Лекция №11 Гильбертовы пространства



Скачать 124.03 Kb.
страница3/3
Дата12.10.2012
Размер124.03 Kb.
ТипЛекция
1   2   3

Теорема 5. Если – полное гильбертово пространство и – замкнутое подпространство, то для любого существует разложение

, (5)

где , а ортогонален .

Доказательство. Обозначим . Имеются две возможности: и . Если , то найдется последовательность такая, что , откуда следует, что – предельная точка для подпространства , и так как замкнуто, то . Разложение (5) при этом осуществляется, очевидно, если и .

Пусть теперь . Рассмотрим последовательность , для которой

(6)

Применяя лемму о параллелограмме к векторам и , получим:

Лемма о параллелограмме. имеем:

gif" name="object324" align=absmiddle width=114 height=21>. Действительно,

. Лемма доказана.


т.е. , или

. (7)

Поскольку , то по определению нижней грани и выбору последовательности имеем: , т.е. . Поэтому из равенства (7) следует неравенство

.

В силу (6) при имеем

,

откуда следует, что

при .

Таким образом, последовательность фундаментальна. Так как – полное пространство, то , причем .

Покажем теперь, что вектор ортогонален . Для любого и любого имеем (!):



,

откуда

.

Но такое неравенство возможно при любых только если . Итак, разложение (5) установлено. Покажем теперь, что составляющие и определены однозначно. Если

,

где , а ортогональны , то, вычитая, получим:

,

где , а ортогонально . В силу теоремы Пифагора

,

т.е. , . Теорема доказана.

Совокупность всех векторов , ортогональных подпространству (включая нуль-вектор), образуют замкнутое подпространство , которое называется ортогональным дополнением подпространства : . Тогда .

Мы доказали, что у всякого замкнутого подпространства имеется ортогональное дополнение , причем для любого вектора справедливо разложение

, где , а .

Характеристическое свойство евклидовых пространств. Пусть – линейное нормированное пространство, т.е. линейное пространство, в котором введена норма: поставлено в соответствие неотрицательное число , удовлетворяющее следующим аксиомам:

(1) , причем только при ;

(2) для любого числа ;

(3) .

Каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма, определенная на , чтобы пространство стало евклидовым, т.е. чтобы норма в нем определялась некоторым скалярным произведением? Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Для того, чтобы нормированное пространство было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов выполнялось равенство

.

Мы не будем доказывать эту теорему, так как необходимость очевидна, а доказательство достаточности довольно просто, но громоздко. Оно заключается в том, что необходимо показать, что формула



задает в требуемое скалярное произведение.

Комплексные евклидовы пространства. Часто рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел. В таких пространствах скалярное произведение вводится в несколько модифицированной форме:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) , причем , если .





1   2   3

Похожие:

Лекция №11 Гильбертовы пространства iconГильбертовы пространства
Эрмитовы операторы в конечномерном комплексном пространстве, существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Формулировка...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconАнализ Авторы программы: академик Моисеев Е. И., профессор Шишмарев И. А. Лектор 2010/11 уч год
Излагаются начальные главы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 23 Евклидовые
Два набора и равны, если для всех. Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №12 Топологические векторные пространства
Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л. Шварцу), требует рассматривать...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция 3 Фундаментальные законы и принципы (продолжение)
Вопросы пространства и времени всегда интересовали человеческое общество. Одна из концепций этих понятий идет от древних атомистов...
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №6 Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т д
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Лекция №11 Гильбертовы пространства iconЛекция №8 Линейные пространства
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org