Общие теоремы динамики



Скачать 69.49 Kb.
Дата09.07.2014
Размер69.49 Kb.
ТипДокументы
Общие теоремы динамики

1) Теорема о движении центра масс

Центр масс системы движется как материальная точка, масс которой равна массе механической системе и к которой приложены все внешние силы.

Записывается в виде формулы





Дифференцируя по времени, получим:



Следствия:

1) Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то центр масс движется равномерно или прямолинейно или покоится.



2) Если сумма проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось есть величина постоянная.



Эти два следствия вместе называют законом сохранения движения центра масс.

2) Теорема об изменении количества движения (импульса)

Количеством движения материальной точки называется величина , равная произведению массы на скорость.

Количеством движения механической системы называется величина:



Рассмотрим сначала одну материальную точку.



После интегрирования получаем

.

Это и есть теорема об изменении количества движения материальной точки.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов, приложенных к точке сил.

Рассмотрим механическую систему



Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил за этот промежуток времени.

Следствия:

1) Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то количество движения системы есть величина постоянная.



2) Если сумма проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.



Эти следствия вместе называют закон сохранения количества движения (импульса).

3) Теорема об изменении кинетического момента

Моментом количества движения материальной точки относительно точки О называется величина



gif" align=bottom> – кинетический момент системы относительно точки О.



Момент количества движения и момент силы относительно точки определяются по аналогичным формулам, т.е. вместо вектора используется .

Для определения момента количества движения материальной точки и кинетического момента системы используются те же методы, что и для определения момента силы и главного момента системы сил.

Рассмотрим систему материальных точек.

На точки системы действуют внутренние и внешние силы, проведен радиус-вектор, получим:



Производная по времени от кинетического момента системы относительно точки равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно этой же точки.

Дифференциальные уравнения вращательного движения




Кинетическая энергия точки и системы

– кинетическая энергия точки

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы:



При определении кинетической энергии используют теорему Кенига.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии системы в относительном движении вокруг центра масс.



Кинетическая энергия твердого тела

1) Поступательное движение



2) Вращательное движение



3) Плоскопараллельное движение



Плоскопараллельное движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.



4) Сферическое движение

При сферическом движении скорости точек тела определяются как при вращательном движении вокруг мгновенной оси вращения.



5) Общий случай движения

Движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью центра масс и сферического вокруг центра масс.



Работа силы

Имеется точка М, к ней приложена сила ,

dr – перемещение точки М.

Элементарной работой силы называется величина:



Допустим, что точка перемещается из М0 в M1.

Работа силы на конечном перемещении равна:



Работа некоторых сил

1) Работа силы тяжести



2) Работа силы упругости



3) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу



Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим движение материальной точки





Изменение кинетической энергии материальной точки пир некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил при таком перемещении.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для этой отдельно взятой точки.



Просуммируем для всех точек системы:





Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил при таком перемещении.

В теореме об изменении кинетической энергии учитывается работа внутренних сил системы.

В общем случае сумма работ внутренних сил равна нулю. Работа внутренних сил равна нулю, если расстояние между точками системы остаются неизменными.

Пример

m1, m2, m3

s1, R2, r2, i2?

v1 – ?

Имеется система из трех тел. Известен путь s, пройденный 1 телом.



Найдем кинетическую энергию каждого из тел в отдельности, затем просуммируем:







Подставляем



Понятие о потенциальном силовом поле

Силовым полем называют часть пространства, в котором на помещенную туда точку действует сила, зависящая от времени и координат.



Если сила от времени не зависит – поле называют стационарным.

Силовое поле называют потенциальным, если существует некая силовая функция, зависящая от координат точек системы, такая, что проекции силы, действующей не данную точку, равны:



Найдем работу сил поля при некотором малом перемещении системы:



Физический смысл имеет только производная от силовой функции, поэтому ее определяют с точностью до const. В потенциальном силовом поле работа зависит только от начального и конечного положения точек системы и не зависит от траектории движения точки.

Иногда говорят, что силовое поле называется (является) потенциальным, если работа сил на замкнутом контуре равна нулю.

Для потенциального силового поля можно внести понятие потенциальной энергии.

Потенциальной энергией называют работу, которую могут совершать силы поля при переходе системы из данного положения в положение, принятое за нулевое.



Допустим, что точки системы перемещаются из положения 1 в положение 2. Так как работа не зависит от траектории, то можно считать, что работа равна сумме работ по перемещению точек системы из 1 положения в нулевое, а затем из нулевого во 2. Тогда:



Условия потенциальности силового поля



Теорема об изменении кинетической энергии.



Системы, в которых все силы являются потенциальными, называют консервативными. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной – это закон сохранения механической энергии.

Похожие:

Общие теоремы динамики iconОбщие теоремы динамики точки Теорема об изменении количества движения матер точки
Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы,...
Общие теоремы динамики iconЗакона динамики. Знать зависимости для определения силы трения. Содержание и задачи динамики
Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения,...
Общие теоремы динамики icon1. Введение в метод молекулярной динамики. Физические основы метода молекулярной динамики
В основе методов молекулярной динамики лежит модельное представление о многоатомной молекулярной системе, в которой все атомы представляют...
Общие теоремы динамики iconЗаконы и теоремы динамики системы частиц
Пусть имеется система, состоящая из частиц. Все силы, действующие на частицы системы, можно разделить на внешние и внутренние: -сила,...
Общие теоремы динамики iconПрименение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

Общие теоремы динамики iconИсследование пожарной динамики на основе данных дистанционного зондирования
Изучение динамики площадей гарей в зоне воздействия объектов нефтегазовой отрасли на примере освоения Юрубченского месторождения
Общие теоремы динамики iconПрограмма для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое
Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теоремы об экстремуме функций, формула Тейлора )
Общие теоремы динамики icon1. Пояснительная записка. Описание разделов программы: Некоторые теоремы планиметрии и стереометрии
Двугранный и трехгранный угол; теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла
Общие теоремы динамики iconМы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее
Эйлера. Сейчас принято называть теоремой (или формулой) Эйлера соотношение между числами вершин, ребер и граней многогранника, а...
Общие теоремы динамики iconЗакон электромагнитной индукции в формулировке Максвелла 5 Физический смысл теоремы Стокса в электродинамике 5
Формулировка теоремы о магнитном напряжении с учётом наличия переменного электрического поля 5
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org