Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами

Скачать 26.67 Kb.

Дата	20.12.2012
Размер	26.67 Kb.
Тип	Задача

Вопросы к экзамену по функциональному анализу
С доказательствами

Метрические пространства (определение, пример). ЛНП (определение, пример). Свойства нормы.
Связь между Линейными метрическими и нормированными пространствами. Метрика, порожденная нормой, ее свойства.
Неравенства Гельдера для интегралов и для сумм.
Неравенства Минковского для интегралов и для сумм.
Линейные нормированные и метрические пространства L_p[a;b], l_p. (Показать, что ЛП, как определяются метрика и норма, почему p>=1).
Полные пространства. (Фундаментальные последовательности и их свойства, определение полного пространства, примеры полных и неполных пространств).
Критерии полноты. (Об абсолютно сходящихся рядах, теорема о вложенных шарах).
Принцип сжимающих отображений.
Пространства со скалярным произведением. (Определение скалярного произведения, свойства. Предгильбертово пространство.).
Гильбертовы пространства (примеры пространств, кот. Являются и не являются гильбертовыми, предгильбертовыми).
Задача о наилучшем приближении.
Ортогональные элементы и множества в гильбертовых пространствах. Свойства. Теорема о разложении элементов гильбертова пространства на проекции.
Ортогональные и ортонормированные системы. Пример. Свойства. Теорема об ортогонализации.
Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Единственность разложения в ряд.
Теорема об экстремальных свойствах частной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Уравнение замкнутости.
Теорема о характеристических свойствах базиса. (Замкнутые, фундаментальные, полные системы, связь между ними).
О существовании базиса в гильбертовом пространстве.
Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.
Линейные и непрерывные операторы, пример, свойства.
Ограниченные операторы. Свойства. Норма оператора. Пример.
Полнота L(X,Y) в смысле равномерной сходимости.
Полнота L(X,Y) в смысле поточечной сходимости.
Принцип равномерной ограниченности.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Геометрический смысл нормы линейного ограниченного функционала.
Следствия из теоремы Хана-Банаха.
Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.
Общий вид линейного непрерывного функционала в l_1, c_0, l_p, L_p[a;b]. (доказательство для одного пространства на выбор).
Рефлексивные пространства. Примеры пространств рефлексивных и нет.
Слабая сходимость элементов, операторов. Связь между разными типами сходимости.
Сопряженный оператор. Свойства.
Критерий обратимости оператора. Линейность обратного оператора.
О существовании обратных ограниченных операторов. ( Критерий. Теорема Банаха. (I-A). (A+ΔA))
Спектр. Резольвента. Свойства.
Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Свойства.
Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве.
Спектр самосопряженного оператора в гильб.пр.-ве.

Без доказательства

Эквивалентные и подчиненные нормы. (Связь со сходимостью, об эквивалентности норм в конечномерном пространстве).
Пополнение метрического пространства. (Определение, теорема о пополнении).
Пример базиса в гильбертовых пространствах (базисы в R^n, l_2, тригонометрическая система в L_2[0;2π]).
Теорема Рисса- Фишера.
Продолжение по непрерывности линейного ограниченного оператора.
ЛНП L(X,Y). (Как вводятся операции, как определяется норма).
Геометрический смысл линейного функционала. (о гиперплоскости).
Теорема Хана-Банаха (вещественный и комплексный случаи).
Примеры сопряженных пространств.
Обратный оператор. Различные подходы в определении.
Компактные, предкомпактные, вполне ограниченные множества. Их свойства.
Компактные операторы. Их свойства.
Обобщенные функции.

Похожие:

	Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом Метрические пространства (определение, пример). Лнп (определение, пример). Свойства нормы		Вопросы к контрольной работе по функциональному анализу
	Вопросы по Функциональному анализу Сходимость в метрическом пространстве. Полнота множества. Пополнение метрического пространства		Вопросы по функциональному анализу (экзамен) Полные метрические пространства: определение, примеры, контрпримеры, признаки, критерий полноты
	Вопросы к теоретической части контрольной работы №3 по функциональному анализу Теорема об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве		Вопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003
	Вопросы к экзамену по математическому анализу Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, вычисление и физический смысл. Пример		Вопросы к экзамену по математическому анализу Определение дифференцируемости функции. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью (с док-вом)
	Вопросы к экзамену по математическому анализу для 1 курса д/о Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел, их эквивалентность		ВМик мгу, 4 курс, 3 поток, зимняя сессия Задачи к зачету по функциональному анализу Доказательство. Пусть m = {xE

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org