1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия



Скачать 91.47 Kb.
Дата12.10.2012
Размер91.47 Kb.
ТипДокументы
1. Организационно-методический раздел.

1.1 Название курса.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Направление - математика

Раздел - общие математические и естественно-научные дисциплины

Семестр(ы) - 2

1.2 Цели и задачи курса.

Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики факультета информационных технологий Новосибирского государственного университета.

Основной целью освоения курса является изучение студентами основных понятий и результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, а также освоение практических методов решения задач.

Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:

1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой;

2) ознакомление с основными методам решения задач;

3) сдача экзамена и зачета.

1.3 Требования к уровню освоения содержания курса.

По окончании изучения указанного курса студент должен
- иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других разделов математики;
- знать содержание программы курса, определения, формулировки теорем и их доказательства;

- иметь навыки решения задач.

1.4 Формы контроля

Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрены зачет и экзамен в конце каждого семестра.

Текущий контроль. Предусмотрено проведение контрольной работы в середине каждого семестра.

2 Содержание дисциплины.

2.1 Новизна.

Курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" является новым по отбору изучаемого материала. Курс характеризуется математической строгостью изложения, при этом достаточное внимание уделяется применениям изучаемых понятий и методов в вычислительной математике и информатике.
2.2 Тематический план курса.


Наименование разделов и тем

К о л и ч е с т в о ч а с о в

Лекции

Семинары

Лаборатор- ные работы

Самостоятель-ная работа

Всего часов

Группы, кольца, поля

4

4

0

0

8

Матрицы и системы линейных уравнений

8

16

0

0

24

Векторные пространства

8

16

0

0

24

Евклидовы и унитарные пространства. Аффинные пространства

8

16

0

0

24

Кривые и поверхности второго порядка

4

12

0

0

16

Итого по курсу:

32

64

0

0

96

2.3 Содержание отдельных разделов и тем.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия


2.3.1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Общее понятие группы, кольца, поля: аксиоматика и примеры. Группы подстановок: разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки. Кольца и поля вычетов по модулю n, кольцо матриц. Подгруппы, подкольца и подполя.

2.3.2. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Трансвекции и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель произведения двух квадратных матриц.

Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы Крамера. Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей. Критерий совместности системы линейных уравнений. Эквивалентные системы. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между решениями систем AX=B и AX=0. Общее решение совместной системы.

2.3.3. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Геометрические векторы на плоскости и в пространстве, операции сложения векторов и умножения на скаляры, их основные свойства. Арифметическое векторное пространство. Определение (абстрактного) векторного пространства: аксиоматика, примеры. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость систем векторов. Теорема о замене. Базы и размерность пространства, координаты вектора и изоморфизмы векторных пространств. Подпространства векторного пространства: определение, примеры, линейные оболочки и ранг системы векторов. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей, прямые суммы. Проекция вектора на подпространство и ее свойства.

2.3.4. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства. Определение (абстрактного) евклидова и унитарного векторного пространства, примеры. Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство трегольника. Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные разложения пространства. Векторное и смешанное произведение векторов, объем параллелепипеда.

Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.

Понятие аффинного пространства. Подпространства: прямые и гиперплоскости. Системы координат и формулы перехода. Метризованные аффинные пространства. Расстояние от точки до гиперплоскости. Изометрические преобразования.

2.3.5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение квадратичной формы, матрица формы, ранг формы, закон изменения при невырожденной замене переменных, приведение к каноническому виду методом выделения полных квадратов. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства (эллипс, гипербола, парабола). Пространственные поверхности второго порядка, их канонические уравнения и свойства.

2.4 Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.
Не предусмотрено.

2.5 Темы рефератов (курсовых работ).

Не предусмотрено.

2.6 Образцы вопросов для подготовки к экзамену (дифференцированному зачету, зачету).

  1. Определение (абстрактного) векторного пространства: аксиоматика, примеры. Арифметическое векторное пространство.

  2. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость систем векторов. Теорема о замене.

  3. Базы и размерность пространства, координаты вектора и изоморфизмы векторных пространств. Формула замены координат при переходе к новому базису.

  4. Подпространства векторного пространства: определение, примеры, линейные оболочки и ранг системы векторов.

  5. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей, прямые суммы.

  6. Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Запись системы линейных уравнений в матричной форме.

  7. Подстановки. Разложение в произведение независимых циклов. Четные и нечетные подстановки.

  8. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

  9. Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы. Формулы Крамера. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей.

  10. Критерий совместности системы линейных уравнений.

  11. Теоремы Фредгольма.

  12. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.

  13. Связь между решениями систем Ax=b и Ax=0. Общее решение совместной системы.

  14. Скалярное произведение векторов и его основные свойства. Определение (абстрактного) евклидова векторного пространства. Длина вектора и угол между векторами.

  15. Неравенство Коши-Буняковского.

  16. Неравенство Минковского.

  17. Ортогональные и ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

  18. Матрица Грама и ее связь с матрицей перехода к новому базису.

  19. Понятие аффинного пространства: определение и примеры.

  20. Аффинное подпространство. Параметрическое задание аффинных подпространств. Прямая и гиперплоскость.

  21. Системы координат в аффинных пространствах. Формулы перехода.

  22. Уравнение гиперплоскости.

  23. Метризованные аффинные пространства: основные свойства расстояния.

  24. Прямоугольные системы координат. Матрица Грама и метод ортогонализации Грама-Шмидта.

  25. Формула расстояния между точками в прямоугольной системе координат.

  26. Ортогональная проекция точки на аффинное подпространство. Расстояние от точки до подпространства.

  27. Формула расстояния от точки до гиперплоскости.

  28. Ориентация базисов векторного пространства.

  29. Смешанное и векторное произведения, их основные свойства. Объем параллелепипеда.

  30. Аффинные отображения и преобразования. Задание аффинного отображения формулами в системах координат.

  31. Изометрические аффинные преобразования метризованных аффинных пространств.

  32. Описание изометрических преобразований плоскости (с доказательством) и пространства (без доказательства).

  33. Понятие собственного вектора и собственного числа линейного преобразования. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного преобразования: независимость от выбора базиса.

  34. Кривые второго порядка. Переход от общего уравнения к каноническому. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

  35. Эллипс. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса, уравнение касательной.

  36. Гипербола. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы, уравнение касательной.

  37. Парабола. Директориальное и оптическое свойства параболы, уравнение касательной.

  38. Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, конус, эллиптический и гиперболический параболоид. Прямолинейные образующие.


2.7 Список основной и дополнительной литературы.


  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука, 1987.

  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.

  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре, М.: Наука, 1984.

  4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1970.

  5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1971.

  6. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1968.

  7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2. Линейная алгебра. М., ФМЛ, 2000.

  8. Кострикин А.И. (ред.) Сборник задач по алгебре, М.: Факториал, 1995.

  9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

  10. Фаддев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, С.-П.: Лань, 1998.

  11. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, М.: ФМЛ, 2001.


2.8 Для изучения дисциплин, которые предусматривают использование нормативно-правовых актов, указывать источник опубликования.

Не предусмотрено.

Программу составил к.ф.-м.н. А.И. Стукачев

Похожие:

1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconРабочая программа дисциплины " Аналитическая геометрия и линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconКонтрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconСеминарские занятия "аналитическая геометрия и линейная алгебра"
Направленные отрезки. Множество векторов. Коллинеарность и компланарность. Линейная зависимость и независимость векторов
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconУчебно-методический комплекс дисциплины математика
Аналитическая геометрия и линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисления; ряды; дифференциальные уравнения, элементы...
1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия iconНекоторые разделы курса «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org