Лекция №11 Гильбертовы пространства



Скачать 124.03 Kb.
страница1/3
Дата12.10.2012
Размер124.03 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3
Лекция № 11
Гильбертовы пространства. Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется действительная функция , определенная для любых двух элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) , причем только при .

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве вводится норма по формуле

.

Из аксиом (1)(4) скалярного произведения следует, что все аксиомы нормы выполнены.

Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений мы будем называть гильбертовым пространством.

Таким образом, гильбертовым пространством называется совокупность элементов произвольной природы, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам):

(1) есть евклидово пространство (т.е. линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением).

(2) полно в смысле метрики .

(3) бесконечномерно, т.е. в нем для любого можно найти линейно независимых элементов.

Чаще всего рассматриваются сепарабельные гильбертовы пространства, т.е. пространства, удовлетворяющие условию:

(4) gif" name="object20" align=absmiddle width=23 height=18> сепарабельно, т.е. в нем существует счетное всюду плотное множество.

Примером сепарабельного гильбертова пространства может служить действительное пространство числовых последовательностей таких, что

,

со скалярным произведением

.

Докажите это.

Ортогональные разложения. Векторы из гильбертова пространства называются ортогональными, если . Если при этом , , то это означает, что и образуют угол в . Нулевой вектор ортогонален любому вектору .

В пространстве условие ортогональности векторов и имеет вид

.

Легко убедится в том, что в пространстве любые два вектора тригонометрической системы , , , () взаимно ортогональны.

Несколько простых свойств, связанных с понятием ортогональности.

  1. Если вектор ортогонален векторам , то он ортогонален любой линейной комбинации этих векторов. Действительно,

.

  1. Если векторы ортогональны вектору и при , то вектор также ортогонален . Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения имеем:

.

  1. Теорема Пифагора и ее обобщение. Пусть векторы и ортогональны. Тогда по аналогии с элементарной геометрией вектор можно назвать гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векторах и . При этом имеем:

,

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Нетрудно обобщить эту теорему на случай любого числа слагаемых. Пусть векторы взаимно ортогональны и . Тогда

.

Метод ортогонализации. Пусть в гильбертовом пространстве задана последовательность векторов , в которой каждая конечная подсистема линейно независима. Утверждается, что по формулам

,

,

,

. . . . . . . . . . . .

,

. . . . . . . . . . . . . . . .

со специальным образом подобранными коэффициентами можно построить систему векторов ненулевых и взаимно ортогональных. Существование решения этой системы, подчиненного требуемым условиям ортогональности, доказывается по индукции. Можно далее улучшить эту систему, нормировав их, полагая .

Ортогональные нормированные системы. Пусть – элемент гильбертова пространства , и

(1)

фиксированная ортогональная нормированная система векторов (неполная, вообще говоря) из пространства . Составим вектор

.

Этот вектор принадлежит подпространству , порожденному векторами . Определим далее вектор условием

.

Очевидно, что вектор ортогонален каждому из векторов , и следовательно всему подпространству . Действительно,



, .

На языке геометрии есть перпендикуляр, опущенный из конца вектора на подпространство , а вектор есть проекция на . Тогда согласно теореме Пифагора

.

Получено неравенство

,

которое справедливо для любого вектора и любой ортогональной нормированной системы векторов (1). Поскольку это равенство справедливо при любом , то после перехода к пределу при получаем неравенство

. (2)

Коэффициенты

, ,

называются коэффициентами Фурье вектора по ортогональной нормированной системе векторов (1). Мы получили следующий результат: квадраты коэффициентов Фурье любого вектора по ортонормальной системе образуют всегда сходящийся ряд. Неравенство (2) называется неравенством Бесселя.

Замкнутость и полнота ортогональных нормированных систем. Пусть в гильбертовом пространстве задана ортогональная нормированная система векторов

, (3)

т.е. такая система векторов, что



Определение 1. Ортогональная нормированная система (3) называется полной в , если ее замкнутая линейная оболочка совпадает с .

Определение 2. Ортогональная нормированная система (3) называется замкнутой, если для любого вектора справедливо равенство Парсеваля

. (4)

Теорема 1. В сепарабельном гильбертовом пространстве всякая полная ортогональная нормированная система векторов является замкнутой, и наоборот.

Доказательство. Пусть система векторов полна в , т.е. любой вектор можно сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинацией

.

Вычислим расстояние .





,

т.е.

. (*)

Ясно, что минимум этого выражения достигается тогда, когда

, где , .

Суммы сколь угодно точно аппроксимируют ; но суммы вида



дают не менее точную аппроксимацию. Из неравенства (*) имеем:

,

т.е.

. (**)

Поскольку суммы сколь угодно точно аппроксимируют , то из последнего неравенства получаем, что при . Таким образом, если система полна в , то она замкнута.

Обратно, если для любого вектора справедливо равенство Парсеваля, то из (*) следует, что

при .

Это означает, что линейные комбинации всюду плотны в . Теорема доказана.
  1   2   3

Похожие:

Лекция №11 Гильбертовы пространства iconГильбертовы пространства
Эрмитовы операторы в конечномерном комплексном пространстве, существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Формулировка...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconАнализ Авторы программы: академик Моисеев Е. И., профессор Шишмарев И. А. Лектор 2010/11 уч год
Излагаются начальные главы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 23 Евклидовые
Два набора и равны, если для всех. Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 3 Фундаментальные законы и принципы (продолжение)
Вопросы пространства и времени всегда интересовали человеческое общество. Одна из концепций этих понятий идет от древних атомистов...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №6 Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т д
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №8 Линейные пространства
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org