Лекция №8 Линейные пространства



Скачать 145.42 Kb.
страница3/3
Дата12.10.2012
Размер145.42 Kb.
ТипЛекция
1   2   3
имеем: . Выберем в смежном классе представителя: . Любой элемент содержится хотя бы в одном из смежных классов . Поэтому , т.е.

, .

Это представление единственно. Действительно, если оно не единственно, т.е. если существует представление , то взяв их разность, получим: . Если , то . Если же , то , что невозможно, так как не может принадлежать ( играет роль нуля в фактор-пространстве ; ).

Поскольку любой элемент однозначно представим в виде , то определим функционал на следующим образом:

.

Убедимся в том, что это действительно линейный функционал. Пусть gif" name="object415" align=absmiddle width=74 height=21>, . Тогда , и поэтому , т.е. аддитивность установлена. Далее, . Поэтому , т.е. однороден. Таким образом, функционал линеен. Теперь покажем, что . Если и , то , т.е. .

Пусть – какое-нибудь подпространство коразмерности в линейном пространстве ; тогда всякий класс смежности пространства по подпространству называется гиперплоскостью, параллельной подпространству . В частности, само подпространство является гиперплоскостью, содержащей 0, т.е. «проходящей через начало координат». Иными словами, гиперплоскость , параллельная подпространству – это множество, получающееся из параллельным переносом (сдвигом) на какой-нибудь вектор :

.

Ясно, что если , то . Если же , то . Если - нетривиальный линейный функционал на пространстве , то множество является гиперплоскостью, параллельной подпространству . Действительно, фиксируя какой-нибудь элемент , для которого , мы можем всякий вектор представить в виде , где . С другой стороны, если – какая-нибудь гиперплоскость, параллельная подпространству (коразмерности 1) и не проходящая через начало координат, то существует единственный линейный функционал такой, что . Действительно, пусть , ; тогда всякий элемент однозначно представим в виде , где . Полагая, как и выше, , мы получим искомый линейный функционал. Единственность следует из того, что если при , то при , так как

.

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на линейном пространстве , и всеми гиперплоскостями в , не проходящими через начало координат.




1   2   3

Похожие:

Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №13 Линейные непрерывные функционалы
Ранее мы рассматривали линейные функционалы в линейных пространствах. Как обычно, функционал – это отображение топологического линейного...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
Лекция №8 Линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Лекция №8 Линейные пространства icon3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора...
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №8 Линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №8 Линейные пространства iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Лекция №8 Линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org