Лекция №11 Гильбертовы пространства



Скачать 124.03 Kb.
страница2/3
Дата12.10.2012
Размер124.03 Kb.
ТипЛекция
1   2   3

Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 не использовалась полнота пространства .

Теорема 2. Для того, чтобы ортогональная нормированная система векторов (3) в (полном сепарабельном) гильбертовом пространстве была полна, необходимо и достаточно, чтобы в не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам системы (3).

Доказательство. Пусть система векторов (3) полна в , и следовательно, в силу теоремы 1, замкнута. Если вектор ортогонален всем элементам системы , то все коэффициенты Фурье равны нулю. Тогда в силу равенства Парсеваля имеем:

, т.е. .

Таким образом, мы доказали, что из следует, что .

Обратно, пусть из , , следует, что , но замкнутая линейная оболочка системы не совпадает с . Тогда в существует вектор такой, что

, где .

Если бы такого вектора не существовало, то в gif" name="object161" align=absmiddle width=23 height=18> было бы выполнено условие замкнутости (равенство Парсеваля!), и тогда в силу теоремы 1 система была бы полна в . Положим

.

Этот ряд сходится по норме , и . Тогда элемент ортогонален всем , и

, т.е. .

Итак, предположив, что замкнутая линейная оболочка системы , мы построили вектор , который ортогонален всем элементам системы . Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 2. При доказательстве теоремы использовалось, что из следует, что . Докажите это.

Определение 3. Два гильбертовых пространства и называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если

, , где , ,

то

, и .

Теорема 3. Любые два сепарабельных гильбертовых пространств изоморфны между собой.

Доказательство. Докажем, что любое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно пространству . Тем самым будет доказано утверждение теоремы.

Выберем в произвольную ортогональную нормированную систему и поставим в соответствие каждому элементу совокупность его коэффициентов Фурье , . Так как , то последовательность есть элемент . Обратно, всякому элементу из отвечает элемент , имеющий числа своими коэффициентами Фурье. Это соответствие между и взаимно однозначно. Далее, если

, ,

то

, .

Кроме того,



Поскольку

, , то ,

откуда получаем, что

.

Теорема доказана.

Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма. Линейным многообразием в гильбертовом пространстве мы называем такую совокупность элементов из , для которой из следует, что для любых чисел и . Замкнутое линейное многообразие называется подпространством.

Пример 1. Пусть – произвольный элемент из . Совокупность всех элементов , ортогональных , образуют подпространство в .

Пример 2. В гильбертовом пространстве элементов таких, что , со скалярным произведением



элементы, подчиненные условию , образуют подпространство.

Пример 3. В элементы , у которых при , и произвольны при , образуют подпространство.

Всякое подпространство гильбертова пространства либо конечномерно, либо само представляет собой гильбертово пространство. Действительно, справедливость аксиом (1)-(3) гильбертова пространства (см. конец 10-ой лекции) очевидна, а справедливость аксиомы (4) вытекает из следующей леммы.

Лемма 1. Любое подмножество сепарабельного метрического пространства само сепарабельно.

Доказательство. Пусть – счетное всюду плотное множество в метрическом пространстве , и

.

Для любых натуральных и найдется такая точка , что

.

(Это из определения точной нижней грани!) Пусть и . Для любого найдется такое , что , и следовательно

.

Но тогда , т.е. не более чем счетное множество , , всюду плотно в . Лемма доказана.

Применив процесс ортогонализации к какой-либо счетной всюду плотной последовательности элементов произвольного подпространства гильбертова пространства, получим следующую теорему.

Теорема 4. В каждом подпространстве гильбертова пространства содержится ортогональная нормированная система векторов, линейное замыкание которой совпадает с .

Пусть – подпространство гильбертова пространства . Обозначим через



множество всех элементов , ортогональных ко всем элементам :

.

Докажем, что является подпространством пространства . Линейность очевидна, так как если , т.е. , , то

,

т.е. . Для доказательства замкнутости предположим, что , , и при . Тогда для любого имеем:

, т.е. .

Подпространство называется ортогональным дополнением подпространства в пространстве .

Пусть теперь – произвольное подпространство гильбертова пространства , и – вектор, не входящий в . Поставим вопрос: можно ли в этом случае обеспечить существование разложения

,

где , а ортогонален любому вектору из (будем говорить коротко: ортогонален ). Оказывается, что при некоторых условиях на и такое разложение существует. Справедлива
1   2   3

Похожие:

Лекция №11 Гильбертовы пространства iconГильбертовы пространства
Эрмитовы операторы в конечномерном комплексном пространстве, существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Формулировка...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconАнализ Авторы программы: академик Моисеев Е. И., профессор Шишмарев И. А. Лектор 2010/11 уч год
Излагаются начальные главы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 23 Евклидовые
Два набора и равны, если для всех. Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 3 Фундаментальные законы и принципы (продолжение)
Вопросы пространства и времени всегда интересовали человеческое общество. Одна из концепций этих понятий идет от древних атомистов...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №6 Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т д
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №8 Линейные пространства
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org