Матричные способы решения задач школьного курса математики



Скачать 89.69 Kb.
Дата20.12.2012
Размер89.69 Kb.
ТипДокументы
Отдел образования Баймакского района и г. Баймака

Муниципальная средняя общеобразовательная школа №3

г. Баймака

Математическая секция

Тема:

Матричные способы решения задач школьного курса математики.

Выполнила: ученица 10Б класса

Гущенская Лена

Руководитель: учитель математики

Мурзабаева Ф. М.

2005 год

Задачи школьного курса математики можно решить матричным способом. Матрица – прямоугольная или квадратная таблица, составленная из чисел.

Матрицы часто используются при построении математических моделей различных явлений и процессов. Впервые их стали использовать китайские ученые в ΙΙ веке до н. э. Они вместо систем линейных уравнений составляли таблицу, записывая коэффициенты уравнений в столбцы и строки.

Примеры матриц:

а) 3 1 б) х 2х + 1 в) 7 2 2

4 2 5у у – 7 3 1 -4\5

Для матриц принята следующая терминология:

  1. Наборы чисел, расположенных по горизонтали называют строками, а расположенных по вертикали – столбцами.

  2. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

  3. В квадратной матрице число строк (или, что то же самое, число столбцов) называется порядком матрицы.

Например: матрицы а) и б) имеют порядок 2, их называют матрицами второго порядка.

  1. Если матрица неквадратная, то говорят, что она имеет размер m* n, где m- число строк, n- число столбцов.

Например, матрица в) имеет размер 2*3

Матрицы, как и числа, принято обозначать буквами. При этом для обозначения чаще всего используют большие (прописные) буквы, хотя и не обязательно.

Особую роль играют определители квадратной матрицы

a b

det = ad – bc

c d

a b c

d e f - квадратная матрица третьего порядка

k l m

a b c

det d e f = alm + cde + kbf – cek –alf –mbd

k l m

Впервые матрицы встретились в математики в связи с решением систем линейных уравнений.

Рассмотрим это на примере двух линейных уравнений

ах + bу = с

dх + mу = n

Составим матрицу этой системы

a b c

d m h - это расширенная матрица

Определители дают информацию о наличии решений системы линейных уравнений. В зависимости от значения определителя системы линейных уравнений делятся на два класса, два типа.




Системы уравнений

│ │

Линейные

Нелинейные

│ │

Совместные

Несовместные

│ │

Определенные

Неопределенные



Если det A = 0, то система несовместная или неопределенная.

Если det A = 0, то система будет определенной.

Пример. Как расположены две прямые 2х + 3у = 7; х + 2у = 4, на плоскости

Решение: Составим матрицу системы линейных уравнений:

  1. 3 2 3 2 3

найдем det = = 4 – 3 = 1 = 0

1 2 1 2 1 2

Значит, прямые пересекаются.

Метод решения системы линейных уравнений в Китае получил название «фан-чен» - буквально «выстраивание по клеткам». Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных.

О достижениях китайских ученых ученые узнали недавно. Поэтому указанный метод решения системы линейных уравнений в настоящее время связывается с именем Гаусса, переоткрывшего его в 1849 году.

Метод Гаусса

Упрощает решение систем линейных уравнений. Матричные способы записи системы и применение метода сложения (или метода Гаусса). Этот метод заключается в том, что расширенную матрицу системы преобразуем и приводим к виду единичной матрицы.

1 0 0

Единичная матрица III порядка Е = 0 1 0 - 0 - это матрица, у

0 0 1

которой вдоль диагоналей из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны 0.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

2х + у + z = 2

х + у + 5z = -7

2х + 3у – 3z = 14

Составим расширенную матрицу системы

2 1 1 2 1 1 5 -7

1 1 5 -7 ~ 0 2 -4 12 ~

2 3 -3 14 0 -1 -9 16
1 1 5 -7 1 1 5 -7

0 2 -4 12 ~ 0 1 -2 6 ~

0 0 -22 44 0 0 1 -2

1 0 7 -13 1 0 0 1

~ 0 1 0 2 ~ 0 1 0 2

0 0 1 -2 0 0 1 -2

Ответ: х =1; у = 2; z = -2;

В своем письме французскому математику Гийому де Лопиталю (1661-1704)

Лейбниц (1693) изложил способ решения системы линейных уравнений с помощью определителей. Правда десятилетием раньше такой метод нашел японский математик Кова Секи (1642-1708). Но оба результата не стали достоянием математиков Европы. Лишь в 1750 г. Он был переоткрыт швейцарским математиком Габриелем Крамером (1704-1752) и получил название правило Крамера.
Метод Крамера

Теорема Крамера: если определитель основной матрицы системы линейных уравнений отличен от нуля, то система совместна и определенна.

При этом её решение вычисляется по формулам:

det Ax det Ay det Az

Х = ; у = ; Z = ;

det A det A det A

где А – матрица системы, Ах , Ау и Аz – вспомогательные матрицы, полученные из матрицы системы заменой соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов.

Решим систему уравнений

2х + у + z = 2

х + y + 5z =-7

2x +3y –3z = 14

Найдем определители

2 1 1

det A 1 1 5 = -6 +3+10 –2 –30 +3 =-22

2 3 -3

2 1 1

det Aх -7 1 5 = -6 –21 +70 –14 –30 –21 = -22

14 3 -3

det Ax

х = =1

det A


2 2 1

det Ay = 1 -7 5 = 42 + 14 + 20 +14 –140 + 6 = -44

2 14 -3

det Ay

y = = 2

det A
2 1 2

det Az = 1 1 -7 = 28 + 6 –14 –4 + 42 –14 = 44

2 3 14

det Az

z = = -2

det A
Метод обратной матрицы
При умножении матриц получается новая матрица, элементы которой вычисляются как сумма произведений элементов строк первой матрицы на элементы столбцов второй матрицы

Пример: а b x ax + by

  • =

c d y cx + dy

Тогда система линейных уравнений ax + by =c выглядит так

dx + my = n
a b x c

* = или А * Х = В,

d m y n

где А – основная матрица, Х – матрица неизвестная, В – свободный столбец

Аˉ¹*А*Х=Аˉ¹*В , Х = Аˉ¹ * В, где

Аˉ¹ - обратная матрица для А

Аˉ¹ * А = Е

Решим систему уравнений способом обратной матрицы

2х + у + z =2 1 2 1 1

х + у + 5z= -7 Aˉ¹ = 1 1 5

2x +3y – 3z =14 det A 2 3 -3

1 5

A =( -1)¹ ¹ 3 -3 = -3 - 15 = - 18


1+2 1 5

А 12 = ( -1) 2 - 3 = - (3 - 10 ) = 13


1+3 1 1

А 13 = ( -1) 2 3 = 3 – 2 = 1

2+1 1 1

А 21 = ( -1) 3 -3 = - (-3 –3 ) = 6
2+2 2 1

А22 = (-1) 2 -3 = -6 –2 = -8
2+3 2 1

А23 = (-1) 2 3 = - ( 6 – 2) = -4
3+1 1 1

А31 = (-1) 1 5 = 5 - 1 = 4
3+2 2 1

А32 = (-1) 1 5 = - (10 – 1) = - 9
3+3 2 1

А33 = (-1) 1 1 = 2 – 1 = 1
-1 1 -18 6 4

А = 13 -8 -9

det A 1 -4 1

-1 1 -18 6 4 2

X = A * В = - 13 -8 -9 * -7 =

22 1 -4 1 14


1 -36 -42 +56 1 -22 1

= - 26 +56 -126 = - -44 = 2

22 2 + 28 + 14 22 44 -2
Ответ: Х = 1, У = 2, Z = -2.

К решению систем линейных уравнений сводятся многие сложные задачи, связанные с реальной жизнью. В таких задачах создается математическая модель, отражающая реальные процессы, и с ее помощью просчитываются результаты.

Применение матриц при вычислении площади и объема.
Теорема: Модуль определителя 2-го порядка равен площади параллелограмма, образованного векторами (а; в) и (с;d).

a b a b

S = det = = | ad - bc|

c d c d

Доказательство. Пусть m ( a ; b ) , n ( c; d )

Площадь параллелограмма S = 2 S∆.

ab cd (d-b) (a-c)

S = 2 (ad - - - =

2 2 2

=|2ad – ab – cd – (ad –cd – ab +bc)| =

=|2 ad – ab – cd – ad + cd +ab – bc = ad – bc.

а b

S = =| a d – b c|.

b d
1 a b 1

Следствие: S∆ = = |a d – b c|

2 c d 2

Теорема: Модуль определителя 3-го порядка равен объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах пространства.
Доказательство: Любой параллелепипед можно расположить так, чтобы одно из ребер было направлено вдоль оси Оz, а вершина совпала с началом координат.

Тогда объем параллелепипеда равен произведению площади перпендикулярного сечения и длины бокового ребра. Площадь проекции основания параллелепипеда равен |ae-bd|, где (a;b;c), (d;e;f), (о;о;m) координаты векторов. Получаем, что V=|ae-bd|·|m|=|aem-bdm|.

а b c

V= d e f =| aem-bdm|

0 0 m

Заключение: Таким образом, знания матриц и действий над ними приводит к оригинальным методам решений школьных математических задач.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях наук.

Л И Т Е Р А Т У Р А



  1. “За страницами учебника математики” Москва “Просвещение” АО


“учебная литература” 1986 г. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.


  1. “Энциклопедический словарь юного математика” , Савин А.П.

Издательство “Педагогика”, 1989 г.


  1. “Системы уравнений”, Ресошек С.К., Хаюб А.Б., Малова И.Е.

Издательство Томского университета. Москва 1996 г.


  1. “ Геометрические миниатюры” Скопец З.А., Москва “Просвещение” 1990 г.


О Г Л А В Л Е Н И Е

I. Введение. Понятия матрицы и определителя.
2.Определители при решении некоторых задач школьной алгебры.
3.Решение систем линейных уравнений:

1) методом Гаусса;

2) правилом Крамера;

3) методом обратной матрицы.

4. Определители при вычислении площади и объема.

5. Заключение.
6.Литература.

Похожие:

Матричные способы решения задач школьного курса математики iconНаиболее сложные вопросы школьного курса, в форме решения задач, при подготовке к егэ
Цель обучения: овладение методикой составления и проработки с учениками биологических задач по всем темам школьного курса, с учетом...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма дистанционных курсов «Методы решения физических задач»
Программа предназначена для повторения школьного курса физики и включает в себя три цикла повторения. На первом из них обучающиеся...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма дисциплины фтд. 00 «практикум по решению математических задач» Специальность 030100 (050202. 65) «Информатика»
Цель курса – подготовка выпускников в области элементарной математики, освоение навыков решения задач (в том числе олимпиадных) по...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconСеверный морской путь и основные задачи его решения
Определены способы решения сформулированных интеллектуальных задач, финансового обеспечения, ожидаемого экономического и социального...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconЭлективный курс по математике «Метод математической индукции при решении задач»
Программа элективного курса «Метод математической индукции при решении задач» направлена на подготовку учащихся к предметной олимпиаде,...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма предметно-ориентированного курса по выбору для учащихся 9 класса по физике Способы решения задач по механике
Основные понятия и законы физики не могут быть усвоены на достаточно высоком уровне, если их изучение не будет сопровождаться решением...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма по математике (на базе основного общего образования) Общие положения Содержание программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления»
Программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования,...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма по математике (на базе основного общего образования) Общие положения Содержание программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления»
Программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования»,...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconПрограмма предметно-ориентированного курса по выбору для учащихся 9 класса по физике1 Способы решения задач по механике Столярова В. В., Валлерштейн Г. Г., Моу «Лицей №5»
Основные понятия и законы физики не могут быть усвоены на достаточно высоком уровне, если их изучение не будет сопровождаться решением...
Матричные способы решения задач школьного курса математики iconМатлаб (matlab) система компьютерной математики, которая в настоящее время широко применяется исследователями для решения прикладных и теоретических задач на ЭВМ
В настоящее время матлаб представляет собой развитую систему, включающую в себя в качестве составных частей инструменты для решения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org