Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 



Скачать 76.54 Kb.
Дата20.12.2012
Размер76.54 Kb.
ТипЛекции


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.
П Р О Г Р А М М А
по курсу ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс III

семестр 5

лекции  32 часа Экзамен 5 семестр

практические(семинарские)

занятия  32 часа Зачет нет

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа

  2 часа в неделю

Всего часов  64
Программу составил к.ф.-м.н., доц. И.А. Шейпак

Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года

Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов

Метрические, нормированные и банаховы пространства.

1. Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность. Примеры.

2. Свойства полных метрических пространств. Теорема о вложенных шарах, теорема о сжимающих отображениях. Фракталы как неподвижные точки сжимающего отображения в соответствующем метрическом пространстве. Примеры.

3. Основные понятия теории меры: полукольцо, кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств. Мера, счетно-аддитивная мера. Измеримые по Лебегу множества, измеримые функции. Мера Лебега--Стилтьеса, мера Винера, дискретная мера.

4. Конструкция интеграла Лебега. Основные свойства интеграла Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла: Б.Леви, Лебега, Фату (без доказательства).

Контрпримеры.

5. Пространства Lp(a,b). Неравенство Гёльдера, неравенство Минковского.

6. Гильбертовы пространства. Теорема об ортогональном дополнении. Ортонормированные системы. Полные, замкнутые системы.

7. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. Эквивалентность моделей Шредингера и Гейзенберга.
Компактные множества в метрических пространствах

8. Предкомпактные и компактные множества. Критерий Хаусдорфа предкомпактности.

9. Теорема Арцела и признаки предкомпактности в различных пространствах.

10. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном банаховом пространстве.

Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах

11. Линейные отображения. Норма оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Полнота пространства L(X,Y), где Y -- банахово.

12. Сопряженные пространства. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.

13. Следствия из теоремы Хана-Банаха. Изометричность вложения пространства во второе сопряженное. Примеры незамкнутых линейных подпространств.

14. Сопряженное пространство к C (a,b).

15. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах Lp(a,b) и lp, при 1≤ p<∞.

16. Изоморфизм гильбертова пространства своему сопряженному. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

17. Слабо сходящиеся последовательности. Примеры. Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабо ограниченные множества.

18. Слабая компактность. Теорема о слабой компактности единичного шара в сепарабельном гильбертовом пространстве. Пример последовательности элементов единичной сферы, слабо сходящейся к нулю.
Спектр оператора

19. Теорема Банаха. Обратимость оператора близкого к обратимому. Представление резольвенты в виде ряда. Спектральный радиус.

20. Спектр и резольвентное множество ограниченного оператора. Свойства спектра (ограниченность, замкнутость, непустота). Непрерывный, точечный, остаточный спектры. Примеры.

21. Сопряженный оператор. Спектр сопряженного оператора. Теорема о связи компактности оператора с компактностью сопряженного оператора (в гильбертовом пространстве).

22. Свойства спектра самосопряженного оператора. Квадратичная форма самосопряженного оператора.

23. Спектральный радиус самосопряженного оператора и норма самосопряженного оператора. Спектральный радиус интегрального оператора с треугольным ядром.

24. Унитарные операторы. Спектр унитарного оператора. Подобные операторы. Связь спектров подобных операторов. Подобные операторы в l2(Z) и L2(0,2π). Унитарно-подобные операторы в L2(R).
Компактные операторы. Теория Фредгольма

25. Компактные операторы. Операции над операторами, не нарушающие компактность. Свойства компактных операторов.

26. Компактность интегральных операторов в пространствах C[a,b] и Lp(a,b).

27. Теорема Гильберта-Шмидта о полноте множества собственных векторов компактного самосопряженного оператора.

28. Пример линейного непрерывного оператора с незамкнутым образом. Замкнутость образа оператора I-A, где A - компактный оператор. Первая теорема Фредгольма.

29. Вторая теорема Фредгольма.

30. Третья теорема Фредгольма.

31. Спектр компактного оператора. Интегральное уравнение Вольтерра.
Обобщённые функции и действия с ними.

32. Функции из L1,loc(R) и их производные по Соболеву. Примеры: полиномы и экспоненты, δ-функция и ее производные, v.p.(1/x), 1/(x+i0).

33. Пространства Лорана Шварца: D и D', S и S'.

34. Преобразование Фурье в пространстве в L1(R) и его свойства.

35. Преобразование Фурье в пространствах S и L2(R). Теорема Планшереля.

36. Преобразование Фурье в S'. Преобразование Фурье

δ-функции, ее производных, полиномов, функции Хевисайда.

37. Пространства Соболева Hs(R) и их сопряжённые. Теоремы вложения (без доказательства).

38. Теорема об отображении спектра. Спектр оператора преобразования Фурье в L2(R).
Неограниченные операторы.

39. Примеры неограниченных операторов. Понятие области определения оператора. Теорема Хеллингера-Теплица.

40. Оператор гармонического осциллятора как оператор из H1(R) в

H-1(R). Его спектр.
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.

2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.1 Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977.

3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.2 Гармонический анализ. Самосопряженность. – М.: Мир, 1978.

4. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977.

5. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1988.

6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959.

7. Власов В.В., Коновалов С.П., Курочкин С.В. Задачи по функциональному анализу. – М.: Издательство МФТИ, 1998.

СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: ИЛ, 1954

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Издательство Московского университета, 1984.
Предусмотрены 3 домашних задания, 3 контрольные работы и лабораторный практикум..
1-е домашнее задание выдается на 1-й неделе, оно содержит задачи по темам: нормированные и метрические пространства, геометрия банаховых и гильбертовых пространств, нормы операторов и функционалов, предкомпактные множества. Срок сдачи – 6-я неделя.
Задачи 1-го Задания
Ограниченные операторы: [2] 6.2, 6 а), б), в), г), 6.7, 6.8, [5] 247, 346,
Ограниченные функционалы: [1] 230, 231, 232, 234, 238, 290.
Проверка является ли данное множество предкомпактным: [2] 3.6, 3.7, 3.8, 3.11, 3.13.
Вычисление ортогональных проекций вектора на подпространство: [1], 472 а), б), в), г).
1-я контрольная работа проводится по завершении тем: метрические и нормированные пространства, гильбертовы пространства, компактные множества, ограниченные операторы и их нормы (6-я неделя). Она содержит задачи на основные понятия метрических и нормированных пространств, проверку критерия предкомпактности множества в метрических пространствах, вычисление норм операторов и функционалов в различных пространствах.
2-е домашнее задание выдается на 6-й неделе, оно содержит задачи по темам: спектр оператора и его классификация, ряд Неймана для резольвенты, вычисление спектрального радиуса оператора. Срок сдачи – 11-я неделя.
Задачи 2-го Задания
Вычисление спектра ограниченного оператора и его классификация: [1] 633, 634, 635, 636, 637, [2] 7.9 а) б), 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14

Вычисление спектрального радиуса оператора: [1] 641,
Вычисление спектра с помощью подобных операторов [2] 7.15
2-я контрольная работа проводится по завершении тем: спектр и резольвентное множество ограниченного оператора, классификация спектра, резольвента оператора и её представление в виде ряда, спектральный радиус оператора, спектр самосопряжённого оператора, спектр унитарного оператора(11-я неделя). Она содержит задачи на вычисление спектра оператора и его классификацию, вычисление резольвенты оператора, вычисление спектрального радиуса, применение понятия подобных операторов для нахождения спектра.
3-е домашнее задание выдается на 11-й неделе, оно содержит задачи по темам: теория Фредгольма, решение интегральных уравнений с помощью теории Фредгольма, теорема Гильберта-Шмидта. Срок сдачи – 16-я неделя.

Задачи 3-го Задания
Интегральное уравнение с вырожденным ядром: [1] 364, 365.
Спектр компактного оператора: [2] 12.9 а), б),
Решение интегрального уравнения с невырожденным ядром [1] 366
3-я контрольная работа проводится по завершении тем: компактные операторы и их свойства, теория Фредгольма. Она содержит задачи на применение свойств компактных операторов, решение фредгольмовых уравнений 2-го рода, применение теоремы Гильберта-Шмидта.
Номера даны по учебникам и задачникам:

1) А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани «Теоремы и задачи функционального анализа», Москва, "Наука", 1988.

2) В.В.Власов, С.П.Коновалов, С.В.Курочкин «Задачи по функциональному анализу», Издательство МФТИ

Л абораторный практикум.

Применение программ MATHEMATICA или MATLAB при решении задач с помощью методов функционального анализа. Задачи: вычислить норму оператора, вычислить норму функционала; локализовать спектр ограниченного оператора; решить с помощью преобразования Фурье задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Усл. печ. л. Тираж


Похожие:

Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции 32 часа Экзамен нет практические (семинарские ) занятия 32 часа Диф зачет 4 семестр
Асимптотические обозначения (O, Ω, θ, o, ω) и их свойства (транзитивность, рефлексивность, симметричность, обращение)
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции  32 часа Экзамен  8 семестр практические(семинарские) занятия 
В курсе предусмотрены 3 домашних задания (номера даны по задачнику [3] в списке литературы) и 3 контрольные работы
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции 34 часа Экзамен нет практические ( семинарские ) занятия 34 часа Диф зачет 7 семестр
Микроскопическое (динамическое и статистическое) и макроскопическое (гидродинамическое и феноменологическое) описание физических...
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции  32 часа Экзамен  4 семестр практические(семинарские) занятия 
Бесконечно удаленная точка, сфера Римана. Алгебраическая и тригонометрические формы задания точки на комплексной плоскости
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции  32 часа Экзамен  2 семестр практические(семинарские) занятия 
Евклидовы пространства. Определение и примеры. Неравенство треугольника. Неравенство Коши-Шварца
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет
Одномерные решетчатые системы. Теорема об отсутствии фазовых переходов при в системах малой размерности (одномерных и двумерных)...
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции  34 часа Экзамен  9 семестр практические (семинарские) занятия  34 часа Зачет  нет
Термодинамическая теория возмущений Представление Мацубары. Температурные функции Грина. Диаграммная техника для ферми- и бозе-операторов....
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет
Триадная кривая Коха как детерминистический аналог. Фрактальная размерность. Определение размерности Минковского методом подсчета...
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции 32 часа Экзамен 8 семестр практические (семинарские) занятия 32 часа Зачет нет
Кинетическое уравнение Больцмана для одноатомных газов. Свойства интеграла столкновений. Вывод уравнений гидродинамики и уравнений...
Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  iconЛекции  32 часа Экзамен  нет практические(семинарские) занятия 
Различные формы интерполяционного многочлена, оценка погрешности интерполяции на отрезке
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org