Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами



Скачать 26.67 Kb.
Дата20.12.2012
Размер26.67 Kb.
ТипЗадача
Вопросы к экзамену по функциональному анализу
С доказательствами

  1. Метрические пространства (определение, пример). ЛНП (определение, пример). Свойства нормы.

  2. Связь между Линейными метрическими и нормированными пространствами. Метрика, порожденная нормой, ее свойства.

  3. Неравенства Гельдера для интегралов и для сумм.

  4. Неравенства Минковского для интегралов и для сумм.

  5. Линейные нормированные и метрические пространства L_p[a;b], l_p. (Показать, что ЛП, как определяются метрика и норма, почему p>=1).

  6. Полные пространства. (Фундаментальные последовательности и их свойства, определение полного пространства, примеры полных и неполных пространств).

  7. Критерии полноты. (Об абсолютно сходящихся рядах, теорема о вложенных шарах).

  8. Принцип сжимающих отображений.

  9. Пространства со скалярным произведением. (Определение скалярного произведения, свойства. Предгильбертово пространство.).

  10. Гильбертовы пространства (примеры пространств, кот. Являются и не являются гильбертовыми, предгильбертовыми).

  11. Задача о наилучшем приближении.

  12. Ортогональные элементы и множества в гильбертовых пространствах. Свойства. Теорема о разложении элементов гильбертова пространства на проекции.

  13. Ортогональные и ортонормированные системы. Пример. Свойства. Теорема об ортогонализации.

  14. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Единственность разложения в ряд.

  15. Теорема об экстремальных свойствах частной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Уравнение замкнутости.

  16. Теорема о характеристических свойствах базиса. (Замкнутые, фундаментальные, полные системы, связь между ними).

  17. О существовании базиса в гильбертовом пространстве.

  18. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

  19. Линейные и непрерывные операторы, пример, свойства.

  20. Ограниченные операторы. Свойства. Норма оператора. Пример.

  21. Полнота L(X,Y) в смысле равномерной сходимости.

  22. Полнота L(X,Y) в смысле поточечной сходимости.

  23. Принцип равномерной ограниченности.

  24. Теорема Банаха-Штейнгауза.

  25. Геометрический смысл нормы линейного ограниченного функционала.

  26. Следствия из теоремы Хана-Банаха.

  27. Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

  28. Общий вид линейного непрерывного функционала в l_1, c_0, l_p, L_p[a;b]. (доказательство для одного пространства на выбор).

  29. Рефлексивные пространства. Примеры пространств рефлексивных и нет.

  30. Слабая сходимость элементов, операторов. Связь между разными типами сходимости.

  31. Сопряженный оператор. Свойства.

  32. Критерий обратимости оператора. Линейность обратного оператора.


  33. О существовании обратных ограниченных операторов. ( Критерий. Теорема Банаха. (I-A). (A+ΔA))

  34. Спектр. Резольвента. Свойства.

  35. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Свойства.

  36. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве.

  37. Спектр самосопряженного оператора в гильб.пр.-ве.



Без доказательства


  1. Эквивалентные и подчиненные нормы. (Связь со сходимостью, об эквивалентности норм в конечномерном пространстве).

  2. Пополнение метрического пространства. (Определение, теорема о пополнении).

  3. Пример базиса в гильбертовых пространствах (базисы в R^n, l_2, тригонометрическая система в L_2[0;2π]).

  4. Теорема Рисса- Фишера.

  5. Продолжение по непрерывности линейного ограниченного оператора.

  6. ЛНП L(X,Y). (Как вводятся операции, как определяется норма).

  7. Геометрический смысл линейного функционала. (о гиперплоскости).

  8. Теорема Хана-Банаха (вещественный и комплексный случаи).

  9. Примеры сопряженных пространств.

  10. Обратный оператор. Различные подходы в определении.

  11. Компактные, предкомпактные, вполне ограниченные множества. Их свойства.

  12. Компактные операторы. Их свойства.

  13. Обобщенные функции.

Похожие:

Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом
Метрические пространства (определение, пример). Лнп (определение, пример). Свойства нормы
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к контрольной работе по функциональному анализу

Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы по Функциональному анализу
Сходимость в метрическом пространстве. Полнота множества. Пополнение метрического пространства
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы по функциональному анализу (экзамен)
Полные метрические пространства: определение, примеры, контрпримеры, признаки, критерий полноты
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к теоретической части контрольной работы №3 по функциональному анализу
Теорема об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, вычисление и физический смысл. Пример
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Определение дифференцируемости функции. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью (с док-вом)
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВопросы к экзамену по математическому анализу для 1 курса д/о
Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел, их эквивалентность
Вопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами iconВМик мгу, 4 курс, 3 поток, зимняя сессия Задачи к зачету по функциональному анализу
Доказательство. Пусть m = {xE
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org