Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ



Скачать 218.4 Kb.
страница1/2
Дата09.07.2014
Размер218.4 Kb.
ТипАвтореферат
  1   2
На правах рукописи
Кочулимов Александр Валерьевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, СВЯЗАННЫЕ С
ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
НА ТРЕУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ

05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ


АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ульяновск – 2011
Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.


Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Леонтьев Виктор Леонтьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Журавлев Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук,
профессор
Радченко Владимир Павлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Ульяновский государственный
технический университет
Защита состоится 30 марта 2011 года в 1000 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ГОУ ВПО Ульяновский государственный университет по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная р. Свияги, 106, корпус 1, ауд. 703.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом – на сайте ВУЗа http://www.uni.ulsu.ru
Просьба направлять отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации, по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований.

Автореферат разослан «___» _________ 2011 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. Диссертационная работа посвящена решению актуальной задачи – развитию теории ортогональных финитных функций (ОФФ)1,2,3,4, направленному на расширение возможностей геометрического моделирования и алгоритмов смешанных численных методов на основе использования ОФФ. Впервые создаются и исследуются ОФФ второй степени на треугольных сетках, порождающие новые фундаментальные возможности в построении математических моделей и в их исследовании. Повышение точности приближенных решений, как для основных неизвестных функций, так и для их производных, повышение гладкости приближенных решений для производных достигается при использовании ОФФ без увеличения объема вычислений.


Смешанные вариационные принципы, в частности вариационный принцип Рейсснера, являются основой для построения численных методов, обладающих рациональными алгоритмами и дающих приближенные решения для температуры и градиента температуры с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории теплопроводности, и соответствующих комплексов программ. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры системы находятся в уравнениях вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных. Отсутствуют ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях, производные неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что снижает требования вариационно-сеточного метода (ВСМ) к базисным функциям. В результате создаются предпосылки для повышения точности приближенных решений. Немаловажна сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время5,6,7.

Важнейший недостаток ВСМ – высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, усиливается в смешанных ВСМ. Следствием одновременной и независимой аппроксимации функций и их производных является увеличенное число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ОФФ. Классические методики исследования сходимости метода Ритца и разностных схем становятся эффективными при изучении сходимости таких смешанных ВСМ. Приближенные решения для основной неизвестной функции и ее частных производных характеризуются уравновешенной гладкостью и точностью. Исключение части узловых неизвестных в аналитической форме до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, в которых определяются как температура, так и ее градиент, для реализации такого смешанного ВСМ требуется выполнение арифметических операций, число которых за счет исключения узловых значений градиента существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно и также дающую приближенные решения для температуры и ее градиента с уравновешенной точностью. Исключение неизвестных величин, связанных с аппроксимацией градиента температуры, становится возможным и тогда, когда в качестве базисных функций берутся ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева. Однако, такие базисные функции являются эффективными на интервалах и на областях большей размерности, если геометрия областей достаточно проста, и, кроме того, в отличие от финитных функций не приводят к системам сеточных уравнений (ССУ) с разреженными матрицами. В случае областей общего вида их заменяют ОФФ.

Первый по времени его создания ортонормированный базис вейвлетов (wavelets) с компактными носителями связан с функцией Хаара8, имеющей разрывы. До работ G.Battle9, I.Daubechies10, Y.Meyer11, J.O.Strömberg12, Ph.Tchamitchian13, P.G.Lemarié14, в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями10, считалось15, что ортогональность непрерывных базисных функций несовместима с их важным свойством, которое состоит в наличии у функций компактных конечных носителей и является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы ССУ разреженными. В работах10,16 построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа16,17. Но функции10,16 не являются симметричными и обладают сложной структурой. Полная симметрия вещественных ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями (за исключением базиса Хаара) недостижима10,16. Снижение степени несимметрии функций приводит к росту размеров конечных носителей функций16. Регулярность функций этих базисов, которая характеризуется величиной показателя Гёльдера, определяющего непрерывность функции по Гёльдеру, возрастает с ростом ширины их конечных носителей, что приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений в численных методах. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. Многомерные базисы вейвлетов строятся с помощью тензорных произведений одномерных функций16. I.Daubechies10 удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы I.Daubechies проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов. Возникают значительные трудности, препятствующие построению базисов, совмещающих отмеченные свойства базисов I.Daubechies и свойства сплайнов. Поэтому разработка ОФФ двух переменных, связанных с треугольными сетками, имеющих более высокие порядки аппроксимации и гладкость, обладающих свойствами симметрии, для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Решение этой задачи создает основу для построения смешанных ВСМ, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных ВСМ, а также основу для повышения качества математического моделирования и проектирования конструкций, эксплуатация которых связана с существенным влиянием тепловых полей. Построение таких ВСМ является актуальной задачей.

Объектом исследования являются поверхности твердых тел и процессы теплопередачи. Предметом исследования являются модели поверхностей твердых тел и процессов теплопередачи, численные методы их построения и исследования.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка новых фундаментальных элементов математического моделирования и их реализация в построении моделей, в алгоритмах численных методов и в комплексах программ.

Для достижения данной цели решались следующие задачи:

  • cоздание и исследование новых ортогональных финитных функций;

  • построение смешанного вариационного принципа;

  • разработка эффективных численных методов исследования математических моделей;

  • разработка эффективного численного алгоритма построения геометрических моделей;

  • построение комплексов программ, реализующих численные алгоритмы.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы: теория сплайнов, теория вейвлетов, теория ОФФ, вариационное исчисление, функциональный анализ, матричное исчисление, математическая физика, теория теплопроводности, метод наименьших квадратов (МНК), численные методы линейной алгебры, компьютерное программирование.

Научная новизна.

  1. Созданы базисные системы сеточных ОФФ второй степени на треугольных сетках, исследованы их свойства.

  2. Построена математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа.

  3. Разработаны новые алгоритмы численных методов решения двумерных краевых задач теплопроводности, поставленных в смешанной форме. Эти алгоритмы связаны с использованием построенного смешанного вариационного принципа, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Разработан также алгоритм численного метода решения краевых задач математической физики, поставленных в классической форме, новизна которого связана с применением кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Исследована теоретическая сходимость методов.

  4. Разработан комплекс программ ProbSol, реализующий смешанный численный метод.

  5. Создан комплекс программ GeomModel решения задач геометрического моделирования объектов на основе использования новых дискретных математических моделей, связанных с использованием ОФФ на треугольных сетках.

Основные положения, выносимые на защиту.

  1. Элементы математического моделирования и методов исследования математических моделей – две системы базисных ОФФ второй степени на треугольных сетках.

  2. Математические модели геометрических объектов, связанные с применением ОФФ на треугольных сетках.

  3. Математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа.

  4. Алгоритмы численных методов, связанные с использованием ОФФ первой и второй степеней на треугольных сетках.

  5. Комплексы программ ProbSol, GeomModel, соответственно реализующих алгоритм численного метода и численный алгоритм геометрического моделирования.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработаны новые фундаментальные элементы математического моделирования и методов исследования математических моделей. На их основе разработаны комплексы программ, с помощью которых выполнены расчеты, показывающие высокую эффективность применения ОФФ на треугольных сетках в задачах геометрического моделирования и в алгоритмах численных методов исследования математических моделей. Работа поддержана ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России”, ГК № П2230, ГК № П1122, проектом 2.1.1/11180 программы РНПВШ.

Личный вклад автора. Построение ОФФ, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка алгоритмов методов, их реализация в комплексах программ, расчеты, исследование сходимости.

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью применения математического аппарата, доказательствами теорем, исследованиями сходимости и численными решениями тестовых задач на ЭВМ с использованием разработанных комплексов программ.

Апробация работы проведена на II и III Международных научных школах-семинарах “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ” (Саранск, МГУ им. Н.П.Огарева, 2007, 2008 гг.), на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, УлГУ, 2009 г.), на X и XI Всероссийских Симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2009 г.; Кисловодск, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 научных работ, из них 2 работы – в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 106 наименований и приложения. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, основной текст диссертации изложен на 130 страницах. Работа включает 41 рисунок и 4 таблицы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 рассматриваются две методики построения ОФФ второй степени на треугольных сетках на основе модификации классических финитных функций второй степени на треугольных сетках. Первая методика приводит к построению комплексных ОФФ второй степени на треугольных сетках, вторая методикадействительных ОФФ второй степени на треугольных сетках. Исследуются аппроксимирующие свойства ОФФ, построенных по второй методике.

Производится разбиение области  на M треугольников Tm с N вершинами в точках Pi, Pj, Pk так, что каждая пара треугольников имеет либо общую вершину, либо общую сторону, либо не пересекаются. Объединение треугольников составляет  (если  – многоугольная область) или незначительно отличается от  вблизи ее границы в случае криволинейной границы.

Треугольнику Tm сетки – части конечного носителя финитной функции, сопоставляется треугольник S (рис. 1), одноименные вершины которого имеют координаты: P1(0, 0), P3(1, 0), P5(0, 1). С узлами P1, P2, P3, P4, P5, P6 связаны фрагменты шести классических квадратичных базисных функций:

, ,

, , , .



Рис. 1. Треугольник S

Каждая из этих функций равна единице в одном из шести указанных узлов и нулю в остальных узлах. Кроме названных точек для модификации классических функций используются также вспомогательные точки. На каждой из 12 подобластей Si вводится вспомогательная финитная функция, отличная от нуля только на области, номер которой соответствует индексу функции. Каждая из этих вспомогательных функций равна 1 в одном из четырех узлов Mi, 0 в узлах Pi, Hi и 1/4 в узлах i, i, i, δi, принадлежащих области, индекс которой совпадает с индексом функции:

, ,

,

, ,

.

На основе классических финитных функций f(Pi), вспомогательных функций fi(Mj) и коэффициентов In, Jn () формируются функции:

,
.

Коэффициенты In, Jn () находятся как решение системы уравнений


,

,


,


,

,

,
,
,
.

Первые пять уравнений формируются из условий ортогональности функций F(Pm) (). Шестое и седьмое уравнения обеспечивают выполнение условия равенства суммы функций F(Pm) () единице на всей области S, что является необходимым условием наличия аппроксимационных свойств у формируемых финитных функций. Выбор двух последних уравнений обусловлен симметричностью классических финитных функций, построенных в узлах P3 и P5, P2 и P6 треугольной части конечного носителя. Решению , , , , , соответствуют графики построенных функций, изображенные на рисунках 2, 3 и 4, 5.



Рис. 2. Первый вид модифицированной функции F(P1)


Рис. 3. Второй вид модифицированной функции F(P1)



Рис. 4. Первый вид модифицированной функции F(P4)


Рис. 5. Второй вид модифицированной функции F(P4)
Для построенных по данной методике функций доказана теорема об их аппроксимирующих свойствах. Использованы следующие обозначения: – подпространство построенных функций , где , – пространство непрерывных на функций с нормой , – банахово пространство функций, имеющих непрерывные в производные до порядка r включительно, (r = 0, 1, 2, …) – гильбертовы пространства с нормами

,

где ;; m, n = 0, 1, 2; .

Теорема. :

,

где Θ0 – минимальный из углов всех треугольников сетки, S – площадь области , . Постоянная C не зависит от параметров сетки и от функции u.
  1   2

Похожие:

Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconСемимартингальные математические и компьютерные модели в задачах смертности
Специальность: 05. 13. 18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconПрограмма кандидатских и приемных экзаменов в аспирантуру рнц ки по специальности 05. 13. 18 «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
По специальности 05. 13. 18 «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconПрограмма кандидатских и приемных экзаменов в аспирантуру рнц ки по специальности 05. 13. 18 «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
По специальности 05. 13. 18 «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconДвумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 13. 18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"
В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая...
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconМатематические модели и алгоритмы в исследованиях связи между структурой и свойствами органических соединений 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Работа выполнена в Московской государственной академии тонкой химической технологии (митхт) им. М. В. Ломоносова
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим и техническим наукам
В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая...
Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconМатематическое моделирование течений вещества в аккреционных звездных дисках 05. 13. 18 ─ Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconМатематическое и компьютерное моделирование динамического состояния систем передачи движения 05. 13. 18. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ iconМатематическое моделирование процессов самоорганизации в широкополосных системах 05. 13. 18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org