Формула суммы n-первых членов



Скачать 105.61 Kb.
Дата08.10.2012
Размер105.61 Kb.
ТипДоклад
Тема: «Формула суммы n-первых членов

арифметической прогрессии
Цель: вывести вместе с учащимися формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии; сформировать навыки использования этих формул на практике; познакомить учащихся с краткой биографией К.Гаусса и его достижениями в математике, физике и астрономии.

Воспитательная цель: воспитание чувства коллективизма, взаимопомощи и ответственности друг за друга
I.Организационный момент.
Приготовить к уроку:

  • мультимедийный проектор; компьютер

  • компьютерные программы (слайды), карточки для устного счёта;

  • портрет Гаусса; стихотворение о математике;

  • фигуры «треугольника», «квадрата» и «круга»


Результаты работы учащихся отображаются в таблице (см. приложение) и в конце урока отображаются на экране с помощью проектора.
II. Выступления учащихся. 5 мин.


  1. Чтение стихотворения о математике:


О, математика, ты вечна!

Гордись, прекрасная собой!

Твоё величье бесконечно,

Так предначертано судьбой.

Всегда овеяна ты славой,

О, светоч всех земных светил!

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.



  1. Доклад про К.Гаусса (см. приложение)


III. Вступительное слово учителя. 1 мин.
Арифметика (от греч. «arithmos» - число) часть математики, изучающая простейшие свойства чисел, в первую очередь, натуральных и дробных. Тема наших уроков – прогрессии, на которых мы, в основном, работаем с числами, т.е. занимаемся арифметикой. И сегодня цель нашего урока – вывести формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и научиться использовать их на практике.
IV. Устные упражнения. 5 мин
Задания демонстрируются на проекционном экране с помощью компьютера и мультимедийного проектора.

Образцы заданий – в приложении.


V. Знакомство с новым материалом.
Запишите в тетрадь тему урока.
а). Психологический тест. 4 мин.

Чтобы нам интереснее было работать, я хочу разделить вас на группы, пусть даже небольшие. Может случиться так, что вы все окажетесь в одной группе, в двух, в трёх. Проведём такой психологический тест: выберите ту геометрическую фигуру, которая на ваш взгляд вам больше всего подходит, или просто нравится.

(Я показываю три фигуры: треугольник, квадрат и круг)

Теперь те, кто выбрал «треугольник», садимся за первую парту, кто выбрал «квадрат» - за вторую, «круг» - за третью.

Итак, группы определились и, оказывается, не случайным образом.


«Треугольник» символизирует лидерство. Самой характерной особенностью человека, выбравшего этот символ, является концентрироваться на главной цели. Это сильная, энергичная, неудержимая личность. «Треугольник» ставит ясные цели и старается, по возможности, их выполнить.

«Квадрат». Основные качества человека, выбравшего эту фигуру – трудолюбие, усердие, потребность доводить начатое дело до конца, упорство в достижении цели. Квадрат любит порядок: всё должно находиться на своих местах и происходить вовремя.

«Круг» - самая доброжелательная фигура. Обладатель этого символа счастлив, когда все ладят друг с другом; круг ощущает чужую радость и боль, как свою собственную. Это очень чувствительная и эмоциональная фигура.
б). Знакомство с новым материалом. 10 мин.

Итак, наша задача – научиться складывать числа, являющиеся членами заданной арифметической прогрессии.

Решим для начала простенькую задачу: пусть требуется сложить числа от 1 до 10.

Чья группа это быстрее сделает? Начали. (Получается 55 ). Как вы складывали? А можно было быстрее сложить: (записано на доске)

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11·5=55

А теперь усложним задачу. Сложим числа от 1 до 100. Напугались? А если от 1 до 1000?... Значит, надо найти хитрый способ, чтобы быстро решить эту задачу. Я предлагаю вам вот что. Только будьте внимательны, этот способ вы потом будете использовать при самостоятельном выводе формулы суммы членов арифметической прогрессии.
Обозначим сумму этих чисел буквой S и запишем:
S = 1+2+3+4+ . . . + 9+10
Теперь перепишите эту сумму в обратном порядке:
S = 10+9+8+ . . . + 2 + 1

Сложите почленно эти равенства, что получилось? 2S = 11 +11+11+ . . . +11+11. Сколько таких слагаемых? Да, 10. Значит, 2S = 11 * 10 = 110; Тогда S = 55. Согласитесь, что вторым способом мы легче посчитали сумму чисел?
А ещё проще будет работать, если мы выведем формулу n-первых членов арифметической прогрессии.
(Используется компьютерная программа (слайды). Демонстрируется последовательно с выводами учащихся через диапроектор.

Вторая формула выводится на этом же уроке тоже с применением программы и диапроектора).
Выводы.

  • Формула I используется тогда, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии;

  • Формула II – когда известны первый член и разность прогрессии.



VI. Закрепление материала 10 мин.
Оставайтесь на своих местах, в тех же группах. Так вам веселее и легче будет работать.

369. а). a1 = 3

an = 60

S60 - ? Какой формулой будем пользоваться? (первой)

Решаем самостоятельно.
Решение.

б). a1 = 10,5 Решение.

a60 = 51,5

S60 - ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------




370. Проанализируйте условие задачи. Какой формулой будем пользоваться?



а). -23; -20; . . .

d = -20 – (-23) =3; n = 8



b). 14,2 ; 9,6 ; . . .

d = 9,6 – 14,2 = -4,6 ; n = 8


VII.Резерв. Занимательная задача на повторение материала.

Найдите ошибку в софизме. 5 мин.
(демонстрируется через проектор (см. приложение)


VIII.Подведение итогов урока. 2 мин.
Таблица «Результаты работы на уроке» (см. приложение)


IX.Домашнее задание. 3 мин.





№ 371, № 373, пункт 17.
Заключительное слово учителя:
Есть в математике молва, что она в порядок ум приводит.

Потому хорошие слова часто говорят о ней в народе.

Ты нам, математика, даёшь для победы трудностей закалку.

Учится с тобою молодёжь развивать и волю, и смекалку.

И за то, что в творческом труде выручаешь в трудные моменты,

Мы сегодня искренне тебе посылаем гром аплодисментов!




Приложения

ГАУСС Карл Фридрих (1777-1855)

* * *

ГАУСС Карл Фридрих (родился 30 апреля 1777, в городе Брауншвейг, (ныне Геттинген, Германия), немецкий математик, астроном, геодезист и физик.

Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он был единственным сыном бедных родителей. Школьные учителя были так поражены его математическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение обучения в школе и в Геттингенском университете. Степень доктора Гаусс получил в 1799 в университете Хельмштедта.

Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики — теории чисел и высшей алгебры. Он решает стоявшую с античных времен проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный 3х - 5-ти и 17-ти-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семерка не гауссово простое число. Гаусс предложил также способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена).

С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена равно степени многочлена.

Занимая с 1807 кафедру математики и астрономии Геттингенского университета и возглавляя астрономическую обсерваторию того же университета, Гаусс на протяжении более двух десятилетий занимается изучением орбит малых планет и их возмущений.

В 1830-40 гг. Гаусс много внимания уделяет проблемам физики. В 1832 он создает так называемую абсолютную систему единиц, приняв за основные три единицы; единицу времени -

1 с, единицу длины - 1 мм и единицу массы - 1 г.

Многие исследования Гаусс не публиковал при жизни. Они сохранились в виде очерков, набросков, переписки с друзьями. Изучением этих трудов до Второй мировой войны занималось Геттингенское научное общество, которому удалось издать 12 томов сочинений Гаусса.

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ


  1. Найдите первые 5 членов арифметической прогрессии, заданной

формулой:



а) xn = 2n – 1 ; б) xn = 2n + 1 ; в)



  1. Назовите члены арифметической прогрессии, расположенные

между:

x20 . . . . .x25

an . . . . . an+5

bn-4 . . . . .bn ?

cn-1 . . . . .cn




3.



Выразите

через a5; а10; аn+1; an+5

a1 и d




Выразите

через an+2; аn+5; an4

an и d

Найдите ошибку в софизме:
Рассмотрим систему уравнений:




Решим её способом подстановки. В первое уравнение вместо x подставим выражение




Получим:

Раскроем скобки: 4 – y + y = 8; 4 = 8, или 2 · 2 = 8.

Где ошибка?

Ответ: ошибка в самой системе, т.е. в условии самой задачи

Результаты работы на уроке


п/п


Фамилия, имя ученика


Устная работа


Выводы формул


369


370

Дополнительные ответы

Оценка

ЗА УРОК


1.

















2.

















3.

















4.

















5.

















6.

















7.

















В квадратики ставятся оценки

Похожие:

Формула суммы n-первых членов icon«Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии»
Научиться находить сумму n-первых членов геометрической прогрессии используя формулы
Формула суммы n-первых членов iconВычисление суммы членов бесконечного ряда
Вычислить на ЭВМ значение суммы членов ряда () с заданной точностью ε. На печать вывести значение суммы и число членов ряда, вошедших...
Формула суммы n-первых членов iconФ ормула суммы
Цели урока: вывести формулу суммы первых членов арифметической прогрессии; рассмотреть задания с применением этой формулы; рассмотреть...
Формула суммы n-первых членов iconУрок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии
Цели: Обобщить знания по формулам геометрической прогрессии, проверить знание теоретических основ темы, закрепить навык работы с...
Формула суммы n-первых членов iconЗнать: Определение арифметической прогрессии, разности арифметической прогрессии
Основная цель: выработать навык решения задач с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов
Формула суммы n-первых членов iconУрок алгебры 9 класс Тема урока: "Прогрессии"
Образовательные – продолжить работу над определениями арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых...
Формула суммы n-первых членов iconТехнологическая карта
Изучить понятие геометричес-кой прогрессии; вывести формулы n-го члена и суммы n-первых членов геометричес-кой прогрессии
Формула суммы n-первых членов iconРазмер страховой суммы, руб
Минимальный размер страховой суммы, которая должна быть указана в договоре страхования гражданской ответственности, определяется...
Формула суммы n-первых членов iconАнализу. 2008 год
Суммируемые семейства. Определение суммы. Независимость от порядка суммирования (теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося...
Формула суммы n-первых членов iconФормула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org