линейные пространства



Скачать 145.42 Kb.
страница2/3
Дата12.10.2012
Размер145.42 Kb.
ТипЛекция
1   2   3

Линейные функционалы.


Определение 4. Числовую функцию , определенную на некотором линейном пространстве , мы будем называть функционалом. Функционал называется аддитивным, если

для всех ;

он называется однородным, если

для всех ,

где – произвольное число.

Функционал , определенный на комплексном линейном пространстве, называется сопряженно-однородным, если

, где – комплексно-сопряженное к число.

Аддитивный однородный функционал называется линейным функционалом, а аддитивный сопряженно-однородный функционал называется сопряженно-линейным.

Пример 12. Пусть есть – мерное арифметическое пространство с элементами , и – произвольный набор из фиксированных чисел. Тогда есть линейный функционал в ; представляет собой сопряженно-линейный функционал в .

Пример 13. Интегралы

и

представляют собой соответственно линейный и сопряженно-линейный функционалы в пространстве gif" name="object274" align=absmiddle width=59 height=18>.

Пример 14. Пусть – некоторая фиксированная непрерывная на отрезке функция. Положим для любой функции

.

Линейность этого функционала следует из основных свойств операции интегрирования. Функционал



будет сопряженно-линейным (в комплексном пространстве ).

Пример 15. Рассмотрим и пространстве линейный функционал другого типа. Положим , т.е. значение функционала на функции равно значению этой функции в фиксированной точке . Этот функционал обычно записывают в виде

,

понимая в этой записи как – функцию Дирака. Такие функции получат строгое определение в теории обобщенных функций (или распределений).

Пример 16. Рассмотрим пространство . Пусть – фиксированное целое число. Для каждого

из положим .

Линейность этого функционала очевидна. Эти функционалы можно рассматривать на других пространствах числовых последовательностей: , , , .

Геометрический смысл линейного функционала. Пусть – некоторый отличный от нуля линейный функционал на линейном пространстве . Совокупность всех тех элементов , для которых , обозначим , т.е.

.

Очевидно, что является подпространством пространства . Действительно, если , то и . Но тогда

, т.е. .

Утверждение 1. Подпространство имеет коразмерность .

Доказательство. Действительно, возьмем какой-либо элемент , не входящий в , т.е. такой, что . Такой элемент существует, поскольку в противном случае функционал был бы тождественным нулем. Без ограничения общности можно считать, что . Если это не так, то заменим на . Ясно, что . Для каждого положим

;

тогда , т.е. . Представление элемента в виде , т.е. в виде

, где ,

при фиксированном единственно. В самом деле, если имеется другое такое представление

, где ,

то взяв их разность, получим равенство . Если здесь , то, очевидно, что . Если же , то , что противоречит выбору : .

Отсюда следует, что два элемента и только тогда принадлежат одному классу смежности по подпространству , когда . Тот факт, что если , то элементы и принадлежат одному классу смежности, очевиден. В доказательстве нуждается обратное утверждение: если и принадлежат одному классу смежности, то . Докажем это. Представление и в виде

, ,

как было показано выше, однозначно. Тогда

.

Отсюда если и только если .

Всякий класс смежности по подпространству определяется любым из своих представителей. В качестве такого представителя можно взять . Отсюда видно, что фактор-пространство имеет размерность , т.е. имеет коразмерность . Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Подпространство определяет линейный функционал, обращающийся на нем в нуль, с точностью до постоянного множителя.

Доказательство. В самом деле, пусть функционалы и имеют одно и то же ядро: . Выберем элемент так, чтобы . Утверждается, что . Действительно, , , и тогда

.

Если бы , то функционал был бы тождественным нулем. Из равенства вытекает пропорциональность функционалов и . Утверждение 2 доказано.

Для всякого подпространства коразмерности линейного пространства можно указать такой функционал , что . Действительно, фактор-пространство имеет размерность . Поэтому можно выбрать какой-либо (ненулевой!) смежный класс , что для каждого
1   2   3

Похожие:

Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №13 Линейные непрерывные функционалы
Ранее мы рассматривали линейные функционалы в линейных пространствах. Как обычно, функционал – это отображение топологического линейного...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
Лекция №8 Линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Лекция №8 Линейные пространства icon3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org