Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и



Скачать 102.01 Kb.
Дата12.10.2012
Размер102.01 Kb.
ТипЛекция

Лекция №4. Бином Ньютона.


В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения:

и .

Можно раскрыть скобки при вычислении , и т.д., умножая полученный на предыдущем шаге результат на . Однако, имеет место формула (1), которая носит название формула бинома Ньютона, хотя это название исторически не является справедливым, поскольку ее знали еще среднеазиатские математики Омар Хайям (1048-1131), Гийас ад-Дин Джешид ал-Коши (нач. XV в.). В западной Европе до Ньютона ее знал Паскаль (1623-1662). Итак, сформулируем теорему.

Теорема. Для любого справедливо равенство

, (1)

где .

В сокращенной форме формулу (1) можно записать в виде

.

Числа называют биномиальными коэффициентами, а сформулированная выше теорема называется биномиальной теоремой.

Доказательство. Для доказательства теоремы для всех натуральных значений воспользуемся методом математической индукции.

При получаем . Следовательно, при формула (1) верна.

Предположим, что формула (1) верна при , т.е. имеет место равенство

.

Докажем теперь, что формула (1) верна при , т.е.

.

Для этого представим в виде gif" name="object20" align=absmiddle width=147 height=21> и для разложения множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим

(2)

Приводя подобные в (2), получим:

(3)

Заметим, , и, кроме того, справедливо тождество , поскольку

.

Следовательно, формулу (3) можно записать в виде

.

Итак, имеет место равенство . В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений . Теорема доказана.

Перечислим основные свойства биномиальных коэффициентов.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. или с использованием знака суммирования .

8. а) Если показатель бинома четный , то является наибольшим биномиальным коэффициентом и справедливы неравенства

и .

б) Если показатель бинома нечетный , то имеется два наибольших биномиальных коэффициента и справедливы неравенства

и .

Замечание. Свойство 8а и 8б являются следствие свойств 2 и 4.

Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .

Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :

.

Дифференцируя данное равенство, получим:

.

С другой стороны . Получаем равенство, справедливое при всех значениях :

.

При получаем доказываемое равенство:

.

Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.

Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :

.

Обе части равенства представляют собой многочлены от , поэтому .

Первообразная функции равна , где произвольная постоянная.

Первообразная функции, стоящей в правой части разложения бинома, равна , где произвольная постоянная.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

. (*)



. (**)

Сравнивая правые части в (8) и (**), убеждаемся в справедливости доказываемого равенства.

Общий член разложения


Обычно вводится обозначение общий член разложения, который имеет вид , где . Индекс внизу у члена разложения означает его порядковый номер, считая слева направо, в разложении бинома. Целесообразность представления порядкового номера определена тем, что при изменении от до получаются все члены разложения. Так

1-й член получим при , т.е. ;

2-й член получим при , т.е. ;

…………………………………………….

-й член соответственно есть ;

……………………………………………..

-й член .

Пример. Найти 8-й член разложения бинома .

Решение.

.

Пример. В разложения бинома найти член, не зависящий от .

Решение. Используя формулу общего члена разложения, получим

.

Для того, чтобы член не зависел от требуется, чтобы показатель степени у равнялся 0, т.е. . Последнее равенство возможно только при . Следовательно, не зависит от и .

Треугольник Паскаля.


Свойство 3 биномиальных коэффициентов позволяет вычислять биномиальные коэффициенты, используя только операцию суммирования, записав их в виде следующей ниже треугольной таблицы, называемой треугольником Паскаля.



1 1



1 2 1



1 3 3 1



1 4 6 4 1



1 5 10 10 5 1



1 6 15 20 15 6 1



1 7 21 35 35 21 7 1

.

………………………………………………………



1…………… ……….1



1…………. …..…………..1

В -й строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома , причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, равных 1, получается как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки.

Приведем некоторые свойства разложения бинома, т.е. правой части формулы (1).

1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома и равно .

2. Сумма всех показателей степени и каждого члена разложения равна показателю степени бинома, так как .

3. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой, так как для любого справедливо равенство . Это свойство называется правилом симметрии.

Пример. Найти наибольший член разложения .

Решение. Рассмотрим отношение к . В данном случае поскольку непосредственно используется номер члена разложения. Тогда .

Если , то , а если , . Так как при (члены возрастают), а при (члены убывают), то наибольший член .

Полиномиальная формула.


Ответ на вопрос, как раскрывать скобки при вычислении выражения дает следующая теорема, которая носит название полиномиальной теоремы.

Теорема. Выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида

,

где , т.е. имеет место формула

. (5)

Коэффициенты иначе называются полиномиальными коэффициентами и обозначаются , т.е.

.

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы для всех натуральных значений , как и в случае доказательства формулы бинома Ньютона, воспользуемся методом математической индукции.

При получаем. Так как , то правая часть полиномиальной формулы представляет сумму слагаемых, в которых поочередно одно , а остальные равны 0, т.е.



.

Соответственно, и левая часть . Следовательно, при формула (5) верна.

Предположим, что формула (5) верна при , т.е. имеет место равенство

Докажем теперь, что, что формула (5) верна при , т.е.

.

Для этого представим в виде произведения и для множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим









После приведения подобных в этом выражении, получим сумму слагаемых вида , где , коэффициенты при которых – результат суммирования членов





.

Следовательно, имеет место равенство



В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (5) для всех . Теорема доказана.

Замечание. Следует отметить, что формула бинома Ньютона – частный случай полиномиальной формулы при , т.е. и

Ответим на вопрос о количестве неподобных членов в правой части формулы (5). Для этого выясним, какой еще имеют смысл числа , кроме того, что они являются полиномиальными коэффициентами.

Рассмотрим элементов . Пусть для начала рассуждений они все различны. Будем из этих элементов составлять различные произведения, в которых присутствуют все элементы и никакое из них не повторяется. Различаются произведения только порядком следования элементов. Так на первую позицию можно поместить любой из элементов , на вторую уже любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых двух позиций получается . Далее аналогично, на третью – любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых трех позиций получается , и т.д. Окончательно получаем, что общее число произведений из элементов равно , т.е. . Говорят, что дает общее число перестановок из различных элементов .

Пусть теперь имеется различных элементов и из них составлено произведение из элементов, где может быть, как больше, так и меньше . Будем считать, что в произведении содержится раз, содержится раз, и т.д., причем . Учтем, что в произведений из элементов имеются одинаковые. Так выберем из произведений произвольное произведение элементов. В позициях находятся элементы (считая первоначально их элементами , их можно переставить способами), в позициях – элементы (считая их элементами , их можно переставить способами) и т.д.. Поскольку, в действительности, отмеченные внутри каждой указанной группы элементы неразличимы, то получается, что всего произвольно выбранному произведению из элементов соответствует таких же. Следовательно, общее число различных произведений, имеющих после группировки одинаковых множителей вид , равно .

Говорят, что дает общее число перестановок с повторениями элементов из видов элементов.

Общее число членов в разложении равно количеству способов представления числа в виде суммы целых неотрицательных слагаемых , т.е. . Представим как единиц разбитых на групп, причем группа может и не содержать единиц, для этого между группами поставим нули (всего получится нулей). Тогда каждому разложению в виде суммы слагаемых будет соответствовать набор из и нулей, т.е. (и наоборот каждому такому набору – разложение).

Всего таких наборов .

Так разложение содержит неподобных членов, а содержит членов и



Разложение содержит уже и становится достаточно сложно выписать все его члены.


Задачи для решения в классе


1. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что степень бинома равна 9. (Ответ. ).

2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего члена равен 45. (Ответ. )

3. Найти член разложения , не содержащий . (Ответ. ).

4. Найти член разложения , содержащий . (Ответ. ).

5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

6. При каких положительных значениях наибольшим слагаемым в разложении является шестой член разложения? (Ответ. ).

7. Найти члены разложения, не содержащие иррациональности в разложении . (Ответ. .)

8. Сколько рациональных членов содержится в разложении . (Ответ. .)

9. Найти 5-й член разложения бинома , если известно, что биномиальный коэффициент его четвертого члена относится к биномиальному коэффициенту его третьего члена, как . (Ответ. .)

Решить уравнения:

10. (). 11. ().

Решить неравенства:

12. ().

13. ().

10 (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .

11 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.

Задачи домашнего задания


1. Найти сумму биномиальных коэффициентов четных членов разложения, если известно, что степень бинома равна 11. (Ответ. ).

2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45. (Ответ. )

3. Найти номер члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).

4. Найти биномиальный коэффициент члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).

5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

6. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

Решить уравнения:

7. (). 8. .

Решить неравенства:

9. (). 10. ().

10 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.
Рекомендуемая литература.

1. Ежов И.И., Скороходов А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. Перев. с укр. – М.: «Наука», 1977, – 80 стр.

2. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы по математике. Книга 1. Дискретные объекты. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2002, – 368 стр.

3. Олимпиады, алгебра, комбинаторика / Под ред Л.Я. Савельева. – Новосибирск: «Наука», 1979, – 178 стр.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576 стр.





Похожие:

Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и icon«Бином Ньютона»
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но...
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconФормулы сокращенного умножения

Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconМатематический конструктор. Корни. Преобразование иррационального выражения с помощью формул сокращённого умножения, формулы,, правила «раскрытия модуля»
Преобразование иррационального выражения с помощью формул сокращённого умножения, формулы,, правила «раскрытия модуля»
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconФормулы сокращенного умножения и разложения на множители : (a±b)²=a²±2ab+b²

Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и icon«Формулы сокращённого умножения. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений»

Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconПрограмма экзамена для поступления в магистратуру по направлению «Педагогическое образование»
Основные содержательные линии школьного курса математики и их взаимосвязи. Выражения и тождественные преобразования в школьном курсе...
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconАлгоритм преобразования выражений с помощью формул сокращенного умножения
Однако в некоторых случаях данное действие можно заменить и выполнить короче с помощью формул сокращенного умножения
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и icon1 вариант Какие из данных 4 чисел: 7,5;, являются иррациональными?
Представьте в виде многочлена выражение, используя формулы сокращенного умножения
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconФормулы сокращенного умножения
«Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом» А. Франс
Лекция №4. Бином Ньютона. В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения: и iconМатематика тест 8 класс 2 вариант Какие из данных 4 чисел
Представьте в виде многочлена выражение, используя формулы сокращенного умножения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org