Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство



Скачать 95.75 Kb.
Дата12.10.2012
Размер95.75 Kb.
ТипЛекция
Тема 2.
Лекция 6. Векторное пространство.

Основные вопросы.

1. Векторное линейное пространство.

2. Базис и размерность пространства.

3. Ориентация пространства.

4. Разложение вектора по базису.

5. Координаты вектора.
1. Векторное линейное пространство.
Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции : сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами, а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии : . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т.д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V1 , множество компланарных векторов V2, множество векторов обычного (реального пространства) V3 .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.
Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.
Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.
Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента и любого действительного числа λ определено произведение называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам) :

1) сложение коммутативно, т.е. ;

2) сложение ассоциативно, т.е. gif" name="object9" align=absmiddle width=138 height=20>;

3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого ;

4) для каждого вектора существует противопо-ложный вектор -, такой что ;

5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;

6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство ;

7) для любого и любых чисел λ и µ справедли-во ;

8) для любого .
Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :
1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента выполняется равенство .

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора выпол-няется равенство .

5. Из равенства следует одно из двух равенств:

6. Вектор является противоположным для любого вектора .

Существование противоположного вектора определяет возможность вве-дения для вектора рассматриваемого пространства операцию вычитания как операцию, обратную операции сложения.

Разностью векторов называется вектор , удовлетворяющий равенству .

Разность векторов обозначается так : .

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.
2. Базис и размерность пространства.
Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.
Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке .

Базисом в обычном пространстве – три некомпланарных вектора, взя-тые в определенном порядке .

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т.е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.
Итак, в соответствии с данными определениями :

  1. Одномерным пространством V1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора .

  2. Двумерным пространством V2 является плоскость, базис этого прост-ранства состоит из двух неколлинеарных векторов .

  3. Обычное пространство является трехмерным пространством V3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .


Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.
Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства .
В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.
Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.

3. Ориентация пространства.


Пусть базисные векторы в пространстве V3 имеют общее начало и упорядочены, т.е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации.











Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .

Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т.е. на два непересекающихся подмножества.

а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;

б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .

Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным , а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .

Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .

Согласно критерию наблюдателя базис называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора ко второму вектору осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).










0 0




а) б)



Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)
Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства

Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.

По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).

Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.

Аналогично поступают и в случае пространства V2 (плоскости).
4. Разложение вектора по базису.
Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R3 .

Пусть - линейно независимые векторы (базис) пространства R3 а - произвольный вектор этого пространства.
Теорема. Любой вектор пространства R3 однозначно представим в виде линейной комбинации трех линейно независимых век-торов этого пространства, т.е.

(3)
Представление произвольного вектора в виде линейной комбинации ба-зисных векторов называется разложением этого вектора по базису.

Например, выражение означает, что вектор разложен по базису .
5. Координаты вектора.

5.1. Понятие о координатах вектора.
Из рассмотренного выше следует, что фиксированный базис позволяет сопоставить каждому вектору пространства R 3 упорядоченную тройку чисел (а пространству R 2 – плоскости, - упорядоченную двойку чисел), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по векторам базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи бази-са сопоставляется единственный вектор пространства, если составим линейную комбинацию (аналогично и для пространства R 2 и вообще R n ).
Определение. Если - базис и вектор , то числа называются координатами вектора в данном базисе.

Обозначение : или, в конкретном случае .

Вполне очевидно, что если в пространстве R выбрать другой базис, то тот же вектор будет иметь другие координаты.
5.2. Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть векторы и разложены по базису :





Известно, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т.е. , где хотя бы одно из чисел λ1 или λ2 отличны от нуля.

Для определенности положим . Тогда



Откуда соотношение между координатами векторов (на основе аксиомы 5)



или их отношения

(7) Следовательно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат в данном базисе.

Выводы :
1. Векторное пространство характеризуется размерностью, базисом и ориентацией.

2. Каждый вектор пространства R n разлагается по его базису единствен-

ственным способом, коэффициенты при базисных векторах в этом разложе-нии называются координатами вектора.

Похожие:

Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconДифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве
Пусть трехмерное точечное пространство, геометрическое векторное пространство. Множества будем называть промежутком и обозначать....
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconЛекции по теории и приложениям искусственных нейронных сетей, Рига,2007 Лекция Сведения из высшей математики
Векторное пространство. Базис. Ортогональные проекции. Гиперсферы и гиперповерхности. Матрицы. Линейные преобразования
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconЛинейное (векторное) пространство над полем P
Пусть дано поле P. непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены...
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconП-мерное векторное пространство
Выше было введено определение п-мерного вектора, как упорядоченного множество п чисел
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconП-мерное векторное пространство
Выше было введено определение п-мерного вектора, как упорядоченного множество п чисел
Лекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство iconЛекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов
В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org