Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела



Скачать 172.12 Kb.
страница1/3
Дата09.07.2014
Размер172.12 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3

Кинематические инварианты и распределение скоростей …

УДК 621.01

СТ. Н. БЪЧВАРОВ, В. Д. ЗЛАТАНОВ

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ НАИБОЛЕЕ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Введение

Движение твёрдого тела в наиболее общем случае рассмотрено во множестве работ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12 ,13, 14, 15]. Основной вопрос – определение закона распределения скоростей точек тела

.

(1)

В соответствии с этим законом скорость произвольной точки М тела равна геометрической сумме скоростей произвольно выбранной точки тела, принятой за полюс, и скорости вращательного движении этой точки вокруг полюса (Эйлер).

Для выведения формулы (1) обыкновенно используют два метода. Первый базируется на теореме Эйлера и понятиях конечного и бесконечно малого поворота тела. Второй способ связан с введением двух координатных систем, одна из которых неподвижна, а вторая жёстко связана с телом; исследование движения тела сводится к исследованию движения подвижной координатной системы относительно неподвижной [8, 9, 10].

2. Цель исследования

В работе подробно рассматривается получение формулы (1) на основе первого метода, который назовем синтетическим. Затем на базе определенных инвариантов движения анализируется распределение скоростей точек тела.

3. Относительно вывода закона распределения скоростей

Известно, что положение абсолютно твёрдого тела в пространстве определяется положением трёх его точек, не лежащих на одной прямой. Ввиду этого перемещение тела в общем случае может быть сведено к перемещению одного жёстко связанного с телом треугольника (рис. 1), определяемого тремя точками А, М, N. Одна из этих точек, например, А, выбирается за полюс, и около неё строится сфера произвольного радиуса. Эта сфера пересекает твёрдое тело по сферической фигуре, на которой выбираются две точки M и N, лежащие на одной окружности. При движении тела эта фигура перемещается вместе со сферой и одновременно скользит по ней. Таким образом однозначно определяется положение треугольника AMN и тела.

Справедлива следующая теорема: всякое перемещение тела в пространстве может быть осуществлено посредством одного поступательного перемещения, определенного полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через этот полюс (обобщенная теория Эйлера–Даламбера).

Для доказательства примем точку А за полюс (рис. 1, а).
Для перехода тела из положения А0М0N0 в положение АМ`N` совершаем сначала поступательное перемещение , переводящее тело из положения А0М0N0 в положение АMN. Перемещение тела из положения AMN в положение AM`N` является перемещением при неподвижном полюсе А. Следовательно, согласно теореме Эйлера, оно может быть осуществлено одним поворотом вокруг оси AJ, проходящей через полюс А. Для доказательства проведём дуги больших кругов MM` и NN`, отметим их середины M1 и N1 и через них проведём перпендикулярные к предыдущим дугам большие круги. Такие круги всегда пересекутся; обозначим точку их пересечения через P. Из равенства сферических треугольников MPN и M`PN` следует, что треугольник MPN может быть совмещён с треугольником M`PN` одним поворотом на угол MPM` вокруг центра P. Так как при таком перемещении точки А и P останутся неподвижными, то и прямая АP останется неподвижной, то есть она будет служить осью поворота тела, что и доказывает теорему Эйлера.



Рис. 1

Предположим, что тело произвело такое перемещение. Конечное перемещение произвольно выбранной точки М тела будет иметь вид:

,

(2)

где является поступательным перемещением тела, а – перемещением в результате поворота тела вокруг оси AJ на угол . Перемещение является разностью между радиус-векторами и точки М в начальный и конечный момент вращения относительно полюса А. Так как эти векторы связывают полюс А с одной и той же точкой М тела, они имеют одну длину (рис. 1, б).

Для определения перемещения в результате поворота тела на угол около оси AJ, необходимо задать направление этой оси единичным вектором . Это направление выбирается таким образом, чтобы с конца этого вектора вращение тела происходило против часовой стрелки. Определим перемещение через угол и векторы и .

Ясно, что векторы и являются образующими кругового конуса, по оси которого направлен единичный вектор . Очевидно, что их проекция на ось вращения остается неизменной, т.е.

.

(3)

Тогда составляющие, перпендикулярные оси, будут иметь вид:

.

(4)

.

(5)

Из рис. 1, б непосредственно имеем:

,

(6)

т.к. M1 является серединой и . Отмечаем, что и вектор имеет направление векторного произведения , где имеется ввиду, что и учтены равенства (4) и (5).

Таким образом, равенство (6) может быть записано в виде:

,

(7)

или результат может быть приведен к форме:

.

(8)

Формула (8) известна как формула Родрига.

Для решения этого уравнения относительно умножим уравнение векторно слева на . Учитывая, что , и равенство (3), получаем

.

(9)

Из (8) и (9) определяем . Для этого умножаем (8) на , и полученный результат суммируем с (9). Получаем

.

(10)

Эту формулу преобразуем к виду:

.

(11)

Здесь последние два слагаемых дают двойное векторное произведение: , вследствие чего формула (11) может быть представлена как

.

(12)

Здесь вводится вектор

,

(13)

названный условно вектором конечного поворота. Вектор конечного поворота сонаправлен с ортом и имеет величину . Перемещения точки М вокруг полюса А находится из соотношения:

.

(14)

Предположим, что тело совершило малое перемещение в пространстве. Тогда поступательное перемещение и элементарный угол поворота будут малыми. Вводим вектор бесконечно малого поворота , для которого из (13) получаем:

,

(15)

поскольку в первом приближении . Он равен по величине углу поворота и направлен по оси конечного поворота АJ в рассматриваемый момент. Отметим, что угол бесконечно малого поворота в общем случае не является дифференциалом какого-либо угла.

Бесконечно малое перемещение точки М вокруг полюса А может быть определено из (7). Принимая, что при , имеем , и из (7) получаем:

.

(16)

Этот результат следует непосредственно из (12), если пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков.

Величина векторного произведения , а его направление перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс А и содержащей векторы и . Это относительное (“вращательное”) перемещение удовлетворяет одному основному свойству: длина вектора , связывающего две точки тела, остаётся неизменной. Таким образом, . Варьируя это равенство, находим:

,

(17)

т.е. . Замещая здесь из (16), получаем: , т. е. перемещение действительно перпендикулярно вектору .

Общее бесконечно малое перемещение точки М, согласно (2), будет иметь вид:

,

(18)

где: . Определяя скорость как предел отношения малого перемещения к интервалу времени при и на основе (18) находим:

.

Введя вектор угловой скорости

,

(19)

получаем формулу:

,

(20)

где – скорость полюса А, а , которая и является законом распределения скоростей.
  1   2   3

Похожие:

Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела icon2 ст. Н. Бъчваров, В. Д. Златанов об определения вектора углового ускорения абсолютно твердого тела 1
Известно, что скорость произвольной точки м абсолютно твердого тела определяется формулой
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconТема: Термодинамика Лекция 3 Распределение Максвелла
Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются...
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconРешение проблемы Дарбу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
Эйлера угол процессии, угол собственного вращения, угол нутации. Кинематические уравнения Эйлера имеют вид /1
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconЗаконы сохранения в механике 6 Элементы специальной теории относительности 1
На приведенных ниже рисунках изображены кинематические характеристики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconСеминар №10 геометрия масс твердого тела рисунок 1 Момент инерции твердого тела относительно оси
Эта симметрическая матрица определяет тензор инерции тела
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПростейшими видами движения абсолютно твердого тела являются поступательное и вращательное движения
Мгновенная скорость материальной точки при поступательном движении определяется, как Вектор скорости направлен по касательной к траектории...
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма дисциплины «Физика твердого тела»
Цель курса изложить теоретические основы физики твердого тела с уклоном на физические свойства и процессы, протекающие в полупроводниковых...
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма дисциплины дпп. В. 03 «Физика твердого тела» Специальность 032200. 21 Физика с дополнительной специальностью математика
Цель изучения дисциплины "Физика твердого тела" заключается в ознакомлении студентов со структурой и физическими процессами, которые...
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела icon3. Кинематика твердого тела
Абсолютно твердым телом или просто твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния...
Бъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма : 20 Спектроскопия твердого тела Руководитель программы: проф д. ф м. н. Б. В. Новиков Кафедра физики твердого тела
Формирование упорядоченных массивов нитевидных нанокристаллов материалов aiiibv методами электронной литографии
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org