Методы исследования



Скачать 302.75 Kb.
страница1/3
Дата08.10.2012
Размер302.75 Kb.
ТипАнализ
  1   2   3
Введение.

Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач. Программа по геометрии предполагает изучение учащимися лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Цикл задач на построение правильных многоугольников вызывает интерес и восхищение красотой построений, но и забывается достаточно быстро. При этом слабо формируются умения абстрагировать, моделировать, работать с литературой, не происходит развитие интереса к предмету.

Многие не привыкли замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире, применять знания, полученные в геометрии в черчении, физике и практической жизни.

Объектом моего исследования являются правильные многоугольники, построенные с помощью циркуля и линейки.

Цель моей работы: рассмотреть различные способы построений, как точные, так и приближенные. При использовании приближенных способов построений вычислить погрешности и оценить возможность применения.

Методы исследования:

Анализ уже существующих способов построений.

Поиск новых, более точных способов приближенных построений и способов простых в применении.
Задачи:

- получить более полное представление о различных способах построений;

-   проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики;

-   показать связь геометрии с другими науками;

-   показать применение задач на построение в практической жизни;

-  продолжить развитие исследовательских умений


1.О построениях циркулем и линейкой

Каждый ученик, изучающий геометрию в школе, знает, как построить с помощью циркуля и линейки отрезок равный данному, угол равный данному, биссектрису угла. Сможет провести перпендикуляр к прямой и найти середину отрезка. При помощи циркуля и линейки можно строить новые отрезки, длины которых полу­чаются из длин уже имеющихся от­резков при помощи следующих опе­раций: сложения рис1 а), вычита­ния б), умножения в), деления г) и извлечения квад­ратного корня д). Последовательно проводя эти опе­рации, при помощи циркуля и ли­нейки можно построить любой отрезок, длина которого выражается через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Такие числа называются квадратичными иррациональностями. Можно дока­зать, что никакие другие отрезки по­строить при помощи циркуля и ли­нейки нельзя.



.

2. Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.

Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности.
В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.

Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и двух заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.

Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.

Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки.

Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.

3. Правильные многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется пра­вильным, если все его углы равны и все стороны равны. Квад­рат и равносторонний треугольник являются примерами пра­вильных многоугольников. Около любого правильного много­угольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружно­стей совпадают.
Так же существует и другое определение:

Правильным многоугольником на­зывается многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окруж­ности на одинаковых расстояниях друг от друга. Если у правильного многоугольника n вер­шин, то мы называем его правильным n-угольником. Если мы проведем п радиусов, соединяющих центр окруж­ности с вершинами, то получим п центральных углов величиной— каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и сам многоугольник.
Теорема: Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного мно­гоугольника равны, то он является правильным.
Доказательство. Рассмотрим многоугольник вписанный в окружность с центром О. Докажем снача­ла что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно дока­зать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он ле­жит по одну сторону от прямой. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины принадлежат одной и той же полуплоскости с границей . Рассмотрим полу­плоскость с границей , в которой лежит точка . Точка принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая пересекает дугу окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух общих точек, что невозможно. Точно так же вершина А5 и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказы­вается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из прямых .

Рис.2

Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: . Докажем, что углы много­угольника также равны:. Если п = 3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n > 3, и рассмотрим вершины (Рис.2). Треугольники равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то . Поэтому . Точно так же доказывается равенство других углов многоуголь­ника. Следовательно, многоугольник правильный.

Используя эту теорему, докажем следующее утверждение:

каково бы ни было натуральное число n, большее двух, суще­ствует правильный n-угольник.
Возьмем какую-нибудь окружность с центром О и разде­лим ее на п равных дуг. Для этого проведем радиусы этой окружности так, чтобы



(Рис.3, на этом рисунке п = 8).

Если теперь провести отрезки , то получим n-угольник . Треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому . Отсюда согласно доказанной теореме следует, — правильный n-угольник.

Итак, каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:

Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.


Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 (на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины В12, …, Bn соответственно дуг А1А2, А2 А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки В1и В2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 В2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка В2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек В1, В2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1 В1 А2 В2 А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике

Рис.4

На рис.4 по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1 В1 А2 В2 А3 В3 А4 В4.

Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, 2∙n -угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:

Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:

n=2р1∙р2...ps,


где m-целое неотрицательное число, а р1, р2,...,ps-различные между собой простые числа вида 2+1.

Рассмотрим примеры применения этой теоремы.

При m=0, s=1 число n имеет вид n=2+1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.

При m=0, s=2 имеем n= р1 р 2 . Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.

Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")

Число 7 простое, но оно не является числом вида 2+1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2∙32∙5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.

Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильный 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.

Гаусс показал, что правильный многоугольник с нечет­ным числом вершин может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма.

Что это нам дает для небольших значений n? Очевидно, треугольник и пятиугольник могут быть построе­ны, в то время как семиугольник не может быть построен, так как 7 не является простым числом Ферма. Не может быть построен и девяти угольник, так как 9=3∙3 является произ­ведением двух равных простых чисел Ферма. Для n=11 и n=13 соответст­вующий п-угольник не может быть построен, но он может быть построен для n=15=и n=17.

Открытие Гаусса, естественно, воз­родило интерес к числам Ферма. За последнее столетие были предприня­ты поистине героические поиски «вручную», без помощи машин, но­вых простых чисел Ферма. В настоя­щее время эти вычисления ведутся со все возрастающей скоростью при по­мощи ЭВМ, однако до сих пор резуль­таты были отрицательными. Ни од­ного нового простого числа Ферма пока не найдено. И сейчас многие ма­тематики склонны считать, что их больше нет.

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,…

4.Примеры построения n-угольников.

4.1 Построение правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.

Построение правильного шестиугольника.

Анализ. Пусть АВ (рис.) — сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса OA = R. Сторона АВ является хордой, стягивающей дугу в 60°. Треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому АВО==60°. Рассматриваемый треугольник АОВ равноугольный и, следовательно, равносторонний. Отсюда выте­кает, что AB = R, т. е.



Построение: Так как сторона правильного шестиугольника вписанного в данную окружность, равна радиусу этой окружности, то построение такого шестиугольника в том, что из любой точки окружности радиусом, равным радиусу окружности, на ней делают последовательно шесть засечек. Окружность окажется разделённой на шесть равных частей. Соединив последовательно точки деления хордами, впишем тем самым в окружность правильный шестиугольник.




Построение правильного треугольника.

Построение. Разделим окружность на шесть равных частей и соединим хордами точки деления через одну. Полученный вписанный треугольник ABC будет правильным, так как АВ = ВС = AC (черт. 68).

По формуле находим, что а3= 2R sin 60°. но sin 60° = , следовательно,
Построение квадрата.
1. Разделим окружность на четыре равные части.

Решение. Из произвольной точки А1 засекаем окружность радиусом, равным радиусу окружности (рис.7) в точке В, потом из точки В тем же радиусом засекаем окружность в точке С и из С — в точке A3. Точки и A3 -противоположные вершины квадрата. Для отыскания двух других вершин квадрата проводим из точек А1 и A3 дуги радиусом, равным А1С, до пере­сечения в точке D. Из точки А1 радиусом, равным OD, засекаем окружность в точках А2 и A4. Точки А2 и A4 искомые.
Доказательство.



Рис.7

2. Впишем в окружность данного радиуса квадрат и выразим его сторону через радиус.

Построение. Проводим в данной окружности два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD (рис.8). Точками А, В, С и D окружность разделилась на 4 равные части. Соединив последовательно отрезками точки А, В, С и D, получим квадрат.
По формуле находим, что а4=2R sin 45°, но sin 45°, следовательно, a4 =2R или т.е. сторона квадрата, вписанного в круг, равна радиусу квадрата умноженному на.



4.2. Построение правильного десятиугольника, пятиугольника, пятнадцатиугольника.
Построение правильного десятиугольника.
1. Разделим окружность на десять равных частей.

Решение. Строим последова­тельно пять вершинА1 A2, А3, A4 и A5 правильного шестиугольника (рис.9).

Рис.9

Из точек А1 и A4 радиусами, равными и, проводим дуги до пересечения в точке В. . Из точек A3 и A5 — радиусами, Равными , проводим дуги до пересечения в точке С. Докажем, что ОС = а10.

Доказательство. Точка С лежит на прямой. D —точка пересечения прямых A1CA4 и А3А5; (апофема правильного треугольника). Из прямоугольного треугольника A3DС имеем:



Деление окружности на десять равных частей при помощи одного циркуля было известно ещё Птолемею.
2. По данной стороне построить правильный десяти­угольник.

Решение. Из формулы а10 = выражающей сторону правильного вписанного десятиугольника через ра­диус r окружности, находим, что



Итак, зная сторону правильного десятиугольника, вписан­ного в круг, можно определить радиус круга и построить круг. Пусть АгВ = а10. Из точки В как из центра радиусом, равным— стороне десятиугольника, проводим окружность (рис.10). Строим последовательно пять вершин А1,A23,A4,A5 правильного вписанного шестиугольника. Из точек A1 и A4 радиусами AtA3 и A2A4 соответственно проводим дуги до их пересечения и в точке К; , где .

Из точек A3 и A5 радиусом, равным , проводим дуги до их пересечения в точке С.



Отрезок CA4 = а10 = —радиус круга, описанного около десятиугольника, сторона которого А1В дана.

Действительно, точка С лежит на А1В .Точка D лежит в середине отрезка А3А5; DA4 — апофема правильного треугольника, вписанного в круг радиуса а10,

а потому DA< = -f- Из прямоугольного треугольника

имеем:

Рис.10
.

Итак,

Т.е. равно радиусу круга, описанного около десятиугольника.

Для отыскания центра круга из точек At и В радиусом равным СА4, проводим дуги до их пересечения в точке О. Из центра О радиусом ОА1 проводим окружность. Откладывая последовательно от точки А1 десять раз дуги радиусом, равным At В , построим искомый десятиугольник.
Построение правильного пятиугольника.
1. Разделим окружность на пять равных частей.

Разделив окружность на десять равных частей, отмечаем точки деления через одну. Эти точки — вершины правильного пяти­угольника.
2.По данной стороне AB построить правильный пятиугольник

Описываем из центра А окружность радиусом АВ. Строим АН=а10=(-1). От B последовательно три раза засекаем окружность дугой, радиус которой равен АН; получаем точку С —вершину пятиуголь­ника. Действительно, = 108° (по построению). Итак, мы имеем три вершины искомого пятиугольника. Для получения двух других поступаем следующим образом: из точки В проводим дугу радиусом АВ и из вершины А —дугу радиусом, равным ВС, до их пересечения в точке D. Точка D -четвёртая вершина пятиугольника (диагональ ВС равна диа­гонали BD). Для получения пятой вершины Е из точек С и D проводим дуги радиусом, равным АВ.



Рис.11
Построение правильного пятнадцатиугольника.
Способ построения заключается в этом: центральный угол в правиль­ном 15-угольнике равени он может быть получен с помощью , угла в, соответствующего правильному пятиугольнику, и угла в соответствующего правильному тре­угольнику, если удвоить первый угол и вычесть из него второй.

Если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, 2∙n -угольник, где k - любое натуральное число. С другой стороны, из 2n- угольника можно получить n-угольник, исполь­зуя лишь каждую вторую вершину. Это показывает, что достаточно про­вести поиск многоугольников, ко­торые могут быть построены с по­мощью циркуля и линейки, только среди многоугольников с нечетным числом вершин.
5. История построения правильного 17-угольника.

"Математическая деятельность Гаусса, - пишет Феликс Клейн,- началась одним крупным открытием, которое привело его к твёрдому убеждению навсегда посвятить себя науке... 30 марта 1796 года ему – девятнадцатилетнему - удалось показать, что правильный семнадцатиугольник может быть построен с помошью циркуля и линейки", т. е. совершить прорыв в проблеме, где не было никакого прогресса в течение свыше 2000 лет. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Потомки постарались выполнить завещание великого учёного. Они воздвигли ему памятник (на родине, в Брауншвейге), который стоит на постаменте, являющемся правильным семнадцатиугольником. Но если не знать этого, то и не заметишь: правильный семнадцатиугольник почти неотличим от круга.

Угадать спо­соб построения правильного семнадцатиугольника в рамках традицион­ных геометрических методов времени Евклида (подобие треугольников и т. п.) было практически невозмож­но; это открытие по существу при­надлежит другой эпохе в математике

Для построения правильного семнадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, достаточно построить отрезок длины cos ( рис.12). Однако для этого построения Гауссу потребовались некоторые соотношения в комплексных числах, он получил следующее выражение для cos :
cos
= -1+++ .

.

Рис.12

6.Приближённые построения.
6.1Приближённое построение правильного пятиугольника.

Приближенное построение правильного пятиугольника способом А. Дюрера.


Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник."

Рис. 13

6.2 Приближённое построение девятиугольника.
Сторона правильного девятиугольника, выраженная через радиус R описанной окружности, имеет длину, равную R.
Способ Герона.

Еще в I в. Герон Александрийский указал при­ближенное значение длины стороны этой фигуры, приняв ее равной двум третьим радиуса. Нетрудно подсчитать, что сторона правильного девяти уголь­ника окажется 0,(6). Таким образом, абсолютная погрешность составляет 0,0174. Для практических нужд это приближение вполне удовлетворительно, поскольку его погрешность соответствует возмож­ностям обычных чертежных инструментов.

  1   2   3

Похожие:

Методы исследования iconРабочая учебная программа спецкурса св. В. 01 «Методы лингвистических исследований и история лингвистических учений»
Методы исследования фонетического уровня языка. Методы исследования единиц морфологического уровня и предложения
Методы исследования iconТема. Методы исследования деятельности сердца
Современные методы исследования многообразны – это электрокардиография, в том числе высокого разрешения (экг вр), мониторинг Холтера,...
Методы исследования iconИсследование операций в экономике Математические методы и модели исследования операций
Методическое пособие предназначено для студентов 4-го курса специальности «Математические методы и исследование операций в экономике»...
Методы исследования iconМетоды исследования структуры медицинских данных methods for studying the medical data structure
Рассмотрены методы структурного анализа многомерных данных (кластерный анализ и методы визуализации) в медицине. Проанализирована...
Методы исследования iconОсновное содержание учебной дисциплины
Прямая и обратная задачи методов. Спектроскопические методы исследования. Дифракционные методы. Оптические и другие методы. Характеристическое...
Методы исследования iconПрограмма курса «качественные исследования в социологии»
Полевые материалы и практики полевого исследования. Естественные методы, триангуляция
Методы исследования iconПрограмма дисциплины методы оптимизации и модели исследования операций для направления 080100. 62 «Экономика»
Требования к студентам. Курс “Методы оптимизации и модели исследования операций” предназначен для студентов ш курса нф гу вшэ специализации...
Методы исследования iconСоциология массовой коммуникации: предмет и методы исследования
М 294 Мартынов, М. Ю. Социология массовой коммуникации: предмет и методы исследования : учеб пособие / М. Ю. Марты-нов, Е. В. Иванчихина;...
Методы исследования iconGief ru Кафедра информационных технологий методы исследования и моделирование
Направления и методы анализа национальной и региональной экономики. Система статистических показателей
Методы исследования iconСтатья А. К. Соколов 3 Предисловие 16 процесс исследования 19
Мангейм Д. Б., Рич Р. К. Политология. Методы исследования: Пер с англ. — М.: Весь Мир, 1999. — 542 с.: ил
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org