Лекция Множества



Скачать 64.46 Kb.
Дата12.10.2012
Размер64.46 Kb.
ТипЛекция
Лекция 2. Множества

Построение математики как целостного учебного предмета – весьма сложная задача, требующая приложения совместных усилий педагогов и математиков, психологов и логиков. Важным моментом решения этой общей задачи является выделение понятий, с которых должно начинаться изучение математики в школе. Эти понятия составляют фундамент для построения всего учебного предмета. От исходных понятий, усвоенных детьми, во многом зависит общая ориентировка в математической действительности, что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной и средней школе проистекают, во-первых, из-за несоответствия знаний, усваиваемых учащимися, тем понятиям, которые действительно конституируют математические построения, во-вторых, из-за неверной последовательности введения общематематических понятии в школьные курсы.

Как известно, изучение математики в школе начинается с натурального числа и в течение нескольких лет оно является основой всего преподавания. При обосновании числа как «начала» учебного предмета действуют не столько чисто математические аргументы, сколько явные или неявные представления методистов о самой «первичности» некоторых понятий, о возникновении и формировании абстракции, как в истории знаний, так и в онтогенетическом процессе их усвоения ребенком, то есть представления, больше связанные с логикой и психологией, нежели с «чистой» математикой.

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа – исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число – основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике.

.

Рассмотрим связь понятия числа с другими понятиями, такими как множество, элемент множества, подмножество, обладающие определенными свойствами и связями.
Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных (объединение, пересечение, разность). Особая символика фиксирует эти способы и их свойства (например, объединение – ; пересечение – ; разность – ). Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств.

Соответствие между элементами множеств А и В определяет отображение множества А в множество В, фиксируемое, например, буквой f (иногда вместо отображения говорят о функции, а также об унитарной операции). Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения (частный случай последнего – взаимно-однозначное отображение). Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части множества становятся возможными определения бесконечного (множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным) и конечного множеств.

Понятию соответствия родственно понятие соотношения, определенного на множестве. Соотношения обладают такими основными свойствами, как рефлексивность (нерефлексивность, иррефлексивность), симметричность, транзитивность, связность. Обобщением понятия эквивалентности множеств является понятие изоморфизма.

Каждое множество обладает таким свойством, как мощность (эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные — различные мощности). Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств.

Наряду с соотношением эквивалентности в математике важную роль играет соотношение порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение), через которое определяется понятие упорядоченного множества. С введением понятий сечения, граничного элемента, скачка, пробела и других определяют непрерывное и дискретное упорядоченное множество.

Важнейшим понятием математики, далее, является понятие скалярной, аддитивной, аддитивно-скалярной величины. Частным случаем скалярной величины является мощность множества.

Понятия о бинарной операции и определенных ее свойствах (выполнимость, однозначность, ассоциативность), об обратных операциях позволяют выделить особые виды множеств – полугруппы и группы. Множество со связанными операциями сложения и умножения при определенных условиях является кольцом. Частный случай кольца – тело (при операции деления). Особый вид тела – поле.

Числовые системы определяются на основе указанной цепи понятий. Так, «системой неотрицательных целых чисел называется дискретное точное упорядоченное коммутативное полукольцо с единичным элементом, не являющимся нулевым»; «системой неотрицательных рациональных чисел называется минимальное точное упорядоченное полуполе» и т.д.

Рассмотрение этого перечня понятий позволяет выделить ряд моментов. Прежде всего, понятие о числе связано со многими предваряющими его понятиями, в частности с понятиями «множество», «отображение» (функции, операции), «эквивалентность», «мощность». Оно является описанием хотя и весьма важного, но всё же, лишь частного свойства множеств – их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия (множество, величина, группа, кольцо) вводятся до числа и независимо от него. Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий.

Таково фактическое соотношение понятия числа с другими математическими понятиями.

Поэтому не совсем ясны основания некоторых категорических утверждений, будто понятие числа первично. Высоко оценивая роль числа в общей системе математических знаний, вместе с тем нельзя делать «быстрых» выводов применительно к указанию его места в программе преподавания математики.

Характерно следующее обстоятельство. Методисты, полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношении множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. Ещё не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух, трех, четырёх и даже пяти-шести. Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа. Таким образом, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой — возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счёта.

Вопрос о том, с чего начинать курс математики и целесообразно ли его начинать непосредственно с числа, имеет не узко методический и частный смысл, а принципиальное значение с точки зрения формирования у ребенка общих представлений о предмете математики. Можно предполагать, что подлинное значение начальных этапов преподавания как раз и состоит в том, чтобы раскрыть детям общие особенности абстракций, конституирующих предмет дальнейшего изучения, создающих его «чистый вид». Форма и степень этой «чистоты», конечно, не будут непосредственно совпадать с теорией предмета, но нечто сходное по содержанию здесь должно быть, — определение того, в чем именно заключается здесь расхождение и частичное сходство, является объектом логико-психологических и педагогических исследований.

Во всяком случае, здесь лежит камень, от которого начинаются два пути – либо в сторону действительного математического знания, либо в сторону его «словесно-знаковых» фикций, которые нередко возникают в практике обучения.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать гипотезу, согласно которой, изучение математики можно начинать с введения понятия «множество».

Задания

  1. Выписать и определить все неизвестные до настоящего времени математические понятия.

  2. Выяснить первоисточник лекционного материала.

  3. Выписать из этого первоисточника все понятия, имеющие прямое отношение к теме лекции, а также связные понятии.

  4. Разработать ОСК по материалу первоисточника.




Похожие:

Лекция Множества iconЛекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2 Лекция №2. Свойства скалярных и векторных поле
Лекция №5. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представлени
Лекция Множества iconМножества и операции со множествами. Понятие множества и мультимножества
Цель таких описаний отразить важнейшие (атрибутные) свойства множества, а именно: разли­чимость всех частей множества, неупорядоченность...
Лекция Множества iconЛекция 1 Значение символов. Используемые в математике буквы греческого алфавита, их названия и написание
Понятие множества. Элементы множества. Обозначения множеств. Знак принадлежности
Лекция Множества iconЛекция №9 Выпуклые множества
Выпуклые множества. В линейных пространствах можно ввести понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления,...
Лекция Множества iconЛекция Функция распределения
Заметим, что на том же отрезке [0,1] вероятности попадания в множества положительной меры совсем не нулевые. И термин «наудачу» мы...
Лекция Множества iconЛекция 4 Теория графов
Граф – совокупность множества вершин V и множества пар вида (V,w)X, V,wV. Множество вершин всегда непусто. X – множество ребер
Лекция Множества iconЛекция Проектирование информационного обеспечения
Классификация – это разделение множества объектов на подмножества по их сходству или различию в соответствии с принятыми методами....
Лекция Множества iconБилет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества
Понятие множества является одним из неопределенных понятий. Существуют определяемые и неопределяемые множества. По числу элементов...
Лекция Множества iconФакультет
Отображения множеств. Счетные и несчетные множества. Функции множества. Мера множества. Измеримые множества и функции. Интеграл Лебега....
Лекция Множества iconВопросы к зачету по курсу «Основы высшей математики»
Понятие множества. Элементы множества. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org