Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень



Скачать 49.75 Kb.
Дата09.07.2014
Размер49.75 Kb.
ТипПрограмма
Экзаменационная программа по курсу «Линейная алгебра»,

2 семестр 2011/2012 учебного года – повышенный уровень

(Поток Чубарова И.А.)

  1. Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение общего решения неоднородной системы линейных уравнений в сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы уравнений.

  1. Понятие базиса конечной совокупности матриц данных размеров (в частности, строк или столбцов). Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга при помощи элементарных преобразований (алгоритм нахождения базисных столбцов).

  2. Базисный минор, равенство ранга матрицы порядку ее базисного минора. Вычисление ранга методом окаймления миноров. Критерий равенства определителя нулю.

  3. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение однородной и неоднородной системы линейных уравнений. Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли) и ее следствие (условие единственности решения). Теорема Фредгольма.

  4. Определение линейного пространства, простейшие следствия из аксиом. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, постоянство числа векторов базиса данного пространства, размерность. Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса.

  5. Подпространства в линейном пространстве. Примеры. Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Задание подпространства системой линейных однородных уравнений. Построение базиса (фундаментальной системы решений) в подпространстве решений однородной системы линейных уравнений. Понятие о точечном пространстве. Задание [гипер]плоскости системой линейных уравнений.

  6. Пересечение, сумма подпространств линейного пространства. Связь между размерностями суммы и пересечения двух подпространств (формула Грассмана). Прямая сумма подпространств, условия, при которых сумма является прямой суммой.

  7. Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Ядро и образ (множество значений) линейного отображения, связь их размерностей. Критерий инъективности линейного отображения. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности. Матрица линейного отображения и ее изменение при замене базисов; случай линейного преобразования. Инвариантность ранга и определителя.

  8. Действия с линейными отображениями (преобразованиями), матричная форма этих действий. Алгебра линейных преобразований. Обратимые линейные отображения (преобразования), критерии обратимости.

  9. Подпространства, инвариантные относительно линейного преобразования.
    Ограничение преобразования на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного преобразования при наличии нетривиального инвариантного подпространства и при наличии инвариантного дополнения.

  10. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора и матрицы. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Выражение определителя и следа матрицы через характеристические корни. Собственное подпространство, неравенство между размерностью собственного подпространства и кратностью характеристического корня.

  11. Диагонализируемые линейные преобразования (матрицы). Достаточное условие диагонализируемости (наличие n различных собственных значений) Критерии диагонализируемости. Формулировка теоремы Жордана. Применение диагонализируемости к решению квадратных систем линейных уравнений и возведению матриц в целую степень.

  12. Теорема Гамильтона-Кэли для (матрицы) линейного преобразования. Существование двумерного инвариантного подпространства, отвечающего мнимому корню характеристического многочлена, для линейного преобразования вещественного линейного пространства. Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду.

  13. Линейные функции на линейном пространстве, линейные операции над ними. Сопряженное пространство, равенство размерностей конечномерного пространства и сопряженного с ним. Сопряженный (биортогональный) базис сопряженного пространства. Координатная запись линейной функции в различных базисах. Второе сопряженное пространство, естественное вложение пространства во второе сопряженное (изоморфизм в конечномерном случае).

  14. Билинейные функции и формы, их матрицы. Симметрические и кососимметрические билинейные функции и формы. Изменение матрицы билинейной функции при замене базиса, инвариантность ранга и знака определителя (в вещественном случае).

  15. Квадратичные функции и формы, их матрицы, восстановление симметрической билинейной функции, задающей данную квадратичную функцию. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции для вещественных квадратичных форм. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.

  16. Евклидово пространство (пространство со скалярным произведением). Неравенство Коши-Буняковского (со случаем равенства). Длина вектора, угол между двумя векторами. Неравенство треугольника. Матрица Грама и ее определитель, запись скалярного произведения в координатах.

  17. Ортогональность векторов в пространстве со скалярным произведением. Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис, его построение по алгоритму ортогонализации (Грама-Шмидта). Ортогональность матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение к подпространству, разложение вектора на ортогональную проекцию на подпространство и ортогональную составляющую. Угол и расстояние между вектором и подпространством.

  18. Линейные преобразования евклидовых пространств. Преобразование, сопряженное к данному, его матрица. Теорема Фредгольма. Самосопряженное преобразование и его матрица. Свойства характеристических корней и собственных векторов самосопряженного преобразования; существование ортонормированного базиса из собственных векторов.

  19. Ортогональные преобразования, их матрицы. Свойства их характеристических корней, собственных значений и векторов. Канонический вид матрицы ортогонального преобразования. Ортогональные преобразования двумерных и трехмерных пространств.*

  20. Полярное разложение (матрицы) невырожденного линейного преобразования линейного пространства. Сингулярное разложение.

  21. Приведение квадратичной формы к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены переменных. Одновременное приведение к диагональному виду пары квадратичных форм, одна из которых положительно определённа.

  22. Применение теории квадратичных форм к ортогональной и аффинной классификации поверхностей второго порядка.*

  23. Унитарное линейное пространство. Эрмитовы (полуторалинейные) формы на линейном пространстве. Эрмитовы (самосопряженные) и унитарные преобразования.

  24. Понятие о тензорах. Основные тензорные операции. Симметрические и кососимметрические тензоры.*(в билетах не будет)

Рекомендуемая литература

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, Физматлит, 2004.

  2. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: МФТИ, 2006.

  3. Чехлов В.И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: МФТИ, 2000.

  4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2005.

  5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.

Похожие:

Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра» (2011/2012 уч г., направление «Экономика», I курс, 1 семестр)

Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconДиректортехникума 2 семестр 2011-2012 учебного года

Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconЭкзаменационные вопросы по курсу: "Линейная алгебра, второй семестр"
Дать определение антисимметрической функции линейной по всем аргументам. Доказать теорему о свойствах функций класса asl(m, n)
Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра»
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра» 2011/2012 уч г., спец. «Э», 1 курс, 3,5 г и 5 лет
Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconРасписание экзаменов осенний семестр 2011-2012 учебного года

Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconРасписание экзаменов 1 курс осенний семестр (1) 2011-2012 учебного года

Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 Экономика,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org