Основы теории экстремальных задач



Скачать 59.44 Kb.
Дата09.07.2014
Размер59.44 Kb.
ТипДокументы
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

доц. В.Б. Демидович, ст. преп. А.С. Кочуров, м.н.с. А.В. Рождественский

1 год, вечернее отделение

Глава 1. Общие сведения по функциональному анализу.

1. Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность ЛП. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества в НП. В-пространство. Подпространства линейных пространств.

2. Прямая сумма и прямое произведение ЛП. Нормировка для прямого произведения НП. О банаховости прямого произведения В-пространств. Факторизация ЛП по своему подпространству.

3. Плотные и компактные множества в НП. Сепарабельность НП. Гомеоморфность, изоморфность, изометричность между НП.

4. Линейные функционалы (ЛФ) в ЛП. Алгебраические операции для линейных функционалов в линейных пространствах. Непрерывные линейные функционалы (НЛФ) в НП и их нормировка. Об ограниченности линейных функционалов в НП. Гиперплоскости в НП. Формула расстояния от точки до гиперплоскости в В-пространстве. Теорема Хана-Банаха для НЛФ в НП. Алгебраическое сопряженное пространство к ЛП. Сопряженное пространство к НП. Аннуляторы в В-пространствах.

5. Линейные операторы (ЛО) в ЛП. Алгебраические операции для линейных операторов в линейных пространствах. Непрерывные линейные операторы (НЛО) в НП и их нормировка. Об ограниченности линейных операторов в НП. О сходящихся последовательностях НЛО в НП: сходимость, сильная сходимость, слабая сходимость. Критерий Банаха-Штейнхауза для сходимости последовательности НЛО в В-пространстве. Сопряженный оператор к НЛО в НП.

6. Обратный оператор для ЛО в ЛП. Понятия эпиморфности и мономорфности для линейных операторов. Критерий обратимости ЛО в ЛП. Условие непрерывности обратного оператора к НЛО в ЛП. Теорема Банаха о непрерывности обратного оператора к НЛО в В-пространстве. Об обратимости в В-пространстве НЛО, “близкого” к обратимому НЛО. Левый обратный и правый обратный операторы для ЛО в ЛП. Свойства левых обратных и правых обратных операторов для линейных операторов в линейных пространствах.

7. Предгильбертовы пространства: определение предгильбертова пространства, простейшие факты для предгильбертовых пространств, Н-пространства и дополнительные сведения о них, Е пространства.

8. Топологические пространства: определение топологического пространства, простейшие факты про топологические пространства, дополнительные сведения из теории топологических пространств, отделимость и хаусдорфовы пространства, метризуемость и метрические пространства, линейность и линейные метрические пространства, нормируемость линейных метрических пространств.

Глава 2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах.

1.
 Основные понятия о дифференцируемости 1-го порядка для операторов в нормированном пространстве: дифференцируемость, строгая дифференцируемость, слабая дифференцируемость, первая вариация.

2. Простейшие свойства дифференцируемых операторов.

3. О дифференцируемости суперпозиции операторов.

4. Формула конечных приращений для дифференцируемых операторов.

5. О строгой дифференцируемости операторов с непрерывными частными производными и о выражении соответствующего полного дифференциала.

6. Касательные и полукасательные вектора к точкам множества из НП.

7. Основные понятия о дифференцируемости 2-го порядка для операторов в НП.

8. Непрерывные билинейные операторы в НП. Об интерпретации второй производной и второго дифференциала оператора в НП с помощью билинейных и квадратичных форм.

9. О дифференцируемости 1-го и 2-го порядка:

а) конечномерных функций от многих переменных;

б) интегральных функционалов.

Глава 3. Основы выпуклого анализа в нормированных пространствах.

1. Аффинные, конические и выпуклые многообразия. Аффинные, конические и выпуклые комбинации элементов НП. Аффинные, конические и выпуклые оболочки для множеств в НП. Размерность аффинных, конических и выпуклых многообразий. О задании аффинных, конических и выпуклых многообразий своими оболочками от “базисных точек” рассматриваемых множеств. Понятие размерности для произвольного множества нормированного пространства. О специальных операциях для выпуклых множеств (выпуклое исчисление). О детализации выпуклых множеств. О топологических свойствах выпуклых множеств.

2. Характерные множества для функций со значениями на “расширенной” числовой оси (верхняя и нижняя эффективные области, эпиграф и гипограф). Собственные функции. Полунепрерывность и полукомпактность собственных функций. Классификация собственных функций, основанная на понятиях аффинности, конусности и выпуклости. Выпуклые и вогнутые собственные функции. Возможность сведения изучения вогнутых собственных функций к соответствующим выпуклым функциям. Свойства выпуклых собственных функций. Признаки выпуклости для дифференцируемых собственных функций. Первая и вторая сопряженные функции для собственной функции. Основные свойства сопряженных функций. О совпадении собственной функции со своей 2 ой сопряженной как критерии ее выпуклости и полунепрерывности снизу. Опорные функции для собственной функции. Критерий Минковского для выпуклости и полунепрерывности снизу собственной функции. Субградиенты и субдифференциал собственной функции. Сведения из субдифференциального исчисления: выпуклость и замкнутость субдифференциала, правила субдифференцирования, о критериях принадлежности субдифференциалу элементов сопряженного пространства, субдифференцируемость выпуклых функций.

Глава 4. Дополнительные сведения из абстрактного анализа.

1. Общий вид НЛФ в прямом произведении НП.

2. О банаховости фактор-пространства при факторизации В-пространства по своему подпространству.

3. О нетривиальности правого аннулятора для собственного подпространства В-про-странства.

4. О правом обратном операторе для эпиморфного НЛО в В-пространстве.

5. О замкнутости образа НЛО в прямом произведении В-пространств.

6. О правом аннуляторе ядра для эпиморфного НЛО в В-пространстве.

7. Обобщенная теорема о неявной функции с параметром.

8. Теорема Люстерника о касательном подпространстве в В-пространстве.

Глава 5. Основные принципы теории экстремальных задач.

1. Основные типы экстремальных задач (ЭЗ): выпуклые экстремальные задачи (ВЭЗ), гладкие экстремальные задачи (ГЭЗ), экстремальные задачи вариационного исчисления (ЭЗВИ), экстремальные задачи с управлением (ЭЗУ). Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Идея общего принципа Лагранжа для анализа ЭЗ. Сведение задач “максимизации” к соответствующим задачам “минимизации”.

2. Выпуклая экстремальная задача без ограничений (ВЭЗ б/о). Критерий минимизации для ВЭЗ б/о. Выпуклая экстремальная задача с ограничениями (ВЭЗ с/о). Теорема Куна-Такера о необходимых и о достаточных условиях минимизации для ВЭЗ с/о.

3. Гладкая экстремальная задача без ограничений (ГЭЗ б/о). Необходимые условия 1 го порядка для минимизации в ГЭЗ б/о. Об условиях 2 го порядка (как необходимых, так и достаточных) для ГЭЗ б/о. Гладкая экстремальная задача с ограничениями (ГЭЗ с/о). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации в ГЭЗ с/о. Об условиях 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) для ГЭЗ с/о.

4. Экстремальная задача вариационного исчисления без ограничений (ЭЗВИ б/о). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации ЭЗВИ б/о. Об условиях 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) для ЭЗВИ б/о. Экстремальная задача вариационного исчисления с ограничениями (ЭЗВИ с/о). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации ЭЗВИ с/о. Об условиях 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) для ЭЗВИ с/о.

5. Общая ЭЗУ с ограничениями типа равенств, неравенств, включения и дифференциальной связи. Формулировка необходимых условий минимальности для общей ЭЗУ. О достаточных условиях минимальности для общей ЭЗУ. “Понтрягинский подход” к исследованию общей ЭЗУ. Обоснование необходимых условий минимальности для общей ЭЗУ в “частном случае” (скалярная ситуации, с фиксированными концами интегрирования, отсутствием терминального члена у минимизируемого функционала, отсутствием ограничений-неравенств, наличием лишь простейшего краевого условия на левом конце интегрирования). Идея обоснования соответствующих условий минимальности в “общем случае”.
Литература

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.Оптимальное управление. М., Наука, 1979.

2. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М., изд -во МГУ, 1989.

3. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сбоник задач по оптимизации. М., Наука, 1984.

4. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. М., Наука, 2000.

5. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М., Эдиториал УРСС, 2000.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981.

7. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.

8. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

Похожие:

Основы теории экстремальных задач iconТеория оптимального управления
Дисциплина состоит из следующих разделов: введение в функциональный анализ (элементы теории линейных пространств и линейных операторных...
Основы теории экстремальных задач icon4тм-заочн. 2010/11 уч год основы теории колебаний основная литература 1
Культербаев Х. П. Основы теории колебаний. Основы теории, задачи для домашних заданий, примеры решений. Нальчик, 2003. 130 с
Основы теории экстремальных задач iconДополнительные главы теории экстремальных задач
Фундаментальные принципы функционального анализа: теоремы Банаха об открытости, Хана-Банаха, Банаха-Алоуглу-Бурбаки
Основы теории экстремальных задач iconПрограмма курса «Математические модели принятия решений»
Целью семинара является ознакомление с классическими результатами теории экстремальных задач и смежных разделов, а также с последними...
Основы теории экстремальных задач iconА. А. Тужилин 1 год, 2-5 курс, аспиранты в курсе излагаются основы новой теории, возникшей на стыке вариационного исчисления, теории графов и геометрии. Классическая вариационная задача
Для этих новых объектов ставятся аналоги классических вариационных задач. Причем диапазон приложений этих задач существенно расширяется...
Основы теории экстремальных задач iconРешение геометрических задач по планиметрии
При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории доказательств тех или иных утверждений. Но...
Основы теории экстремальных задач iconМетодические указания к самостоятельным и семинарским занятиям по теории графов Москва 2006
Предназначены для решения задач по теории графов как при самостоятельном изучении теории графов, так и при решении задач на семинарах...
Основы теории экстремальных задач icon2. Задача дисциплины
Изложить основы теории множеств и бинарных отношений, изложить основы теории вероятности и математической статистики. Изложить основы...
Основы теории экстремальных задач iconИзложены основы линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории рядов. Основные теоретические положения учебного материала сопровождаются решением задач
...
Основы теории экстремальных задач iconЛекции 66 часов Экзамен 5,6 семестр практические занятия 66 часа Диф зачет нет самостоятельная работа 20 часов
Постановка задач оптимизации. Локальный и глобальный экстремумы. Классификация экстремальных задач. Примеры
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org